限時規(guī)范訓練圓錐曲線的綜合問題限時45分鐘，實質用時分值80分，實質得分解答題(此題共5小題，每題12分，共60分)x221．(2017·高考全國卷Ⅱ)設O為坐標原點，動點M在橢圓C：2＋y＝1上，過M作x軸的→→垂線，垂足為N，點P知足NP＝2NM.(1)求點P的軌跡方程；→→(2)設點Q在直線x＝－3上，且OP·PQ＝1，證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.解：(1)設P(x，y)，M(x0，y0)，→→，y0)．則N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0→→002由NP＝2NM得x＝x，y＝2y.因為M(x0，y0)在C上，所以x2y22＋2＝1.所以點P的軌跡方程為x2＋y2＝2.由題意知F(－1,0)．設Q＝(－3，t)，P(m，n)，→→→→→→則OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)．→→22由OP·PQ＝1得－3m－m＋tn－n＝1，又由(1)

22知m＋n＝2，故

3＋3m－tn＝0.→→→→所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF.又過點P存在獨向來線垂直于

OQ，所以過點

P且垂直于

OQ的直線

l

過C的左焦點

F.x2

y22．(2017·黑龍江哈爾濱模擬

)已知橢圓

C：a2＋b2＝1(

a＞b＞0)的焦點分別為

F1(－

3，0)，F(xiàn)2(3，0)，點P在橢圓C上，知足|PF1|＝7|PF2|，tan∠F1PF2＝43.求橢圓C的方程．已知點A(1,0)，嘗試究能否存在直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于D，E兩點，且使得|AD||AE|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明原因．7aa21＝解：(1)由|PF1|＝7|PF2|，PF1＋PF2＝2a得PF1＝，PF2＝，由cos∠F1PF2＝212227aa321114＋4－，所以a＝2，1＋32＝，又由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝7aa4972×4×4x22故所求C的方程為4＋y＝1.(2)假定存在直線l知足題設，設1122x22并整理D(x，y)，E(x，y)，將y＝kx＋m代入4＋y＝1得(1＋42)x2＋8＋42－4＝0，由＝6422－4(1＋42)(42－4)＝－16(2－4k2－1)＞0，得kkmxmkmkmm22128km200)，M－4km2，m2AM4k＋1＞m①，又x＋x＝－1＋4設D，E中點為M(x，y1＋4k1＋4k，k·k＝－1，k1＋4k21＋4k2224222得m＝－3k②，將②代入①得4k＋1＞3k，化簡得20k＋k－1＞0?(4k＋1)(5k－1)＞0，解得k＞5或k＜－5，所以存在直線l，使得||＝||，此時k的取值范圍為55ADAE－∞，－5∪5，＋∞.55y2x23．(2017·廣州五校聯(lián)考)已知雙曲線M：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的上焦點為F，上極點為A，B為虛軸的端點，離心率e＝3，且S＝1－2.拋物線N的極點在座標原點，焦點為F.23△ABF3求雙曲線M和拋物線N的方程．設動直線l與拋物線N相切于點P，與拋物線的準線訂交于點Q，則以PQ為直徑的圓能否恒過y軸上的一個定點？假如經過，試求出該點的坐標，如要不經過，試說明原因．2223a2＋b223解：(1)在雙曲線M中，c＝a＋b，由e＝3，得a＝3，解得＝3，故c＝2.abb113所以S△ABF＝2(c－a)×b＝2(2b－3b)×b＝1－2，解得＝1.b所以a＝3，c＝2.y22所以雙曲線M的方程為3－x＝1，其上焦點為F(0,2)，所以拋物線N的方程為x2＝8y.(2)由(1)121y＝－2.000≠0，且直知y＝8x，故y′＝4x，拋物線的準線方程為設P(x，y)，則x線l的方程為1y－y0＝4x0(x－x0)，12即y＝4x0x－8x0.112由y＝2x＝x0－160－0，，4xx8x得2x0y＝－2，y＝－2，2－16x0所以Q，－2.2x0假定存在點R(0，y1)，使得以PQ為直徑的圓恒過該點，也就是→→對隨意的x0，y0RP·RQ＝0恒建立．→001→2x－16又RP＝(x，y－y)，RQ＝0y，2x0→→由RP·RQ＝0，x20－16得x0×2x0＋(y0－y1)(－2－y1)＝0，2x0－162整理得－2y0－y0y1＋2y1＋y1＝0，2＋2y1－8)＋(2－y1)y0＝0.(☆)即(y1因為(☆)式對知足12的隨意x0，y0恒建立，所以2－y1＝0，解得y1＝2.y0＝x0(x0≠0)28y1＋2y1－8＝0，故存在y軸上的定點R(0,2)，使得以PQ為直徑的圓恒過該點．221x2y2122Q方程(x－2)24．已知橢圓C：a＋b＝1(a＞b＞0)的左、右焦點為F，F(xiàn)，F(xiàn)的坐標知足圓＋(y－1)2＝1，且圓心12Q知足|QF|＋|QF|＝2a.求橢圓C1的方程．過點P(0,1)的直線l1交橢圓C1于A，B兩點，過P與l1垂直的直線l2交圓Q于C，D兩點，M為線段CD中點，求△MAB面積的取值范圍．解：(1)方程(x－2)2＋(y－1)2＝1為圓，此圓與x軸相切，切點為2，所以c＝2，F(xiàn)(2，0)即a2－b2＝2，且F2(2，0)，F(xiàn)1(－2，0)，|QF1|＝|F1F2|2＋|QF2|2＝22＋12＝3，又|QF1|＋|QF2|＝3＋1＝2a.222x2y2所以a＝2，b＝a－c＝2，所以橢圓C1的方程為4＋2＝1.當l1平行x軸時，l2與圓Q無公共點，進而△MAB不存在；所以設l1：x＝t(y－1)，則l2：tx＋y－1＝0.x2y2由4＋2＝1，消去x得(t2＋2)y2－2t2y＋t2－4＝0，則|AB|＝1＋t2|y1－y2|＝x＝ty－2＋t2t2＋.t2＋2又圓心Q(2，1)到l2的距離d1＝|2t|2＜1得t2＜1.1＋t又⊥，⊥，所以到的距離即到的距離，設為2，即d2＝|2－t＋t|＝2.MPABQMCDMABQABd1＋t21＋t2122t2＋4，所以△MAB面積S＝2|AB|·d＝t2＋22222∈235，2.令u＝t＋4∈[2，5)，則S＝f(u)＝u2－2＝u－u所以△MAB面積的取值范圍為235，2.5．(2017·山東濰坊模擬)如圖，點O為坐標原點，點F為拋物線C1：x2＝2py(p＞0)的焦點，且拋物線C1上點P處的切線與圓C2：x2＋y2＝1相切于點Q.(1)當直線的方程為x－－2＝0時，求拋物線1的方程；PQyCS(2)當正數(shù)p變化時，記S1，S2分別為△FPQ，△FOQ的面積，求1的最小值．S22x2x解：(1)設點Px0，x022p，由x＝2py(p＞0)得，y＝2p，求導得y′＝p.x02因為直線PQ的斜率為x0p2p0解得p＝22，所以拋物線C1的方程為x2＝42y.2x0x0因為點P處的切線方程為：y－2p＝p(x－x0)，即2x0x－2py－x20＝0，|－x02|2＝1，依據(jù)切線又與圓相切，得24px化簡得x4＝42p200＋4，x24200022x0x－2py－x0＝0，由方程組x2＋y2＝1，224－x0解得Qx0，2p，所以|PQ|＝1＋k2|xP－xQ|22222x0p＋x0x0－2＝1＋p2x0－x0＝px0104－x02＋022x40－202＝p×x0＝2p(x0－2)．p22px|點F0，到切線PQ的距離是d＝02＝22＋4p4x0111222242x02x0＋p＝2x0＋4x0－x0＝4