概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教案PAGEPAGE49第一章隨機(jī)事件與概率課題：第1講一、教學(xué)目的：⒈使學(xué)生了解本門課程的基本內(nèi)容、重要性與作用。了解研究生入學(xué)考試對(duì)本門課的要求。⒉理解隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、隨機(jī)事件等概念，掌握隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算。二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈隨機(jī)事件的概念⒉隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算，通過(guò)舉例讓學(xué)生理解。三、教學(xué)難點(diǎn)：理解隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、隨機(jī)事件等概念，舉例說(shuō)明解決.四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（20分鐘）⒈概率論的簡(jiǎn)單含義：人們通常將自然界或社會(huì)中出現(xiàn)的現(xiàn)象分成二類：一類是必然的necessity,inevitability，如同性電荷互相排斥;純水加熱到100必然沸騰等一類是偶然的chanciness,casulness,chance,fortuity,randomly。如擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面或反面兩種結(jié)局，但究竟出現(xiàn)哪種結(jié)局事先無(wú)法確定。概率一詞的英文是probability，Probable意指可能，-ility意指程度(largeorsmall?)。因此，probability可認(rèn)為是“可能性的大小”，翻譯成中文就是概率，但也有不同時(shí)期或者不同的資料翻譯成或然率或者幾率的。而在不同的學(xué)科中又有不同的稱呼，如產(chǎn)品合格率，犯罪率，出生率，離婚率，命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等等。⒉概率論的產(chǎn)生和發(fā)展概率論產(chǎn)生于十七世紀(jì)，本來(lái)是隨著保險(xiǎn)事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來(lái)自于賭博者的請(qǐng)求，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論中問(wèn)題的源泉。早在1654年，有一個(gè)賭徒梅累向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)使他苦惱了很久的問(wèn)題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰(shuí)先贏m局就算贏，全部賭本就歸誰(shuí)。但是當(dāng)其中一個(gè)人贏了a(a<m)局的時(shí)候，賭博中止。問(wèn)：賭本應(yīng)該如何分法才合理？”后者曾在1642年發(fā)明了世界上第一臺(tái)機(jī)械加法計(jì)算機(jī)。三年后，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數(shù)學(xué)家惠更斯企圖自己解決這一問(wèn)題，結(jié)果寫(xiě)成了《論機(jī)會(huì)游戲的計(jì)算》一書(shū)，這就是最早的概率論著作。隨機(jī)試驗(yàn)（45分鐘）樣本空間（15分鐘）隨機(jī)事件（35分鐘）舉例（20分鐘）八、課程小結(jié)（5分鐘）九、作業(yè)（5分鐘）十、教學(xué)后記：講義隨機(jī)試驗(yàn)在進(jìn)行個(gè)別試驗(yàn)或觀察使其結(jié)果具有不確定性,但在大量的重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象,稱為隨機(jī)現(xiàn)象.為對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象加以研究所進(jìn)行的觀察或?qū)嶒?yàn),稱為試驗(yàn).若一個(gè)試驗(yàn)滿足下列三個(gè)特點(diǎn):（１）在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行;（２）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且事先可以知道試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;（３）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定出現(xiàn)的是哪個(gè)結(jié)果,則稱這一試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn),記為E,例如：例1.1:拋擲一枚硬幣,觀察正面和反面出現(xiàn)的情況.例1.2:擲一顆篩子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).例1.3:對(duì)某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈,觀察彈著點(diǎn)到目標(biāo)的距離.例1.4:記錄電話交換臺(tái)在上午9時(shí)到10時(shí)接到的電話呼喚次數(shù).例1.5:測(cè)試某種型號(hào)的燈泡的壽命．等等．樣本空間在一個(gè)試驗(yàn)中,不論可能的結(jié)果有多少個(gè),總可以從中找出這樣一組基本結(jié)果,滿足:（１）每進(jìn)行一次試驗(yàn),必然出現(xiàn)且只能出現(xiàn)其中的一個(gè)基本結(jié)果;（２）任何事件,都是由其中的一些基本結(jié)果所組成.隨機(jī)試驗(yàn)中的每一個(gè)基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn),記為ω隨機(jī)試驗(yàn)E的全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間,記為Ω隨機(jī)事件⒈定義在隨機(jī)試驗(yàn)中,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結(jié)果,稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件.隨機(jī)事件可表述為樣本空間中樣本點(diǎn)的某個(gè)集合,一般記為A,B,C……等等.所謂事件A發(fā)生,是指在一次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)A中包含的某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).在每次試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件稱為必然事件.樣本空間Ω包含所有的樣本點(diǎn),每次試驗(yàn)它必然發(fā)生,它就是一個(gè)必然事件.必然事件用Ω表示，它是樣本空間Ω自身的一個(gè)子集.在每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件稱為不可能事件,記為φ,它是樣本空間的一個(gè)空子集.⒉隨機(jī)事件之間的關(guān)系及運(yùn)算事件是一個(gè)集合,因此事件之間的關(guān)系及其運(yùn)算可用集合之間的關(guān)系及運(yùn)算來(lái)處理.下面我們討論事件之間的關(guān)系及運(yùn)算⑴事件的包含與相等若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,即A中的樣本點(diǎn)一定屬于B,則稱事件A包含于B,記為AB.若,且,則稱事件A與事件B是相等的,記為⑵事件的和，積，差事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件,稱為事件A與事件B的和,記為.事件的和也稱為事件的并.事件A與B的和是由A與B的樣本點(diǎn)合并而成的事件.類似的,可列個(gè)事件的和可記為,或n個(gè)事件的和可記為事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的積,記為,也可簡(jiǎn)寫(xiě)為.事件的積也稱為事件的交.事件A與B的積是由A與B的公共的樣本點(diǎn)所構(gòu)成的事件.類似的,可列個(gè)事件的積可記為,n個(gè)事件的積可記為事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生的事件，稱為事件A與B的差,記為.事件A與B的差是由屬于A而不屬于B的樣本點(diǎn)所構(gòu)成的事件.⑶事件的互不相容(互斥)若,則稱事件A與事件B是互不相容的,或稱A與B是互斥的.A與B互不相容,是指事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生,例如,基本事件是兩兩互不相容的.⑷對(duì)立事件若,且,則稱事件A與事件B互為對(duì)立事件，或稱A與B互為逆事件.A與B對(duì)立,是指事件A與事件B既不能同時(shí)發(fā)生又不能同時(shí)不發(fā)生,即在每次試驗(yàn)中,A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生.A的對(duì)立事件記為.顯然，由定義可知,對(duì)立事件必為互不相容,反之,互不相容的兩個(gè)事件未必我對(duì)立事件.以上事件之間的關(guān)系及運(yùn)算可以用文氏圖來(lái)直觀地表示。⒊事件的運(yùn)算律設(shè)A為事件,則有交換律:;結(jié)合律:;分配律:;德摩根(DeMorgan)律:,課程小結(jié):第一部分建立概率論的基本的各個(gè)術(shù)語(yǔ)和概念，常用的公式和基本的定理，這樣后繼課程就可以繼續(xù)在專業(yè)領(lǐng)域中使用這些基礎(chǔ)知識(shí)。第二部分為數(shù)理統(tǒng)計(jì)，即研究怎樣從大量的隨機(jī)的看似雜亂無(wú)章的數(shù)字中獲得統(tǒng)計(jì)結(jié)果的技術(shù)。但由于課時(shí)有限，不能講解。作業(yè):習(xí)題1.1：1，2課題：第2講一、教學(xué)目的：⒈掌握頻率的基本性質(zhì)；2.概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的公理化定義二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈理解頻率與概率的基本概念。⒉概率的基本性質(zhì)，通過(guò)舉例讓學(xué)生理解。三、教學(xué)難點(diǎn)：概率的基本概念，舉例說(shuō)明解決.四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（10分鐘）對(duì)一個(gè)隨機(jī)事件，在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，它是否會(huì)發(fā)生，事先不能確定.但我們可以問(wèn)，在一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的可能性有多大？并希望找到一個(gè)合適的數(shù)來(lái)表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小.為此，本節(jié)首先引入頻率，它描述了事件發(fā)生的頻繁程度，進(jìn)而引出表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)概率.一）、頻率及其性質(zhì)定義1（20分鐘） 例1（5分鐘）二）、概率的統(tǒng)計(jì)定義定義2（20分鐘） 例2（5分鐘）三）、概率的公理化定義定義3（40分鐘）四）、概率的性質(zhì)（35分鐘）八、課程小結(jié)（5分鐘）頻率的穩(wěn)定值是概率的外在表現(xiàn),并非概率的本質(zhì).據(jù)此確定某事件的概率是困難的，但當(dāng)進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí),頻率會(huì)接近穩(wěn)定值,因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往是用試驗(yàn)次數(shù)足夠大的頻率來(lái)估計(jì)概率的大小,且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,估計(jì)的精度會(huì)越來(lái)越高。九、作業(yè)（5分鐘）習(xí)題1.2：2，3十、教學(xué)后記：講義一.頻率及其性質(zhì)定義1若在相同條件下進(jìn)行次試驗(yàn),其中事件發(fā)生的次數(shù)為,則稱為事件發(fā)生的頻率.易見(jiàn),頻率具有下述基本性質(zhì):1.2.3.設(shè)是兩兩互不相容的事件,則.二.概率的統(tǒng)計(jì)定義定義2在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，若事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)(附近擺動(dòng)，則稱為事件的概率，記為.三.概率的公理化定義任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，這種抽象使得其具有廣泛的適用性.概率的頻率解釋為概率提供了經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ),但是不能作為一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義,從概率論有關(guān)問(wèn)題的研究算起,經(jīng)過(guò)近三個(gè)世紀(jì)的漫長(zhǎng)探索歷程,人們才真正完整地解決了概率的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義.1933年,前蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸?在他的“概率論的基本概念”一書(shū)中給出了現(xiàn)在已被廣泛接受的概率公理化體系,第一次將概率論建立在嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)上.定義3設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn),是它的樣本空間,對(duì)于的每一個(gè)事件賦于一個(gè)實(shí)數(shù),記為,若滿足下列三個(gè)條件:1.非負(fù)性：對(duì)每一個(gè)事件,有;2.完備性：;3.可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有則稱為事件的概率.四.概率的性質(zhì)性質(zhì)1--性質(zhì)例題選講：頻率及其性質(zhì)例1（講義例1）圓周率是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù),我國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之第一次把它計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位,這個(gè)記錄保持了1000多年!以后有人不斷把它算得更精確.1873年,英國(guó)學(xué)者沈克士公布了一個(gè)的數(shù)值,它的數(shù)目在小數(shù)點(diǎn)后一共有707位之多!但幾十年后,曼徹斯特的費(fèi)林生對(duì)它產(chǎn)生了懷疑.他統(tǒng)計(jì)了的608位小數(shù),得到了下表:你能說(shuō)出他產(chǎn)生懷疑的理由嗎?因?yàn)槭且粋€(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以，理論上每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)近似相等，或它們出現(xiàn)的頻率應(yīng)都接近于0.1，但7出現(xiàn)的頻率過(guò)小.這就是費(fèi)林產(chǎn)生懷疑的理由.概率的統(tǒng)計(jì)定義例2（講義例2）檢查某工廠一批產(chǎn)品的質(zhì)量,從中分別抽取10件、20件、50件、100件、150件、200件、300件檢查,檢查結(jié)果及次品頻列入表1-21由表1看出,在抽出的n件產(chǎn)品中,次品數(shù)隨著n的不同而取不同值,從而次品頻率僅在0.05附近有微小變化.所以0.05是次品頻率的穩(wěn)定值.例3（講義例3）從某魚(yú)池中取100條魚(yú),做上記號(hào)后再放入該魚(yú)池中.現(xiàn)從該池中任意捉來(lái)40條魚(yú),發(fā)現(xiàn)其中兩條有記號(hào),問(wèn)池內(nèi)大約有多少條魚(yú)?概率的性質(zhì)例4（講義例4）已知,求(1);(2);(3);(4).例5（講義例5）觀察某地區(qū)未來(lái)5天的天氣情況,記為事件:“有天不下雨”,已知求下列各事件的概率:(1)天均下雨;(2)至少一天不下雨;(2)至少一天不下雨;例6某城市中發(fā)行2種報(bào)紙A,B.經(jīng)調(diào)查,在這2種報(bào)紙的訂戶中,訂閱A報(bào)的有45%,訂閱B報(bào)的有35%,同時(shí)訂閱2種報(bào)紙A,B的有10%.求只訂一種報(bào)紙的概率講解注意：課堂練習(xí)1.設(shè),求事件的逆事件的概率.2.設(shè)求.3.設(shè)都出現(xiàn)的概率與都不出現(xiàn)的概率相等,且,求.課題：第3講一、教學(xué)目的：⒈使學(xué)生掌握古典概型、。⒉掌握幾何概型。二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈計(jì)算古典概型的方法，通過(guò)舉例讓學(xué)生理解。三、教學(xué)難點(diǎn)：⒈計(jì)算古典概型的方法，通過(guò)舉例讓學(xué)生理解。四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（10分鐘）一個(gè)紙桶中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球.將球編號(hào)為1—10.把球攪勻,蒙上眼睛從中任取一球.因?yàn)槌槿r(shí)這些球被抽到的可能性是完全平等的,所以我們沒(méi)有理由認(rèn)為這10個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易抽得,也就是說(shuō),這10個(gè)球中的任一個(gè)被抽取的可能性均為.這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)是一類最簡(jiǎn)單的概率模型,它曾經(jīng)是概率論發(fā)展初期主要的研究對(duì)象.一）、古典概型（45分鐘）二）、計(jì)算古典概型的方法（20分鐘）三）、幾何概型（40分鐘）八、課程小結(jié)（5分鐘）九、作業(yè)（5分鐘）習(xí)題1.2：8，10。十、教學(xué)后記：講義一、古典概型我們稱具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判汀?.隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的結(jié)果;2.每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同.因而古典概型又稱為等可能概型.在概率論的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)參程中，它是最早的研究對(duì)象，且在實(shí)際中也最常用的一種概率模型。它在數(shù)學(xué)上可表述為:在古典概型的假設(shè)下,我們來(lái)推導(dǎo)事件概率的計(jì)算公式.設(shè)事件包含其樣本空間中個(gè)基本事件,即則事件發(fā)生的概率稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法.這就把求古典概率的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)基本事件的計(jì)數(shù)問(wèn)題.二、計(jì)算古典概率的方法基本計(jì)數(shù)原理：1.加法原理：設(shè)完成一件事有種方式,其中第一種方式有種方法，第二種方式有種方法，……,第種方式有種方法，無(wú)論通過(guò)哪種方法都可以完成這件事,則完成這件事的方法總數(shù)為.2.乘法原理：設(shè)完成一件事有個(gè)步驟,其中第一個(gè)步驟有種方法，第二個(gè)步驟有種方法，……，第個(gè)步驟有種方法；完成該件事必須通過(guò)每一步驟才算完成，則完成這件事的方法總數(shù)為.3.排列組合方法排列公式：(2)組合公式；(3)二項(xiàng)式公式.三、幾何概型古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型.這里我們進(jìn)一步研究樣本空間為一線段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型—幾何概型.a)設(shè)樣本空間是平面上某個(gè)區(qū)域,它的面積記為;b)向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn),這里“隨機(jī)投擲一點(diǎn)”的含義是指該點(diǎn)落入內(nèi)任何部分區(qū)域的可能性只與區(qū)域的面積成比例,而與區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān).向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn),該點(diǎn)落在區(qū)域的的事件仍記為，則概率為,其中為常數(shù)，而，于是得，從而事件的概率為幾何概率注:若樣本空間為一線段或一空間立體,則向“投點(diǎn)”的相應(yīng)概率仍可用式確定,但應(yīng)理解為長(zhǎng)度或體積.例1(講義例1)一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小相同的球,其中3個(gè)黑球,7個(gè)白球,求從袋子中任取一球,這個(gè)球是黑球的概率;從袋子中任取兩球,剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率以及兩個(gè)球全是黑球的概率.例2(講義例2)將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)球隨意地排成一行,求下列各事件的概率:(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1,2,3,4的順序;(2)第1號(hào)球排在最右邊或最左邊;(3)第1號(hào)球與第2號(hào)球相鄰;(4)第1號(hào)球排在第2號(hào)球的右邊(不一定相鄰).例3(講義例3)將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中,問(wèn)杯子中球的個(gè)數(shù)最多為1,2,3的概率各是多少?例4(講義例4)將15名新生(其中有3名優(yōu)秀生)隨機(jī)地分配到三個(gè)班級(jí)中,其中一班4名,二班5名,三班6名,求:每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率;3名優(yōu)秀生被分配到一個(gè)班級(jí)的概率.例5(講義例5)在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問(wèn)取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?例6一個(gè)袋子中裝有個(gè)球，其中個(gè)黑球，個(gè)白球，隨意的每次從中取出一個(gè)球（不放回），求下列各事件的概率：（1）第次取到的是黑球；（2）第次才取到黑球;（3）前次中能取到黑球.例7(講義例6)某人午覺(jué)醒來(lái),發(fā)覺(jué)表停了,他打開(kāi)收音機(jī),想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí),設(shè)電臺(tái)每正點(diǎn)是報(bào)時(shí)一次,求他(她)等待時(shí)間短于10分鐘的概率.例8(講義例7)(會(huì)面問(wèn)題)甲、乙兩人相約在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在某地會(huì)面,先到者等候另一人20分鐘,過(guò)時(shí)就離開(kāi).如果每個(gè)人可在指定的一小時(shí)內(nèi)任意時(shí)刻到達(dá),試計(jì)算二人能夠會(huì)面的概率.課堂練習(xí)1.設(shè)有件產(chǎn)品,其中有件次品,現(xiàn)從中任取件,求其中有件次品的概率.課題：第4講一、教學(xué)目的：⒈條件概率的定義。 ⒉乘法公式。二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈掌握條件概率的計(jì)算，乘法公式，通過(guò)舉例讓學(xué)生理解。三、教學(xué)難點(diǎn)：⒈計(jì)算條件概率，通過(guò)舉例讓學(xué)生理解。四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（10分鐘）在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要計(jì)算在某個(gè)事件B已發(fā)生的條件下,，另一個(gè)事件發(fā)生的概率。在概率論中，稱此概率為事件已發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱為對(duì)的條件概率，記為。一般地，因?yàn)樵黾恿恕笆录寻l(fā)生”的條件，所以。條件概率的定義（45分鐘）舉例（15分鐘）乘法公式（35分鐘）舉例（30分鐘）八、課程小結(jié)（5分鐘）九、作業(yè)（5分鐘）習(xí)題1.3:37頁(yè)4，8。習(xí)題1.4:48頁(yè)4，6，8十、教學(xué)后記：講義性質(zhì)：⑴=0；⑵若，，…，是兩兩互不相容事件，則=++…+；（有限可加性）⑶設(shè)A，B是兩個(gè)事件，若，則；⑷對(duì)于任一事件A，有⑸對(duì)于任一事件A，有=1-⑹對(duì)于任意兩事件A、B，有（加法公式）上式可以推廣為：=++…+條件概率在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要計(jì)算在某個(gè)事件B已發(fā)生的條件下,，另一個(gè)事件發(fā)生的概率。在概率論中，稱此概率為事件已發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱為對(duì)的條件概率，記為。一般地，因?yàn)樵黾恿恕笆录寻l(fā)生”的條件，所以。某工廠有職工500人，男女各占一半，男女職工中技術(shù)優(yōu)秀的分別為40人與10人?，F(xiàn)從中人選一名職工，試問(wèn)：該職工為技術(shù)優(yōu)秀的概率是多少?已知選出的是女職工,她為技術(shù)優(yōu)秀的概率是多少?解設(shè)表示選出的職工為技術(shù)優(yōu)秀的事件，表示選出的是女職工的事件。(1)(2)顯然，。這是因?yàn)橄拗圃谝寻l(fā)生的條件下求的概率的緣故。另外，可由推得一般情況下條件概率的定義.設(shè)實(shí)驗(yàn)的基本事件總數(shù)為，事件所包含的基本事件數(shù)為，事件所包含的基本事件數(shù)為，則有由此可得條件概率的定義。定義設(shè)為兩個(gè)事件，且，則稱為事件發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為根據(jù)條件概率定義，不難驗(yàn)證它符合概率定義中的三個(gè)條件，即若事件是兩兩互不相容的，則條件概率既然是一個(gè)概率，對(duì)于事件A而言，它也就滿足概率的一般性質(zhì)。條件概率是概率論中一個(gè)很重要、很基本的概念。必須很好地理解和掌握它。條件概率也可利用“縮減樣本空間”的方法來(lái)計(jì)算。如求，可把事件所包含的基本事件作為樣本空間，在這個(gè)“小”的樣本空間中求事件發(fā)生的概率。例某種動(dòng)物出生之后活到20歲的概率為0.7，活到25歲的概率為0.56，求現(xiàn)年為20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率。解設(shè)表示這種動(dòng)物活到20歲以上的事件，表示這種動(dòng)物活到25歲以下的事件，則由題設(shè)且得乘法定理 設(shè)有事件和，若，或，則由條件概率定義，得或.一般地，設(shè)事件若，則有事實(shí)上，由有故公式右邊的每個(gè)條件概率都是有意義的，于是由條件概率定義可得課題：第6講一、教學(xué)目的：⒈掌握兩個(gè)事件的獨(dú)立性。2.了解有限個(gè)事件的獨(dú)立性。3.掌握相互獨(dú)立性的性質(zhì)。4理解伯努利概型。二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈兩個(gè)事件的獨(dú)立性，相互獨(dú)立性的性質(zhì)。⒉伯努利概型，舉例說(shuō)明解決。三、教學(xué)難點(diǎn)：相互獨(dú)立性的性質(zhì)，舉例說(shuō)明解決.四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（10分鐘）兩個(gè)事件的獨(dú)立性（20分鐘）有限個(gè)事件的獨(dú)立性（30分鐘）相互獨(dú)立性的性質(zhì)（30分鐘）例題（15分鐘）伯努利概型（20分鐘）例題（10分鐘）八、課程小結(jié)（5分鐘）九、作業(yè)（5分鐘）習(xí)題1.4:48頁(yè)14，15十、教學(xué)后記：講義兩個(gè)事件的獨(dú)立性定義若兩事件,滿足則稱,獨(dú)立,或稱,相互獨(dú)立.注:當(dāng),時(shí),,相互獨(dú)立與,互不相容不能同時(shí)成立.但與既相互獨(dú)立又互不相容(自證).定理1設(shè),是兩事件,且,若,相互獨(dú)立,則.反之亦然.定理2設(shè)事件,相互獨(dú)立,則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立:與,與,與.有限個(gè)事件的獨(dú)立性定義設(shè)為三個(gè)事件,若滿足等式則稱事件相互獨(dú)立.對(duì)個(gè)事件的獨(dú)立性,可類似寫(xiě)出其定義:定義設(shè)是個(gè)事件,若其中任意兩個(gè)事件之間均相互獨(dú)立,則稱兩兩獨(dú)立.相互獨(dú)立性的性質(zhì)性質(zhì)1若事件相互獨(dú)立,則其中任意個(gè)事件也相互獨(dú)立;由獨(dú)立性定義可直接推出.性質(zhì)2若個(gè)事件相互獨(dú)立,則將中任意個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件,所得的個(gè)事件仍相互獨(dú)立;對(duì)時(shí)，定理2已作證明,一般情況可利用數(shù)學(xué)歸納法證之，此處略.性質(zhì)3設(shè)是個(gè)隨機(jī)事件，則相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立.即相互獨(dú)立性是比兩兩獨(dú)立性更強(qiáng)的性質(zhì),伯努利概型設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果:事件發(fā)生(記為)或事件不發(fā)生(記為),則稱這樣的試驗(yàn)為伯努利(Bermourlli)試驗(yàn).設(shè)將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次,稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為重伯努利試驗(yàn),或簡(jiǎn)稱為伯努利概型.注:重伯努利試驗(yàn)是一種很重要的數(shù)學(xué)模型,在實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用.其特點(diǎn)是:事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率均為,且不受其他各次試驗(yàn)中是否發(fā)生的影響.定理3（伯努利定理）設(shè)在一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為則在重貝努里試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率為推論設(shè)在一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為則在重貝努里試驗(yàn)中,事件在第次試驗(yàn)中的才首次發(fā)生的概率為注意到“事件第次試驗(yàn)才首次發(fā)生”等價(jià)于在前次試驗(yàn)組成的重伯努利試驗(yàn)中“事件在前次試驗(yàn)中均不發(fā)生而第次試驗(yàn)中事件發(fā)生”,再由伯努利定理即推得.例題選講：兩個(gè)事件的獨(dú)立性例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記{抽到},{抽到的牌是黑色的},問(wèn)事件、是否獨(dú)立?注：從例1可見(jiàn),判斷事件的獨(dú)立性,可利用定義或通過(guò)計(jì)算條件概率來(lái)判斷.但在實(shí)際應(yīng)用中,常根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.例2已知甲、乙兩袋中分別裝有編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)球.今從甲、乙兩袋中各取出一球,設(shè){從甲袋中取出的是偶數(shù)號(hào)球},{從乙袋中取出的是奇數(shù)號(hào)球},{從兩袋中取出的都是偶數(shù)號(hào)球或都是奇數(shù)號(hào)球},試證兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立.課題：第6講一、教學(xué)目的：⒈使學(xué)生掌握隨機(jī)變量的定義,引入隨機(jī)變量的意義.2.理解隨機(jī)變量的分布函數(shù),分布函數(shù)的性質(zhì).3.理解概率分布。二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈掌握隨機(jī)變量的定義。⒉理解分布函數(shù)的性質(zhì)及其求法。舉例說(shuō)明解決.三、教學(xué)難點(diǎn)：1.分布函數(shù)的性質(zhì)及其求法，舉例說(shuō)明解決.四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（20分鐘）在隨機(jī)試驗(yàn)中，人們除對(duì)某些特定事件發(fā)生的概率感興趣外，往往還關(guān)心某個(gè)與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果相聯(lián)系的變量.由于這一變量的取值依賴于隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，因而被稱為隨機(jī)變量.與普通的變量不同，對(duì)于隨機(jī)變量，人們無(wú)法事先預(yù)知其確切取值，但可以研究其取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.本章將介紹兩類隨機(jī)變量及描述隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的分布.隨機(jī)變量（20分鐘）分布函數(shù)（35分鐘）概率分布（35分鐘）八、課程小結(jié)（10分鐘）九、作業(yè)（5分鐘）習(xí)題2.1:73頁(yè)5，6，7十、教學(xué)后記：講義隨機(jī)變量概念的引入為全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,需將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái).1.在有些隨機(jī)試驗(yàn)中,試驗(yàn)的結(jié)果本身就由數(shù)量來(lái)表示.2.在另一些隨機(jī)試驗(yàn)中,試驗(yàn)結(jié)果看起來(lái)與數(shù)量無(wú)關(guān),但可以指定一個(gè)數(shù)量來(lái)表示之.隨機(jī)變量的定義定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為,稱定義在樣本空間上的實(shí)值單值函數(shù)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的比較:(1)它們都是實(shí)值函數(shù),但前者在試驗(yàn)前只知道它可能取值的范圍,而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值;(2)因試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,故前者取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的引入,使得隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件可通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái).由此可見(jiàn),隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi).也可以說(shuō),隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究之.其關(guān)系類似高等數(shù)學(xué)中常量與變量的關(guān)系.隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后,對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究,就由對(duì)事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究,使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.隨機(jī)變量因其取值方式不同,通常分為離散型和非離散型兩類.而非非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量.今后，我們主要討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.例1在拋擲一枚硬幣進(jìn)行打賭時(shí),若規(guī)定出現(xiàn)正面時(shí)拋擲者贏1元錢,出現(xiàn)反面時(shí)輸1元錢,則其樣本空間為{正面,反面},記贏錢數(shù)為隨機(jī)變量,則作為樣本空間的實(shí)值函數(shù)定義為例2在將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面、反面出現(xiàn)情況的試驗(yàn)中,其樣本空間記每次試驗(yàn)出現(xiàn)正面的總次數(shù)為隨機(jī)變量,則作為樣本空間上的函數(shù)定義為易見(jiàn),使取值為的樣本點(diǎn)構(gòu)成的子集為故類似地，有隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,稱為的分布函數(shù).有時(shí)記作或.分布函數(shù)的性質(zhì)1.單調(diào)非減.若,則；2.3.右連續(xù)性.即課題：第8講一、教學(xué)目的：1.使學(xué)生掌握離散型隨機(jī)變量及其概率分布。2.理解常用離散分布.二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈掌握離散型隨機(jī)變量及其概率分布。⒉理解二項(xiàng)分布，通過(guò)舉例說(shuō)明解決.三、教學(xué)難點(diǎn)：1.二項(xiàng)分布的計(jì)算，證明并舉例說(shuō)明解決.四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，必須且只需知道X的所有可能取值以及X取每一個(gè)可能值的概率每個(gè)隨機(jī)變量都有自己的分布。今天介紹幾種常用分布。（5分鐘）離散型隨機(jī)變量X（50分鐘）二項(xiàng)分布（25分鐘）泊松分布（45分鐘）其他常用分布（15分鐘）八、課程小結(jié)（5分鐘）九、作業(yè)習(xí)題2.4:101頁(yè)7，8十、教學(xué)后記：講義離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為,稱為的概率分布或分布律,也稱概率函數(shù).常用表格形式來(lái)表示的概率分布:常用離散型隨機(jī)變量的分布0-1分布若隨機(jī)變量X的分布律為則稱X服從以p為參數(shù)的0-1分布。0-1分布的分布律也可寫(xiě)成10若某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，如產(chǎn)品是否合格，試驗(yàn)是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正面等，它們的樣本空間為，則總能定義一個(gè)服從0-1分布的隨機(jī)變量也就是說(shuō)，它們都可以用（0-1）分布來(lái)描述，只不過(guò)對(duì)不同的問(wèn)題參數(shù)p的值不同而已.可見(jiàn)，0-1分布是經(jīng)常遇到的一種分布。二項(xiàng)分布若隨機(jī)變量X的取值為且其中，則稱X服從以為參數(shù)的二項(xiàng)分布或貝努利分布，記為。容易證明且注意到正好是二項(xiàng)式的展開(kāi)式的一般項(xiàng)，因此稱該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布。特別，當(dāng)時(shí)二項(xiàng)分布為。這就是0-1分布，故當(dāng)X服從0-1分布時(shí)，常記為。易見(jiàn)在n重貝努力試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)X是服從而二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量。又由.知當(dāng)時(shí)單調(diào)增加，時(shí)單調(diào)下降，因此可知當(dāng)k在附近時(shí)達(dá)最大值，也就是說(shuō)，在n重貝努力試驗(yàn)中，事件A發(fā)生[(n+1)p]次的概率最大，通常稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中最可能成功的次數(shù).泊松分布若隨機(jī)變量所有可能取值為而其中是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為。易知，具有泊松分布的隨機(jī)變量在實(shí)際應(yīng)用中是很多的。例如，在每個(gè)時(shí)段內(nèi)電話交換臺(tái)收到的電話的呼喚次數(shù)、某商店在一天內(nèi)的顧客數(shù)、在某時(shí)段內(nèi)的某放射性物質(zhì)發(fā)出的經(jīng)過(guò)計(jì)數(shù)器的粒子數(shù)等。泊松分布也是一種常見(jiàn)的重要分布。離散型隨機(jī)變量及其概率分布例1某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈的概率是0.9,求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)的概率分布.例2設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為:.試確定常數(shù).二項(xiàng)分布例3已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品,現(xiàn)從中有放回地取3次,每次任取1個(gè),求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率.例4某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊的命中率為0.02,獨(dú)立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.例5設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備,各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由4人維護(hù),每人負(fù)責(zé)20臺(tái);其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái).試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.幾何分布例6某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊,直到命中為止,已知他每發(fā)命中的概率是,求所需射擊發(fā)數(shù)的概率分布.泊松分布例7某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)的泊松分布,求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的概率.二項(xiàng)分布的泊松近似例8某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品300件.根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄知廢品率為0.01.問(wèn)現(xiàn)在這300件產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)廢品數(shù)大于5的概率是多少?課題：第8講一、教學(xué)目的：⒈使學(xué)生掌握連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布.2.理解常用續(xù)型分布.二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈掌握正態(tài)分布。⒉理解指數(shù)分布，均勻分布。舉例說(shuō)明解決.三、教學(xué)難點(diǎn)：1.正態(tài)分布，證明并舉例說(shuō)明解決.四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（5分鐘）許多隨機(jī)變量的取值是不能一個(gè)一個(gè)地列舉出來(lái)的且它們?nèi)∧硞€(gè)值的概率可能是零。例如，在測(cè)試燈泡的壽命時(shí)，可認(rèn)為壽命X的取值充滿了區(qū)間，事件表示燈泡的壽命正好是，在實(shí)際中，測(cè)試數(shù)百萬(wàn)只燈泡的壽命，可能也不會(huì)有一只的壽命正好是x0。也就是說(shuō)，事件發(fā)生的頻率在零附近波動(dòng)，自然可認(rèn)為。由于有許多隨機(jī)變量的概率分布情況不能以其取某個(gè)值的概率來(lái)表示，故我們轉(zhuǎn)而討論隨機(jī)變量X的取值落在某一個(gè)區(qū)間里的概率，即取定，討論。因?yàn)椋詫?duì)任何一個(gè)實(shí)數(shù)x，只需知道，就可知X的取值落在任一區(qū)間里的概率了。為此，我們用來(lái)討論隨機(jī)變量X的概率分布情況。連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度（25分鐘）正態(tài)分布（45分鐘）指數(shù)分布，均勻分布（40分鐘）八、課程小結(jié)（5分鐘）九、作業(yè)（5分鐘）習(xí)題2.5:115頁(yè)18，19十、教學(xué)后記：講義連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義如果對(duì)隨機(jī)變量的分布函數(shù),存在非負(fù)可積函數(shù),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱為的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱為概率密度或密度函數(shù).關(guān)于概率密度的說(shuō)明1.對(duì)一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,若已知其密度函數(shù),則根據(jù)定義,可求得其分布函數(shù),同時(shí),還可求得的取值落在任意區(qū)間上的概率:2.連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定值的概率為0.3.若在點(diǎn)處連續(xù),則(1)常用連續(xù)型分布均勻分布定義若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為則稱在區(qū)間上服從均勻分布,記為.指數(shù)分布定義若隨機(jī)變量的概率密度為則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布.簡(jiǎn)記為正態(tài)分布定義若隨機(jī)變量的概率密度為其中和都是常數(shù),則稱服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.記為注:正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布,在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣,故又常稱為高斯分布.一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)隨機(jī)變量如果受到許多隨機(jī)因素的影響，而其中每一個(gè)因素都不起主導(dǎo)作用（作用微?。?，則它服從正態(tài)分布.這是正態(tài)分布在實(shí)踐中得以廣泛應(yīng)用的原因.例如,產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo),元件的尺寸,某地區(qū)成年男子的身高、體重,測(cè)量誤差,射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差,信號(hào)噪聲、農(nóng)作物的產(chǎn)量等等,都服從或近似服從正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布當(dāng)時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,此時(shí),其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于,任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用：（1）表中給出了時(shí)的數(shù)值,當(dāng)時(shí),利用正態(tài)分布的對(duì)稱性,易見(jiàn)有（2）若則（3）若,則故的分布函數(shù)例題選講：連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度例1設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求其分布函數(shù).例2（講義例1）設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度課題：第10講一、教學(xué)目的：1.熟悉指數(shù)分布，均勻分布。2.掌握離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布。二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布。舉例說(shuō)明解決。三、教學(xué)難點(diǎn)：⒈指數(shù)分布的計(jì)算。四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（5分鐘）指數(shù)分布（50分鐘）均勻分布（40分鐘）離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布。（20分鐘）舉例（20分鐘）八、課程小結(jié)（5分鐘）九、作業(yè)（5分鐘）習(xí)題2.6:123頁(yè)2，3十、教學(xué)后記：講義一、指數(shù)分布若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為則稱服從指數(shù)分布，記為，其中參數(shù)。指數(shù)分布常被用作各種“壽命”分布，如電子元器件的壽命、動(dòng)物的壽命、電話的通話時(shí)間等都可假定服從指數(shù)分布。二、均勻分布若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為則稱服從在區(qū)間上的均勻分布,記為。2.6隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、隨機(jī)變量的函數(shù)定義如果存在一個(gè)函數(shù),使得隨機(jī)變量滿足:,則稱隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的函數(shù).一般地,對(duì)任意區(qū)間,令,則注:隨機(jī)變量與的函數(shù)關(guān)系確定,為從的分布出發(fā)導(dǎo)出的分布提供了可能.二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為易見(jiàn),的函數(shù)顯然還是離散型隨機(jī)變量.如何由的概率分布出發(fā)導(dǎo)出的概率分布?其一般方法是：先根據(jù)自變量的可能取值確定因變量的所有可能取值,然后對(duì)的每一個(gè)可能取值確定相應(yīng)的于是從而求得的概率分布.三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般地,連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)不一定是連續(xù)型隨機(jī)變量,但我們主要討論連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)還是連續(xù)型隨機(jī)變量的情形,此時(shí)我們不僅希望求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù),而且還希望求出其概率密度函數(shù).設(shè)已知的分布函數(shù)或概率密度函數(shù),則隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)可按如下方法求得:其中而常?？捎傻姆植己瘮?shù)來(lái)表達(dá)或用其概率密度函數(shù)的積分來(lái)表達(dá):進(jìn)而可通過(guò)的分布函數(shù),求出的密度函數(shù).定理1設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,又設(shè)處處可導(dǎo)且恒有(或恒有),則是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為其中是的反函數(shù),且離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1設(shè)隨機(jī)變量具有以下的分布律,試求的分布律.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2對(duì)一圓片直徑進(jìn)行測(cè)量,其值在[5,6]上均勻分布,求圓片面積的概率分布密度.例3設(shè),求的概率密度.例4設(shè),求的密度函數(shù).例5已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明服從上的均勻分布.例6也服從正態(tài)分布.例7設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布,求的概率密度.例8(對(duì)數(shù)正態(tài)分布)隨機(jī)變量稱為服從參數(shù)為的對(duì)數(shù)正態(tài)分布,如果服從正態(tài)分布.試求對(duì)數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù).注：在實(shí)際中,通常用對(duì)數(shù)正態(tài)分布來(lái)描述價(jià)格的分布,特別是在金融市場(chǎng)的理論研究中,如著名的期權(quán)定價(jià)公式（Black—Scholes公式）,以及許多實(shí)證研究都用對(duì)數(shù)正態(tài)分布來(lái)描述金融資產(chǎn)的價(jià)格.設(shè)某種資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)格為,考慮單期投資問(wèn)題,到期時(shí)該資產(chǎn)的價(jià)格為一個(gè)隨機(jī)變量,記作,設(shè)投資于該資產(chǎn)的連續(xù)復(fù)合收益率為,則有從而注意到為當(dāng)前價(jià)格,是已知常數(shù),因而假設(shè)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布實(shí)際上等價(jià)于假設(shè)連續(xù)復(fù)合收益率服從正態(tài)分布.例9設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求的分布函數(shù).課題：第10講一、教學(xué)目的：⒈使學(xué)生掌握離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)。⒉理解方差的定義，方差的計(jì)算。二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈期望的計(jì)算。⒉方差的計(jì)算，通過(guò)舉例讓學(xué)生理解。三、教學(xué)難點(diǎn)：理解隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，舉例說(shuō)明解決.四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（5分鐘）平均值是日常生活中最常用的一個(gè)數(shù)字特征,它對(duì)評(píng)判事物、作出決策等具有重要作用.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（25分鐘）隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（50分鐘）方差的定義，方差的計(jì)算（35分鐘）八、課程小結(jié)（5分鐘）九、作業(yè)（5分鐘）十、教學(xué)后記：講義離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義設(shè)是離散型隨機(jī)變量的概率分布為如果絕對(duì)收斂,則定義的數(shù)學(xué)期望(又稱均值)為連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為,如果絕對(duì)收斂,定義的數(shù)學(xué)期望為隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)是一隨機(jī)變量,為一實(shí)函數(shù),則也是一隨機(jī)變量,理論上,雖然可通過(guò)的分布求出的分布,再按定義求出的數(shù)學(xué)期望.但這種求法一般比較復(fù)雜.下面不加證明地引入有關(guān)計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定理.定理1設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,,且存在,則（1）若為離散型隨機(jī)變量,其概率分布為則的數(shù)學(xué)期望為（2）若為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為,則的數(shù)學(xué)期望為注:(i)定理的重要性在于:求時(shí),不必知道的分布,只需知道的分布即可.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望帶來(lái)很大方便;(ii)上述定理可推廣到二維以上的情形,即有定理2設(shè)是二維隨機(jī)向量,,且存在,則（1）若為離散型隨機(jī)向量,其概率分布為則的數(shù)學(xué)期望為（2）若為連續(xù)型隨機(jī)向量,其概率密度為則的數(shù)學(xué)期望為數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)是常數(shù),則2．若是常數(shù)，則3.4.設(shè)獨(dú)立,則;注:(i)由不一定能推出獨(dú)立，例如，在例10中，已計(jì)算得，但，顯然故與不獨(dú)立(ii)這個(gè)性質(zhì)可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量之和的情形.方差的定義定義1設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,若存在,則稱它為的方差,記為方差的算術(shù)平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差,它與具有相同的度量單位,在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用.方差刻劃了隨機(jī)變量的取值與數(shù)學(xué)期望的偏離程度,它的大小可以衡量隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性.從方差的定義易見(jiàn):(1)若的取值比較集中,則方差較小;(2)若的取值比較分散,則方差較大;(3)若方差,則隨機(jī)變量以概率1取常數(shù)值,此時(shí)也就不是隨機(jī)變量了.方差的計(jì)算若是離散型隨機(jī)變量,且其概率分布為則若是連續(xù)型隨機(jī)變量,且其概率密度為則利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),易得計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式:.方差的性質(zhì)1.設(shè)常數(shù),則;2.若是隨機(jī)變量,若是常數(shù),則3.設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)向量,則特別地,若相互獨(dú)立,則注:對(duì)維情形,有:若相互獨(dú)立,則課題：第11講一、教學(xué)目的：⒈使學(xué)生掌握二維隨機(jī)變量，二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。⒉理解二維離散型隨機(jī)變量及其概率分，二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度。二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。⒉二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度，通過(guò)舉例讓學(xué)生理解。三、教學(xué)難點(diǎn)：二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度，舉例說(shuō)明解決.四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（5分鐘）在實(shí)際應(yīng)用中,有些隨機(jī)現(xiàn)象需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來(lái)描述.例如,研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況時(shí),就要同時(shí)抽查兒童的身高、體重,這里,和是定義在同一個(gè)樣本空間{某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童}上的兩個(gè)隨機(jī)變量.又如,考察某次射擊中彈著點(diǎn)的位置時(shí)，就要同時(shí)考察彈著點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).在這種情況下，我們不但要研究多個(gè)隨機(jī)變量各自的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而且還要研究它們之間的統(tǒng)計(jì)相依關(guān)系，因而還需考察它們的聯(lián)合取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即多為隨機(jī)變量的分布.由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難,故我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.二維隨機(jī)變量，二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)（25分鐘）二維離散型隨機(jī)變量及其概率分，（45分鐘）二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度（45分鐘）八、課程小結(jié)（5分鐘）九、作業(yè)（5分鐘）十、教學(xué)后記：講義一、二維隨機(jī)變量定義1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為,為樣本點(diǎn)，而是定義在上的兩個(gè)隨機(jī)變量,稱為定義在上的二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量.二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2設(shè)是二維隨機(jī)變量,對(duì)任意實(shí)數(shù),二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)或稱為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù).聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì):（1）且對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的(2)關(guān)于和均為單調(diào)非減函數(shù),即對(duì)任意固定的當(dāng)對(duì)任意固定的當(dāng)(3)關(guān)于和均為右連續(xù),即三、二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義3若二維隨機(jī)變量只取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值,則稱為二維離散型隨機(jī)變量.結(jié)論：為二維離散型隨機(jī)變量當(dāng)且僅當(dāng)均為離散型隨機(jī)變量.若二維離散型隨機(jī)變量所有可能的取值為則稱為二維離散型隨機(jī)變量的概率分布(分布律),或的聯(lián)合概率分布(分布律).與一維情形類似,有時(shí)也將聯(lián)合概率分布用表格形式來(lái)表示,并稱為聯(lián)合概率分布表:注：對(duì)離散型隨機(jī)變量而言,聯(lián)合概率分布不僅比聯(lián)合分布函數(shù)更加直觀,而且能夠更加方便地確定取值于任何區(qū)域上的概率，即,特別地,由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù):四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義設(shè)為二維隨機(jī)變量,為其分布函數(shù),若存在一個(gè)非負(fù)可積的二元函數(shù),使對(duì)任意實(shí)數(shù),有則稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,并稱為的概率密度(密度函數(shù)),或的聯(lián)合概率密度(聯(lián)合密度函數(shù)).概率密度函數(shù)的性質(zhì):(3)設(shè)是平面上的區(qū)域,點(diǎn)落入內(nèi)的概率為特別地,邊緣分布函數(shù)上式表明:是連續(xù)型隨機(jī)變量,且其密度函數(shù)為:同理,是連續(xù)型隨機(jī)變量,且其密度函數(shù)為:,分別稱和為關(guān)于和的邊緣密度函數(shù).(4)若在點(diǎn)連續(xù),則有進(jìn)一步,根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義,可推得:當(dāng)很小時(shí),有即,落在區(qū)間上的概率近似等于五、二維均勻分布設(shè)是平面上的有界區(qū)域,其面積為.若二維隨機(jī)變量具有概率密度函數(shù)則稱在上服從均勻分布.六、二維正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量具有概率密度其中均為常數(shù),且,則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布.注：二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布，且都不依賴于參數(shù)，亦即對(duì)給定的，不同的對(duì)應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，但它們的邊緣分布都是相同的，因此僅由關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布，一般來(lái)說(shuō)是不能確定二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的.課題：第12講一、教學(xué)目的：⒈理解事件相互獨(dú)立的定義，掌握獨(dú)立性的有關(guān)運(yùn)算。⒉理解邊際分布概念。二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈事件相互獨(dú)立的定義，掌握獨(dú)立性的有關(guān)運(yùn)算。⒉邊際分布的計(jì)算。三、教學(xué)難點(diǎn)：獨(dú)立性的有關(guān)運(yùn)算，舉例說(shuō)明解決.四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（5分鐘）獨(dú)立性是概率論中的一個(gè)重要概念，在介紹獨(dú)立性的概念之前，先看一個(gè)例題。例1在100件產(chǎn)品中有5件次品.現(xiàn)采用有放回抽樣,即每次從中取出一件樣品觀察后在放回,然后進(jìn)行下次抽樣.試求:在第一次取得次品的條件下,第二次取的次品的概率;在第一次取得正品的條件下,第二次取的次品的概率;第二次取得次品的概率.解設(shè)A,B分別表示第一、二次取得次品的事件,則因?yàn)槭怯蟹呕爻闃?所以于是設(shè)A,B為試驗(yàn)的兩個(gè)事件.若,則可定義.一般地,即事件A的發(fā)生對(duì)B發(fā)生的概率是有影響的.在特殊情況下,一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響,如例1,有此時(shí)乘法公式可簡(jiǎn)化為事件相互獨(dú)立的定義（30分鐘）定理1，2（35分鐘）多個(gè)事件的相互獨(dú)立性（45分鐘）八、課程小結(jié)（5分鐘）九、作業(yè)（5分鐘）十、教學(xué)后記：講義設(shè)是隨機(jī)變量所生成的事件:,且,則有.一般地,由于隨機(jī)變量之間存在相互聯(lián)系,因而一個(gè)隨機(jī)變量的取值可能會(huì)影響另一個(gè)隨機(jī)變量的取值統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.在何種情況下,隨機(jī)變量之間沒(méi)有上述影響,而具有所謂的“獨(dú)立性”,我們引入如下定義.定義設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為,邊緣分布函數(shù)為,,若對(duì)任意實(shí)數(shù),有即則稱隨機(jī)變量和相互獨(dú)立.關(guān)于隨機(jī)變量的獨(dú)立性,有下列兩個(gè)定理.定理1隨機(jī)變量與相互獨(dú)立的充要條件是所生成的任何事件與生成的任何事件獨(dú)立,即,對(duì)任意實(shí)數(shù)集,有定理2如果隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,則對(duì)任意函數(shù)均有相互獨(dú)立.例2甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo),他們擊中目標(biāo)的概率分別位0.9與0.8.求在一次射擊中(每人各射一次)目標(biāo)被擊中的概率. 解設(shè)A,B分別表示甲、乙射中目標(biāo)的事件,C表示目標(biāo)被擊中的事件,則根據(jù)獨(dú)立性和,有于是所求概率為 在實(shí)際應(yīng)用中,只有兩個(gè)事件的獨(dú)立性的是不夠的,還不須用到多個(gè)事件的獨(dú)立性.定義對(duì)于3個(gè)事件A,B,.C,若僅下面3個(gè)等式同時(shí)成立:，則稱A,B,C兩兩獨(dú)立。若下面4個(gè)式子成立，則稱A,B,C為相互獨(dú)立. 由定義可知,若A,B,C相互獨(dú)立,則A,B,C必兩兩獨(dú)立.一般地,若A,B,C兩兩獨(dú)立,則A,B,C不一定相互獨(dú)立.定義對(duì)n個(gè)事件,若下面?zhèn)€等式同行成立: 則稱是相互獨(dú)立的. 若相互獨(dú)立,則將的任意多個(gè)事件換成它們的逆事件,所得的個(gè)事件仍然相互獨(dú)立.若相互獨(dú)立,則易得 例3設(shè)某種高炮每次擊中飛機(jī)的概率為0.2,問(wèn)至少需要多少門這種高炮同時(shí)獨(dú)立發(fā)射(每門射一次)才能使擊中飛機(jī)的概率達(dá)到95%以上.解設(shè)所需高炮為門,A表示擊中飛機(jī)的事件,表示第門炮擊中飛機(jī)的事件,則由題意,得 即 將代入,得 解得 故至少需要14門高炮才能有95%以上的把握擊中飛機(jī).例4某工人看管甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床,在一小時(shí)內(nèi),這三臺(tái)機(jī)床不需照管的概率分別為0.8,0.9,0.6.設(shè)三臺(tái)機(jī)床是否需要照管獨(dú)立的,試求在一小時(shí)內(nèi):解設(shè)分別表示在一小時(shí)內(nèi)機(jī)床甲、乙、丙不需照管的事件，則由題意相互獨(dú)立,且 .有機(jī)床需要工人照管相當(dāng)于至少有一臺(tái)機(jī)床需要工人照管,即至少有一個(gè)發(fā)生,其概率為機(jī)床因無(wú)人照管而停工相當(dāng)于至少由兩臺(tái)機(jī)床需要照管,即至少有一個(gè)發(fā)生,其概率為課題：第13講一、教學(xué)目的：⒈使學(xué)生理解離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布，連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布。⒉理解連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的聯(lián)合概率密度，和的分布。二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈掌握離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布。⒉連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的聯(lián)合概率密度，通過(guò)舉例讓學(xué)生理解。三、教學(xué)難點(diǎn)：理解連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的聯(lián)合概率密度，舉例說(shuō)明解決.四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（10分鐘）在實(shí)際應(yīng)用中，有些隨機(jī)變量往往是兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù).例如，考慮全國(guó)年齡在40歲以上的人群，用和分別表示一個(gè)人的年齡和體重，表示這個(gè)人的血壓，并且已知與，的函數(shù)關(guān)系式,現(xiàn)希望通過(guò)的分布來(lái)確定的分布.此類問(wèn)題就是我們將要討論的兩個(gè)隨機(jī)向量函數(shù)的分布問(wèn)題.在本節(jié)中，我們重點(diǎn)討論兩種特殊的函數(shù)關(guān)系:(i);(ii)和，其中與相互獨(dú)立.注：應(yīng)指出的是，將兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布問(wèn)題推廣到個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布問(wèn)題只是表述和計(jì)算的繁雜程度的提高，并沒(méi)有本質(zhì)性的差異.離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布（40分鐘）連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布（40分鐘）和的分布（25分鐘）八、課程小結(jié)（5分鐘）九、作業(yè)（5分鐘）十、教學(xué)后記：講義一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,是一個(gè)二元函數(shù),則作為的函數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,如果的概率分布為設(shè)的所有可能取值為,則的概率分布為二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量,其概率密度函數(shù)為,令為一個(gè)二元函數(shù),則是的函數(shù).可用類似于求一元隨機(jī)變量函數(shù)分布的方法來(lái)求的分布.a)求分布函數(shù)其中,b)求其概率密度函數(shù),對(duì)幾乎所有的z,有定理1設(shè)是具有密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)向量.(1)設(shè)是到自身的一一映射,即存在定義在該變換的值域上的逆變換:(2)假設(shè)變換和它的逆都是連續(xù)的;(3)假設(shè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù);(4)假設(shè)逆變換的雅可比行列式,即對(duì)于在變換的值域中的是不為0的.則具有聯(lián)合密度定理2設(shè)相互獨(dú)立，且則仍然服從正態(tài)分布，且更一般地，可以證明：有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,即有定理3若且它們相互獨(dú)立，則對(duì)任意不全為零的常數(shù)，有.三、及的分布設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,其分布函數(shù)分別為和,由于不大于z等價(jià)于和都不大于z,故有類似地,可得的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例1設(shè)隨機(jī)變量的概率分布如下表YX0120.20.150.10.320.100.10.05求二維隨機(jī)變量的函數(shù)Z的分布:例2設(shè)和相互獨(dú)立,求的分布.例3若和相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明服從參數(shù)為的泊松分布.連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例4設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且同服從上的均勻分布,試求的分布函數(shù)與密度函數(shù).例5設(shè)的密度函數(shù)為令試用表示和的聯(lián)合密度函數(shù).和的分布：設(shè)和的聯(lián)合密度為,求的密度.卷積公式:當(dāng)和獨(dú)立時(shí),設(shè)關(guān)于的邊緣密度分別為則上述兩式化為以上兩個(gè)公式稱為卷積公式.第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布課題：第14講一、教學(xué)目的：⒈理解總體、個(gè)體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的概念。⒉理解統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題。3.了解經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈理解總體、個(gè)體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的概念。⒉理解統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題。三、教學(xué)難點(diǎn)：1.理解統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題，通過(guò)畫(huà)圖并舉例說(shuō)明解決。四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（5分鐘）從本章開(kāi)始,我們將講述數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本內(nèi)容.數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門學(xué)科誕生于19世紀(jì)末20世紀(jì)初,是具有廣泛應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支,它以概率論為基礎(chǔ),根據(jù)試驗(yàn)或觀察得到的數(shù)據(jù),來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象,以便對(duì)研究對(duì)象的客觀規(guī)律性作出合理的估計(jì)和判斷.統(tǒng)計(jì)分為描述統(tǒng)計(jì)和推斷統(tǒng)計(jì)。描述統(tǒng)計(jì)是確定性的，是對(duì)數(shù)據(jù)資料的收集與整理。推斷統(tǒng)計(jì)是遵循一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律對(duì)數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析推斷做出結(jié)論。實(shí)際生活中人們常常無(wú)法對(duì)所研究的對(duì)象的全體(或總體)進(jìn)行觀察，比如燈泡壽命，如果把生產(chǎn)的燈泡全部用來(lái)做實(shí)驗(yàn)成本很大，浪費(fèi)人力，物力，所以只能抽取其中的部分(或樣本)進(jìn)行觀察，用得到的數(shù)據(jù)反過(guò)來(lái)對(duì)總體的分布或總體的類型等進(jìn)行推斷。所以統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心問(wèn)題是由樣本推斷總體，也就是推斷統(tǒng)計(jì)。一、總體與總體分布（35分鐘）二、樣本與樣本分布（35分鐘）三、統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題簡(jiǎn)述（20分鐘）四、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)（25分鐘）八、課程小結(jié)（5分鐘）九、作業(yè)習(xí)題5.1:244頁(yè)1，2十、教學(xué)后記：講義接下來(lái)我們從統(tǒng)計(jì)中最基本的概念總體和樣本開(kāi)始介紹統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)容。一、總體與總體分布總體是具有一定共性的研究對(duì)象的全體,其大小與范圍隨具體研究與考察的目的而確定.例如,考察某大學(xué)一年級(jí)新生的體重情況,則該校一年級(jí)全體新生就構(gòu)成了待研究的總體.總體確定后,我們稱總體的每一個(gè)可觀察值為個(gè)體.如前述總體(一年級(jí)新生)中的每一個(gè)個(gè)體即為每個(gè)新生的體重.總體中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為總體的容量.容量為有限的稱為有限總體,容量為無(wú)限的稱為無(wú)限總體.數(shù)理統(tǒng)計(jì)中所關(guān)心的并非每個(gè)個(gè)體的所有性質(zhì),而僅僅是它的某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)數(shù)量指標(biāo).如前述總體(一年級(jí)新生)中,我們關(guān)心的是個(gè)體的體重,進(jìn)而也可考察該總體中每個(gè)個(gè)體的身高和數(shù)學(xué)高考成績(jī)等數(shù)量指標(biāo).總體中的每一個(gè)個(gè)體是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)觀察值,故它是某一隨機(jī)變量的值,于是,一個(gè)總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量,對(duì)總體的研究就相當(dāng)于對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量的研究,的分布就稱為總體的分布函數(shù),今后將不區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量,并引入如下定義:定義統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱隨機(jī)變量(或向量)為總體,并把隨機(jī)變量(或向量)的分布稱為總體分布.注：(i)有時(shí)個(gè)體的特性很難用數(shù)量指標(biāo)直接描述,但總可以將其數(shù)量化,如檢驗(yàn)?zāi)硨W(xué)校全體學(xué)生的血型,試驗(yàn)的結(jié)果有O型、A型、B型、AB型4種,若分別以1,2,3,4依次記這4種血型,則試驗(yàn)的結(jié)果就可以用數(shù)量來(lái)表示了;(ii)總體的分布一般來(lái)說(shuō)是未知的,有時(shí)即使知道其分布的類型(如正態(tài)分布、二項(xiàng)分布等),但不知這些分布中所含的參數(shù)等(如等).數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是根據(jù)總體中部分個(gè)體的數(shù)據(jù)資料對(duì)總體的未知分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.二、樣本與樣本分布由于作為統(tǒng)計(jì)研究對(duì)象的總體分布一般來(lái)說(shuō)是未知的,為推斷總體分布及其各種特征,一般方法是按一定規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察,通過(guò)觀察可得到關(guān)于總體的一組數(shù)值,其中每一個(gè)是從總體中抽取的某一個(gè)體的數(shù)量指標(biāo)的觀察值.上述抽取過(guò)程為抽樣,所抽取的部分個(gè)體稱為樣本.樣本中所含個(gè)體數(shù)目稱為樣本的容量.為對(duì)總體進(jìn)行合理的統(tǒng)計(jì)推斷,我們還需在相同的條件下進(jìn)行多次重復(fù)的、獨(dú)立的抽樣觀察,故樣本是一個(gè)隨機(jī)變量(或向量).容量為的樣本可視為維隨機(jī)向量,一旦具體取定一組樣本,便得到樣本的一次具體的觀察值,稱其為樣本值.全體樣本值組成的集合稱為樣本空間.注：(i)為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息,必須考慮抽樣方法,最常用的一種抽樣方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,它要求抽取的樣本滿足下面兩個(gè)條件:1.隨機(jī)性:要求總體中每一個(gè)個(gè)體都有同等機(jī)會(huì)被選入樣本，這意味著每一個(gè)樣品與所考察的總體具有相同的分布;2.獨(dú)立性:是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,它可用與個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量表示.顯然,簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是一種非常理想化的樣本,在實(shí)際應(yīng)用中要獲得嚴(yán)格意義下的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本并不容易.對(duì)有限總體,若采用有放回抽樣就能得到簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,但有放回抽樣使用起來(lái)不方便,故實(shí)際操作中通常采用的是無(wú)放回抽樣,當(dāng)所考察的總體很大時(shí),無(wú)放回抽樣與有放回抽樣的區(qū)別很小,此時(shí)可近似把無(wú)放回抽所得到的樣本看成是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.對(duì)無(wú)限總體,因抽取一個(gè)個(gè)體不影響它的分布,故采用無(wú)放回抽樣即可得到的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.今后假定所考慮的樣本均為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,簡(jiǎn)稱為樣本.(ii)樣本具有二重性：1.在未做實(shí)驗(yàn)前樣本是n個(gè)隨機(jī)變量。2.在做完試驗(yàn)后由樣本是n個(gè)數(shù)?？赏ㄟ^(guò)上下文理解該樣本究竟是表示數(shù)還是隨機(jī)變量。（ⅲ）樣本有相同的分布，因?yàn)樗麄兌紒?lái)自同一個(gè)總體，且它們與總體同分布。

三、統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題簡(jiǎn)述總體和樣本是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的兩個(gè)基本概念.樣本來(lái)自總體，自然帶有總體的信息，從而可以從這些信息出發(fā)去研究總體的某些特征（分布或分布中的參數(shù)）.另一方面，由樣本研究總體可以省時(shí)省力（特別是針對(duì)破壞性的抽樣試驗(yàn)而言）.我們稱通過(guò)總體的一個(gè)樣本對(duì)總體的分布進(jìn)行推斷的問(wèn)題為統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題.總體、樣本、樣本值的關(guān)系:總體推斷（個(gè)體）樣本樣本值在實(shí)際應(yīng)用中,總體的分布一般是未知的,或雖然知道總體分布所屬的類型,但其中包含著未知參數(shù).統(tǒng)計(jì)推斷就是利用樣本值對(duì)總體的分布類型、未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)和推斷.四、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為了研究總體分布函數(shù)，我們引入經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)概念。定義將總體的一個(gè)樣本按大小次序排列成稱為總體的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。它不是由理論而是由試驗(yàn)得到的結(jié)果。對(duì)于任一實(shí)數(shù)x,當(dāng)n很大時(shí)，某種意義上收斂于分布函數(shù),即X的真正的分布函數(shù)。對(duì)于任一實(shí)數(shù)x當(dāng)n充分大時(shí),經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的任一個(gè)觀察值與總體分布函數(shù)只有微小的差別,從而在實(shí)際中可當(dāng)作來(lái)使用.這就是由樣本推斷總體其可行性的最基本的理論依據(jù).例：某廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品重量為隨機(jī)變量X（件），現(xiàn)隨機(jī)抽取5件，其重量數(shù)據(jù)如下：351，347，355，344，351求其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。解：這是一個(gè)容量為5的樣本，經(jīng)排序得有序樣本：其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為：0，0.2，0.4，0.8，1，五、經(jīng)驗(yàn)分布列XP六、經(jīng)驗(yàn)密度函數(shù)1.確定極差。2.確定分組數(shù)。3.確定組距。4.確定分組及頻數(shù)。5.作圖。小結(jié)：統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心問(wèn)題是由樣本推斷總體，因此理解統(tǒng)計(jì)量的概念非常重要。它是樣本的函數(shù)，統(tǒng)計(jì)量的選擇和運(yùn)用在統(tǒng)計(jì)推斷中占據(jù)核心地位。樣本均值、樣本方差以及其他樣本矩都是一些常用的統(tǒng)計(jì)量，必須熟悉它們的計(jì)算方法及其有關(guān)性質(zhì)。第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布課題：第14講一、教學(xué)目的：⒈理解總體、個(gè)體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的概念。⒉理解統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題。3.了解經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈理解總體、個(gè)體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的概念。⒉理解統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題。三、教學(xué)難點(diǎn)：1.理解統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題，通過(guò)畫(huà)圖并舉例說(shuō)明解決。四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（5分鐘）從本章開(kāi)始,我們將講述數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本內(nèi)容.數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門學(xué)科誕生于19世紀(jì)末20世紀(jì)初,是具有廣泛應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支,它以概率論為基礎(chǔ),根據(jù)試驗(yàn)或觀察得到的數(shù)據(jù),來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象,以便對(duì)研究對(duì)象的客觀規(guī)律性作出合理的估計(jì)和判斷.統(tǒng)計(jì)分為描述統(tǒng)計(jì)和推斷統(tǒng)計(jì)。描述統(tǒng)計(jì)是確定性的，是對(duì)數(shù)據(jù)資料的收集與整理。推斷統(tǒng)計(jì)是遵循一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律對(duì)數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析推斷做出結(jié)論。實(shí)際生活中人們常常無(wú)法對(duì)所研究的對(duì)象的全體(或總體)進(jìn)行觀察，比如燈泡壽命，如果把生產(chǎn)的燈泡全部用來(lái)做實(shí)驗(yàn)成本很大，浪費(fèi)人力，物力，所以只能抽取其中的部分(或樣本)進(jìn)行觀察，用得到的數(shù)據(jù)反過(guò)來(lái)對(duì)總體的分布或總體的類型等進(jìn)行推斷。所以統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心問(wèn)題是由樣本推斷總體，也就是推斷統(tǒng)計(jì)。一、總體與總體分布（35分鐘）二、樣本與樣本分布（35分鐘）三、統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題簡(jiǎn)述（20分鐘）四、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)（25分鐘）八、課程小結(jié)（5分鐘）九、作業(yè)習(xí)題5.1:244頁(yè)1，2十、教學(xué)后記：講義接下來(lái)我們從統(tǒng)計(jì)中最基本的概念總體和樣本開(kāi)始介紹統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)容。一、總體與總體分布總體是具有一定共性的研究對(duì)象的全體,其大小與范圍隨具體研究與考察的目的而確定.例如,考察某大學(xué)一年級(jí)新生的體重情況,則該校一年級(jí)全體新生就構(gòu)成了待研究的總體.總體確定后,我們稱總體的每一個(gè)可觀察值為個(gè)體.如前述總體(一年級(jí)新生)中的每一個(gè)個(gè)體即為每個(gè)新生的體重.總體中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為總體的容量.容量為有限的稱為有限總體,容量為無(wú)限的稱為無(wú)限總體.數(shù)理統(tǒng)計(jì)中所關(guān)心的并非每個(gè)個(gè)體的所有性質(zhì),而僅僅是它的某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)數(shù)量指標(biāo).如前述總體(一年級(jí)新生)中,我們關(guān)心的是個(gè)體的體重,進(jìn)而也可考察該總體中每個(gè)個(gè)體的身高和數(shù)學(xué)高考成績(jī)等數(shù)量指標(biāo).總體中的每一個(gè)個(gè)體是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)觀察值,故它是某一隨機(jī)變量的值,于是,一個(gè)總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量,對(duì)總體的研究就相當(dāng)于對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量的研究,的分布就稱為總體的分布函數(shù),今后將不區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量,并引入如下定義:定義統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱隨機(jī)變量(或向量)為總體,并把隨機(jī)變量(或向量)的分布稱為總體分布.注：(i)有時(shí)個(gè)體的特性很難用數(shù)量指標(biāo)直接描述,但總可以將其數(shù)量化,如檢驗(yàn)?zāi)硨W(xué)校全體學(xué)生的血型,試驗(yàn)的結(jié)果有O型、A型、B型、AB型4種,若分別以1,2,3,4依次記這4種血型,則試驗(yàn)的結(jié)果就可以用數(shù)量來(lái)表示了;(ii)總體的分布一般來(lái)說(shuō)是未知的,有時(shí)即使知道其分布的類型(如正態(tài)分布、二項(xiàng)分布等),但不知這些分布中所含的參數(shù)等(如等).數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是根據(jù)總體中部分個(gè)體的數(shù)據(jù)資料對(duì)總體的未知分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.二、樣本與樣本分布由于作為統(tǒng)計(jì)研究對(duì)象的總體分布一般來(lái)說(shuō)是未知的,為推斷總體分布及其各種特征,一般方法是按一定規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察,通過(guò)觀察可得到關(guān)于總體的一組數(shù)值,其中每一個(gè)是從總體中抽取的某一個(gè)體的數(shù)量指標(biāo)的觀察值.上述抽取過(guò)程為抽樣,所抽取的部分個(gè)體稱為樣本.樣本中所含個(gè)體數(shù)目稱為樣本的容量.為對(duì)總體進(jìn)行合理的統(tǒng)計(jì)推斷,我們還需在相同的條件下進(jìn)行多次重復(fù)的、獨(dú)立的抽樣觀察,故樣本是一個(gè)隨機(jī)變量(或向量).容量為的樣本可視為維隨機(jī)向量,一旦具體取定一組樣本,便得到樣本的一次具體的觀察值,稱其為樣本值.全體樣本值組成的集合稱為樣本空間.注：(i)為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息,必須考慮抽樣方法,最常用的一種抽樣方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,它要求抽取的樣本滿足下面兩個(gè)條件:1.隨機(jī)性:要求總體中每一個(gè)個(gè)體都有同等機(jī)會(huì)被選入樣本，這意味著每一個(gè)樣品與所考察的總體具有相同的分布;2.獨(dú)立性:是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,它可用與個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量表示.顯然,簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是一種非常理想化的樣本,在實(shí)際應(yīng)用中要獲得嚴(yán)格意義下的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本并不容易.對(duì)有限總體,若采用有放回抽樣就能得到簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,但有放回抽樣使用起來(lái)不方便,故實(shí)際操作中通常采用的是無(wú)放回抽樣,當(dāng)所考察的總體很大時(shí),無(wú)放回抽樣與有放回抽樣的區(qū)別很小,此時(shí)可近似把無(wú)放回抽所得到的樣本看成是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.對(duì)無(wú)限總體,因抽取一個(gè)個(gè)體不影響它的分布,故采用無(wú)放回抽樣即可得到的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.今后假定所考慮的樣本均為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,簡(jiǎn)稱為樣本.(ii)樣本具有二重性：1.在未做實(shí)驗(yàn)前樣本是n個(gè)隨機(jī)變量。2.在做完試驗(yàn)后由樣本是n個(gè)數(shù)?？赏ㄟ^(guò)上下文理解該樣本究竟是表示數(shù)還是隨機(jī)變量。（ⅲ）樣本有相同的分布，因?yàn)樗麄兌紒?lái)自同一個(gè)總體，且它們與總體同分布。

三、統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題簡(jiǎn)述總體和樣本是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的兩個(gè)基本概念.樣本來(lái)自總體，自然帶有總體的信息，從而可以從這些信息出發(fā)去研究總體的某些特征（分布或分布中的參數(shù)）.另一方面，由樣本研究總體可以省時(shí)省力（特別是針對(duì)破壞性的抽樣試驗(yàn)而言）.我們稱通過(guò)總體的一個(gè)樣本對(duì)總體的分布進(jìn)行推斷的問(wèn)題為統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題.總體、樣本、樣本值的關(guān)系:總體推斷（個(gè)體）樣本樣本值在實(shí)際應(yīng)用中,總體的分布一般是未知的,或雖然知道總體分布所屬的類型,但其中包含著未知參數(shù).統(tǒng)計(jì)推斷就是利用樣本值對(duì)總體的分布類型、未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)和推斷.四、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為了研究總體分布函數(shù)，我們引入經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)概念。定義將總體的一個(gè)樣本按大小次序排列成稱為總體的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。它不是由理論而是由試驗(yàn)得到的結(jié)果。對(duì)于任一實(shí)數(shù)x,當(dāng)n很大時(shí)，某種意義上收斂于分布函數(shù),即X的真正的分布函數(shù)。對(duì)于任一實(shí)數(shù)x當(dāng)n充分大時(shí),經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的任一個(gè)觀察值與總體分布函數(shù)只有微小的差別,從而在實(shí)際中可當(dāng)作來(lái)使用.這就是由樣本推斷總體其可行性的最基本的理論依據(jù).例：某廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品重量為隨機(jī)變量X（件），現(xiàn)隨機(jī)抽取5件，其重量數(shù)據(jù)如下：351，347，355，344，351求其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。解：這是一個(gè)容量為5的樣本，經(jīng)排序得有序樣本：其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為：0，0.2，0.4，0.8，1，五、經(jīng)驗(yàn)分布列XP六、經(jīng)驗(yàn)密度函數(shù)1.確定極差。2.確定分組數(shù)。3.確定組距。4.確定分組及頻數(shù)。5.作圖。小結(jié)：統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心問(wèn)題是由樣本推斷總體，因此理解統(tǒng)計(jì)量的概念非常重要。它是樣本的函數(shù)，統(tǒng)計(jì)量的選擇和運(yùn)用在統(tǒng)計(jì)推斷中占據(jù)核心地位。樣本均值、樣本方差以及其他樣本矩都是一些常用的統(tǒng)計(jì)量，必須熟悉它們的計(jì)算方法及其有關(guān)性質(zhì)。課題：第15講一、教學(xué)目的：⒈理解統(tǒng)計(jì)量的概念。⒉理解樣本的數(shù)字特征。3.了解點(diǎn)估計(jì)的概念。二、教學(xué)重點(diǎn)：⒈理解統(tǒng)計(jì)量的概念。三、教學(xué)難點(diǎn)：1.樣本的數(shù)字特征。四、教具、教學(xué)素材準(zhǔn)備：黑板,<<概率統(tǒng)計(jì)引論>>、<<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程>>，<<概率論講義>>。五、教學(xué)方法：講授法為主六、教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)七、教學(xué)過(guò)程：引入：（5分鐘）為由樣本推斷總體,要構(gòu)造一些合適的統(tǒng)計(jì)量,再由這些統(tǒng)計(jì)量來(lái)推斷未知總體.這里,樣本的統(tǒng)計(jì)量即為樣本的函數(shù).廣義地講,統(tǒng)計(jì)量可以是樣本的任一函數(shù),但由于構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量的目的是為推斷未知總體的分布,故在構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量時(shí),就不應(yīng)包含總