固體力學(xué)大變形基本知識(shí)1.物體運(yùn)動(dòng)的物質(zhì)描述2.格林和阿爾曼西應(yīng)變3.物體運(yùn)動(dòng)等的空間描述和變形率4.歐拉、拉格朗日和克希荷夫應(yīng)力5.大變形時(shí)平衡方程和虛位移原理6.

大變形本構(gòu)關(guān)系2000.41哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作1.1物體運(yùn)動(dòng)的物質(zhì)描述-拉格朗日描述

t=0的坐標(biāo)為Xi，t時(shí)刻位置為xi，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可表為

對(duì)物體t時(shí)刻位置和變形的刻劃稱為構(gòu)形或位形，如圖示。

描述運(yùn)動(dòng)的參照基準(zhǔn)稱為參考位形，以初始位形作參考位形的描述稱為物質(zhì)描述或拉格朗日描述，Xi稱為物質(zhì)坐標(biāo)。2000.42哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作

物體現(xiàn)時(shí)坐標(biāo)xi對(duì)物質(zhì)坐標(biāo)Xi的偏導(dǎo)數(shù)稱為變形梯度，是非對(duì)稱的二階張量。

因此可以將變形梯度視作一種線性變換，它將參考位形中的線元dXi變換為現(xiàn)時(shí)位形中的線元dxi，這變換中既有伸縮，也有轉(zhuǎn)動(dòng)。變形梯度在大變形分析中很重要。

現(xiàn)時(shí)位形兩鄰點(diǎn)的距離為1.2、變形梯度2000.43哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作物體運(yùn)動(dòng)和變形是單值和連續(xù)的，也即在任一時(shí)刻，和是一一對(duì)應(yīng)的，那么在參考位形的任意點(diǎn)Jacobi行列式J不為零。也即變形梯度可逆Ricci可由Ricci置換符號(hào)的定義和行列式的性質(zhì)證明Ricci符號(hào)2000.44哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作證明由此可見(jiàn)，返回2000.45哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作設(shè)圖示初始位形微元體體積為dV0，三線元為運(yùn)動(dòng)變形后，現(xiàn)時(shí)位形三線元為1.3、體積變換公式2000.46哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作變形梯度因此，現(xiàn)時(shí)位形的體積可表為體積變換公式0"'ddddVJXXXJekjiijk==2000.47哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作仿體積的上述說(shuō)明，圖示面元可表為

如果記初始和現(xiàn)時(shí)位形的密度分別為則由質(zhì)量守恒，可得因此對(duì)不可壓縮物體又因1.4、面積變換公式體積變換公式2000.48哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作由此面元變換公式也可表為根據(jù)變形梯度張量可逆面積變換公式面積變換公式1.4、面積變換公式2000.49哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作1.5

Green和Almansi應(yīng)變張量設(shè)初始和現(xiàn)時(shí)位形中P、Q兩點(diǎn)的距離分別為研究變形前后線段尺度的變化可以獲得變形的度量－應(yīng)變格林應(yīng)變張量阿爾曼西張量格林應(yīng)變張量用初始位形定義，也即用變形前的坐標(biāo)定義它是lagrange坐標(biāo)的函數(shù)。阿爾曼西應(yīng)變張量用現(xiàn)時(shí)位形定義，它是Euler坐標(biāo)的函數(shù)。2000.410哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作質(zhì)點(diǎn)的位移向量也同樣可用初始位形和現(xiàn)時(shí)位形定義上式對(duì)lagrange坐標(biāo)或?qū)uler坐標(biāo)求偏導(dǎo)，可得變形梯度張量分別為位移對(duì)坐標(biāo)（）的偏導(dǎo)數(shù)，稱為位移梯度張量。初始坐標(biāo)的函數(shù)現(xiàn)時(shí)坐標(biāo)的函數(shù)1.5Green和Almansi應(yīng)變張量2000.411哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作

由此公式可見(jiàn)，兩種應(yīng)變張量都是對(duì)稱的。類似彈（塑）性力學(xué)的應(yīng)變分析（與主應(yīng)力分析相仿），可以證明，體內(nèi)任一點(diǎn)處至少有三個(gè)相互垂直的應(yīng)變主軸，任兩與主軸平行的物質(zhì)線元，變形過(guò)程中仍保持垂直。

將變形梯度張量代入兩種應(yīng)變的表達(dá)式，可得用位移梯度張量表示的應(yīng)變公式如下1.5Green和Almansi應(yīng)變張量2000.412哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作格林應(yīng)變張量阿爾曼西張量2000.413哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作這表明，當(dāng)位移梯度很小時(shí)，可以不區(qū)分初始位形和現(xiàn)時(shí)位形，位移梯度分量的乘積項(xiàng)是高階小量，將其略去后，即可得到小變形時(shí)的柯西應(yīng)變-工程應(yīng)變

當(dāng)位移梯度遠(yuǎn)小于1時(shí)，對(duì)任意函數(shù)F有如下關(guān)系具有相同量級(jí)2000.414哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作若現(xiàn)時(shí)位形只是相對(duì)初始位形作剛體移動(dòng)，則則物體一定無(wú)變形，反之一樣。因此，物體作剛體運(yùn)動(dòng)的充分必要條件是到處存在1.5Green和Almansi應(yīng)變張量－客觀張量Green應(yīng)變張量是參考初始位形的，而初始位形的坐標(biāo)是固結(jié)于材料的隨體坐標(biāo)，當(dāng)物體發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，P,Q兩點(diǎn)的尺度不變，同時(shí)也不變，因此聯(lián)系P,Q兩點(diǎn)的尺度的變化及的Green應(yīng)變張量的各個(gè)分量也不變。在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，這種不隨剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)稱張量稱為客觀張量。2000.415哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作2.物體運(yùn)動(dòng)的空間描述和變形率質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的空間描述或歐拉描述，處質(zhì)點(diǎn)的速度。瞬時(shí)位置xi處質(zhì)點(diǎn)的加速度應(yīng)該如下求取當(dāng)?shù)夭糠之?dāng)?shù)丶铀俣葘?duì)流部分、遷移加速度其中第一項(xiàng)是由速度與時(shí)間的相關(guān)性引起的，第二項(xiàng)是非均勻速度場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn)。稱為速度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。其中導(dǎo)數(shù)稱為速度梯度張量。),(txvvi=xi2000.416哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作速度梯度張量可分成兩部分因此，速度梯度張量為旋率張量變形率張量反對(duì)稱對(duì)稱任意函數(shù)的時(shí)間變化率－物質(zhì)導(dǎo)數(shù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度Vij就反映了鄰域的純變形。點(diǎn)P鄰域瞬時(shí)剛體運(yùn)動(dòng)的充分必要條件是，P點(diǎn)的速度梯度是反對(duì)稱的2000.417哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作若令上式兩邊同乘eklm，則質(zhì)點(diǎn)Q相對(duì)點(diǎn)P的相對(duì)速度為證明因此，利用上式可得剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度2000.418哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作反對(duì)稱證明2000.419哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作

講義上說(shuō)明了，點(diǎn)P鄰域瞬時(shí)剛體運(yùn)動(dòng)的充分必要條件是，P點(diǎn)的速度梯度是反對(duì)稱的。因此，Vij就反映了鄰域的純變形。因此，是質(zhì)點(diǎn)P鄰域，繞過(guò)P點(diǎn)某軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，向量是轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，因此稱為速度場(chǎng)的旋度向量。變形率張量是相對(duì)現(xiàn)時(shí)位形定義的柯西應(yīng)變的速率2000.420哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作2.3格林應(yīng)變張量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)2000.421哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作而相對(duì)于現(xiàn)時(shí)位形的格林應(yīng)變速率等于變形率張量。也即由于在剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)變形率張量等于零，因此剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)格林應(yīng)變物質(zhì)變化率等于零。所以可以在本構(gòu)關(guān)系中，用格林應(yīng)變率度量應(yīng)變速率。

阿爾曼西應(yīng)變的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)2000.422哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在空間位置xi處變化時(shí)，它的初始位形標(biāo)志Xi是不變的，因此

將此結(jié)果代入阿爾曼西應(yīng)變的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，得2000.423哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作最后根據(jù)變形率和旋率張量的對(duì)稱和反對(duì)稱性質(zhì)，可得又根據(jù)速度梯度的分解，可得再根據(jù)阿爾曼西應(yīng)變表達(dá)式，可得2000.424哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作為阿爾曼西本構(gòu)速率，則可得

由此可見(jiàn)，阿爾曼西物質(zhì)變化率與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)，為在本構(gòu)關(guān)系中用阿爾曼西應(yīng)變，定義可見(jiàn)阿爾曼西本構(gòu)速率與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)是無(wú)關(guān)的。因此可以在本構(gòu)關(guān)系中應(yīng)用。2000.425哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作在大變形問(wèn)題中，是用從變形后的物體內(nèi)截取的微元體來(lái)建立平衡方程及與之相等效的虛功原理的。因此首先在變形后的物體內(nèi)截取出的微元體上定義應(yīng)力張量，稱為Euler應(yīng)力張量，；此應(yīng)力張量有明確的含義，即代表真實(shí)的應(yīng)力張量。是現(xiàn)時(shí)位形和變形相關(guān)的真實(shí)應(yīng)力。由四面體的平衡，可將面的應(yīng)力，用表示

3、Euler應(yīng)力張量2000.426哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作然而在分析過(guò)程中，必須聯(lián)系應(yīng)力與應(yīng)變。如果應(yīng)變是用變形前的坐標(biāo)（初始位形）表示的Green應(yīng)變張量，那么，還需定義與之相對(duì)應(yīng)的，即關(guān)于變形前位形的應(yīng)力張量。3、Lagrange應(yīng)力張量對(duì)于變形后的位形（現(xiàn)時(shí)位形），有Euler應(yīng)力張量對(duì)于變形前的位形（初始位形），可以定義名義應(yīng)力

Lagrange規(guī)定Lagrange應(yīng)力張量2000.427哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作3、Kirchhoff應(yīng)力張量Kirchhoff規(guī)定:第二類Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量即規(guī)定變形前面元上的內(nèi)力與變形后面元上的內(nèi)力滿足變形梯度的關(guān)系因此，按Kirchhoff規(guī)定可定義名義應(yīng)力張量Lagrange應(yīng)力張量2000.428哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作利用初始和現(xiàn)時(shí)位形中物質(zhì)面元間的關(guān)系(變形前后)，得Lagrange應(yīng)力張量面積變換公式由于變形梯度張量是非對(duì)稱的，因此拉格朗日應(yīng)力張量一般是非對(duì)稱的。Lagrange應(yīng)力張量與Euler應(yīng)力張量關(guān)系2000.429哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作Kirchhoff應(yīng)力張量與Euler應(yīng)力張量關(guān)系Kirchhoff應(yīng)力張量顯然，是對(duì)稱的應(yīng)力張量。其逆形式為2000.430哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作設(shè)t0初始位形受有的介質(zhì)元，發(fā)生大角度剛體轉(zhuǎn)動(dòng)到現(xiàn)時(shí)位形。又設(shè)固接于介質(zhì)的動(dòng)坐標(biāo)為，固定坐標(biāo)為，在中的方向余弦為。因?yàn)閯傮w轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)歐拉應(yīng)力在內(nèi)不變，也即。又因t0時(shí)變形為零，所以克希荷夫應(yīng)力等于歐拉應(yīng)力，也即t時(shí)刻介質(zhì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)后，坐標(biāo)中歐拉應(yīng)力為2000.431哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作相應(yīng)的克希荷夫應(yīng)力為因?yàn)椋?，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，因此

這一推證表明，克希荷夫應(yīng)力張量在空間固定坐標(biāo)下，是一個(gè)不隨剛體轉(zhuǎn)動(dòng)而變的客觀張量。顯然，歐拉應(yīng)力不是?？讼：煞驊?yīng)力張量和Green應(yīng)變張量構(gòu)成描述材料本構(gòu)關(guān)系的一個(gè)適當(dāng)?shù)拇钆?000.432哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作

對(duì)于材料非線性問(wèn)題，對(duì)于依賴于材料變形歷史的非彈性問(wèn)題，通常情況下需采用增量理論進(jìn)行分析。其中的材料本構(gòu)關(guān)系應(yīng)采用微分型或速率型，由此引入了應(yīng)力率的概念。前面已討論，變形率張量是應(yīng)變對(duì)時(shí)間的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，介質(zhì)作瞬時(shí)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，變形率張量為零。但歐拉應(yīng)率的時(shí)間或物質(zhì)導(dǎo)數(shù)都不等于零。例如一單向應(yīng)力的桿，當(dāng)桿平行時(shí)僅非零，而剛體轉(zhuǎn)動(dòng)使桿平行時(shí)僅非零，可見(jiàn)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)空間固定坐標(biāo)，改變了歐拉應(yīng)力張量分量（對(duì)動(dòng)坐標(biāo)它不變）。因此在大變形分析的本構(gòu)關(guān)系中，和變形率相對(duì)應(yīng)，歐拉應(yīng)力的時(shí)間或物質(zhì)導(dǎo)數(shù)都不能合適地度量。2000.433哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作設(shè)含P點(diǎn)的鄰域上有一隨介質(zhì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)，在t時(shí)刻動(dòng)坐標(biāo)與定坐標(biāo)重合，鄰域的Q點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)不變，但它在固定坐標(biāo)中的，前已指出，按如下速率變化式中為瞬時(shí)旋度矢量。

t+dt時(shí)刻Q點(diǎn)位置為即的方向余弦張量為。設(shè)t時(shí)刻P點(diǎn)的應(yīng)力為，則t+dt時(shí)刻為2000.434哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作因?yàn)樵诖嘶A(chǔ)上，定義焦曼應(yīng)力率為故可得變換到動(dòng)坐標(biāo)的結(jié)果為將和代入上式，展開(kāi)、整理后可得則展開(kāi)、整理2000.435哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作當(dāng)介質(zhì)作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)閂ij=0和vk,k=0，也即除焦曼應(yīng)力率外，還有Truesdell應(yīng)力率，它可表為顯然當(dāng)介質(zhì)作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，，它是不受剛體轉(zhuǎn)動(dòng)影響的客觀張量。也是客觀張量

克希荷夫應(yīng)力2000.436哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作為了求克希荷夫應(yīng)力張量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，需先求雅可比行列式的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。由于質(zhì)量守恒，在固定坐標(biāo)系中流入微小體元的質(zhì)量的凈速率，等于質(zhì)量積累的速率，因此因?yàn)?，因?000.437哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作有了雅可比行列式的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，下面求克希荷夫應(yīng)力張量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)因?yàn)橐虼私?jīng)推證后可得Truesdell應(yīng)力率是客觀張量推證返章2000.438哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作克希荷夫應(yīng)力物質(zhì)導(dǎo)數(shù)因?yàn)閷⑸鲜鲫P(guān)系代入上式，可得2000.439哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作2000.440哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作5.大變形時(shí)平衡方程和虛位移原理

變形體初始和現(xiàn)時(shí)位形如圖所示，以歐拉應(yīng)力表述平衡時(shí)

這是現(xiàn)時(shí)位形空間描述的平衡條件。

在外荷為保守力系時(shí)2000.441哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作經(jīng)推證得上式乘以J，由于由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，平衡方程改寫(xiě)為平衡方程成為對(duì)任意j恒有2000.442哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作證明因?yàn)槔窭嗜諔?yīng)力和歐拉應(yīng)力關(guān)系以j=1為例，由（4.10)可得2000.443哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作同理可驗(yàn)證，對(duì)任意j恒有由此不難得到2000.444哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作上述拉格朗日和克希荷夫應(yīng)力表示的平衡條件都是以初始位形作參考的物質(zhì)描述。利用外和保守條件、歐拉應(yīng)利用拉格朗日應(yīng)力表達(dá)，可將歐拉應(yīng)力的邊界條件改寫(xiě)為利用克希荷夫應(yīng)力和拉格朗日應(yīng)力的關(guān)系，可將平衡條件改為2000.445哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作如果考慮到變形梯度和位移梯度間的關(guān)系，對(duì)比小變形情況，可見(jiàn)大變形時(shí)變形對(duì)平衡的影響，是通過(guò)變形或位移梯度表現(xiàn)出來(lái)的。則克希荷夫應(yīng)力表達(dá)的平衡方程可改為2000.446哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作

設(shè)現(xiàn)時(shí)位形微小虛位移在V內(nèi)單值連續(xù)、在位移邊界上為零。則外力總虛功為考慮到位移邊界虛位移為零和應(yīng)力邊界條件有限元分析需要用虛位移原理，為此首先討論空間描述的虛位移原理。2000.447哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作將平衡方程引入，考慮到虛位移微小，則利用格林公式，可得也即虛位移原理的虛功方程為若虛位移用虛速度、虛應(yīng)變用虛應(yīng)變率代替，則柯西應(yīng)變虛功率方程2000.448哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作為建立物質(zhì)描述虛功方程，先討論能量共軛關(guān)系?？臻g描述中又因?yàn)樽冃温蕪埩渴窍鄬?duì)現(xiàn)時(shí)位形定義的柯西應(yīng)變的速率單位體積變形功率因此克希荷夫應(yīng)力和格林應(yīng)變?cè)谀芰可瞎曹棥?000.449哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作

由于變形率和歐拉應(yīng)力張量是對(duì)稱的，因此再利用歐拉和拉格朗日應(yīng)力間關(guān)系，可得因此拉格朗日應(yīng)力和初始位形位移梯度在能量上共軛。由此即可得到物質(zhì)描述的虛功方程為2000.450哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作6.大變形本構(gòu)關(guān)系對(duì)彈性介質(zhì)，其受力和變形或由溫度引起的響應(yīng)只取決于當(dāng)前狀態(tài)。考慮等溫、無(wú)應(yīng)力自然狀態(tài)開(kāi)始的現(xiàn)時(shí)位形，歐拉應(yīng)力張量和阿爾曼西應(yīng)變張量間有如下本構(gòu)關(guān)系如果的分量是常數(shù)，材料是線彈性的；如果其分量是的函數(shù)，材料是非線性的。但即使線彈性，這一本構(gòu)關(guān)系也不是廣義虎克定律，因?yàn)楹褪菍?duì)現(xiàn)時(shí)位形定義的。只有在小變形情況下才退化為廣義虎克定律。針對(duì)現(xiàn)時(shí)位形定義2000.451哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作由于對(duì)各向同性材料，與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，因而是各向同性的張量，它可用兩個(gè)獨(dú)立的常數(shù)表示2000.452哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作同理可得又由于將上述關(guān)系代入彈性材料歐拉-阿爾曼西本構(gòu)關(guān)系，可得2000.453哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作由此可得克希荷夫應(yīng)力和格林應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系（現(xiàn)時(shí)位形的材料性質(zhì)張量）為其中2000.454哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作彈性張量和間的轉(zhuǎn)換關(guān)系也可表為對(duì)非線性彈性有限元分析時(shí)，切線剛度矩陣為2000.455哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作對(duì)彈塑性介質(zhì)來(lái)說(shuō)，空間描述的屈服面方程用歐拉應(yīng)力表示內(nèi)變量k可以是等效塑性應(yīng)變率的物質(zhì)積分。

假設(shè)：大變形中，彈性變形是較小的，總變形增量等于彈性部分加塑性部分。基于此，大變形彈塑性本構(gòu)關(guān)系為

又假設(shè)：塑性變形率由正交法則于屈服面關(guān)聯(lián)，彈性應(yīng)變率與應(yīng)力的焦曼導(dǎo)數(shù)間滿足胡克定律。2000.456哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作當(dāng)材料為各向同性Mises強(qiáng)化材料時(shí)，在彈性加載、塑性卸載和