專題四立體幾何真題體驗(yàn)·引領(lǐng)卷一、選擇題1．(2015·全國卷Ⅱ)一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,7)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)3．(2015·廣東高考)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交4．(2015·湖北高考)l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線，q：l1，l2不相交，則()A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件5．(2015·全國卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36π B．64πC．144π D．256π6．(2015·全國卷Ⅰ)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝()A．1 B．2C．4 D．8二、填空題7．(2015·江蘇高考)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個，則新的底面半徑為________．8．(2015·天津高考)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.9．(2015·四川高考)在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點(diǎn)，則三棱錐PA1MN的體積是________．三、解答題10．(2015·全國卷Ⅱ)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值．11．(2015·安徽高考)如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱錐P-ABC的體積；(2)證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得AC⊥BM，并求eq\f(PM,MC)的值．12．(2015·全國卷Ⅰ)如圖，四邊形ABCD為菱形，G是AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD.(1)證明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐EACD的體積為eq\f(\r(6),3)，求該三棱錐的側(cè)面積．專題四立體幾何經(jīng)典模擬·演練卷一、選擇題1．(2015·濟(jì)寧模擬)已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．(2015·濰坊三模)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖為直角三角形，則該幾何體的體積為()A.eq\f(4\r(2),3) B.eq\f(8\r(2),3)C.eq\f(16\r(2),3) D．16eq\r(2)3．(2015·西安質(zhì)檢)已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.eq\f(\r(6),4) B.eq\f(\r(10),4) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)4．(2015·河北質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是()A.eq\f(9,2) B.eq\f(3,2)C．3 D．25．(2015·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊BC與AD的中點(diǎn)，且BC＝2AB＝2，現(xiàn)沿EF將平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，則三棱錐AFEC外接球的體積為()A.eq\f(\r(3),3)π B.eq\f(\r(3),2)πC.eq\r(3)π D．2eq\r(3)π二、填空題7．(2015·菏澤模擬)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E為棱DD1上的點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，則三棱錐B1BFE的體積為________．9．(2015·長沙模擬)正方體ABCDA1B1C1D1中，AC與A1D所成角的大小是________．三、解答題10.(2015·日照一中測試)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面ABC1D1；(2)求證：EF⊥B1C.11．(2015·鄭州預(yù)測)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AC＝2AB＝2，且BC1⊥A1C.(1)求證：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)設(shè)D是A1C1的中點(diǎn)，在線段BB1上是否存在點(diǎn)E，使DE∥平面ABC1？若存在，求三棱錐EABC1的體積；若不存在，請說明理由．12．(2015·廣東高考)如圖所示，在四棱錐PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)且DF＝eq\f(1,2)AB，PH為△PAD中AD邊上的高．(1)證明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝eq\r(2)，F(xiàn)C＝1，求三棱錐EBCF的體積；(3)證明：EF⊥平面PAB.專題四立體幾何專題過關(guān)·提升卷(時間：120分鐘滿分：150分)第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(2015·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()A．8cm3 B．12cm3C.eq\f(32,3)cm3 D.eq\f(40,3)cm32．設(shè)a，b是兩條直線，α，β表示兩個平面，如果a?α，α∥β，那么“b⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件3．(2015·廈門市質(zhì)檢)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC上的一點(diǎn)，則三棱錐D1—B1C1E的體積等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(5),12) C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(1,6)4．(2015·濰坊二模)設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥βC．若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α∥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥β5．(2015·泰安普通高中聯(lián)考)設(shè)α、β、γ是三個互不重合的平面，m、n是兩條不重合的直線，下列命題中正確的是()A．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γB．若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥nC．若α⊥β，m⊥β，則m∥βD．若α∥β，m?β，且m∥α，則m∥β6．(2015·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為()A．1 B.eq\r(2) C.eq\r(3) D．27．(2015·濰坊模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\f(3,2)，BC＝2，沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC，所得三棱錐ABCD的正視圖和俯視圖如圖所示，則三棱錐ABCD側(cè)視圖的面積為()A.eq\f(9,25) B.eq\f(18,25) C.eq\f(36,25) D.eq\f(12,5)8．(2015·山東高考)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2\r(2)π,3) B.eq\f(4\r(2)π,3) C．2eq\r(2)π D．4eq\r(2)π9．(2015·成都七中模擬)一個四棱錐的三視圖如圖所示，下列說法中正確的是()A．最長棱的棱長為eq\r(6)B．最長棱的棱長為3C．側(cè)面四個三角形中有且僅有一個是正三角形D．側(cè)面四個三角形都是直角三角形10．(2015·衡水中學(xué)調(diào)研)在三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA＝eq\r(3)，則該三棱錐外接球的表面積為()A．5 B.eq\r(2)πC．20π D．4π11．如圖所示，b，c在平面α內(nèi)，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在線段AB上(C，D，E均異于A，B)，則△ACD是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形12．某市博物館邀請央視《一槌定音》專家鑒寶，其中一藏友持有的“和田玉”的三視圖如圖所示，若將和田玉切割、打磨、雕刻成“和田玉球”，則該“玉雕球”的最大表面積是()A．4π B．16π C．36π D．64π第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確的答案填寫在題中的橫線上)13．(2014·山東高考)在三棱錐P-ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐D-ABE的體積為V1，P-ABC的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝________．14．多面體MN-ABCD的底面ABCD為矩形，其正視圖和側(cè)視圖如圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則AM的長為________．15．(2015·石家莊二模)如圖所示，某幾何體的正視圖是平行四邊形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為________．16．將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起后，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后的三棱錐DABC中，給出下列四個命題：①AC⊥BD；②側(cè)棱DB與平面ABC成45°的角；③△BCD是等邊三角形；④三棱錐的體積VDABC＝eq\f(\r(2),6).那么正確的命題是________(填上所有正確命題的序號)．三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．如圖，三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)，AC＝BC＝1，AA1＝2.(1)求證：CF∥平面AEB1；(2)求三棱錐CAB1E的底面AB1E上的高．18．(2015·江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E.求證：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.19．(2015·山東高考)如圖，三棱臺DEFABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)．(1)求證：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH.20．(2015·廣東高考)如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)證明：BC∥平面PDA；(2)證明：BC⊥PD；(3)求點(diǎn)C到平面PDA的距離．21．(2015·北京高考)如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)．(1)求證：VB∥平面MOC；(2)求證：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱錐V-ABC的體積．22．如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E為PC的中點(diǎn)．(1)求證：AD⊥PC；(2)求三棱錐A-PDE的體積；(3)在邊AC上是否存在一點(diǎn)M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由．專題四立體幾何真題體驗(yàn)·引領(lǐng)卷1．D[如圖，由題意知，該幾何體是正方體ABCD-A1B1C1D1被過三點(diǎn)A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分為三棱錐A-A1B1D1，設(shè)正方體的棱長為1，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為eq\f(1,6)∶eq\f(5,6)＝1∶5.]2．B[由題意知，米堆的底面半徑R＝eq\f(16,3)(尺)，則米堆體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)πR2·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)))eq\s\up12(2)×5≈eq\f(320,9)(立方尺)．所以堆放的米大約為eq\f(320,9×1.62)≈22(斛)．]3．D[若l與l1，l2都不相交則l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交．]4．A[由l1，l2是異面直線，可得l1，l2不相交，所以p?q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是異面直線或l1∥l2，所以q?/p.所以p是q的充分條件，但不是q的必要條件．故選A.]5．C[設(shè)點(diǎn)C到平面OAB的距離為h，球O的半徑為R(如圖所示)．由∠AOB＝90°，得S△AOB＝eq\f(1,2)R2，要使VO-ABC＝eq\f(1,3)·S△AOB·h最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C到平面OAB的距離，即三棱錐C-OAB底面OAB上的高最大，其最大值為球O的半徑R.故VOABC＝eq\f(1,6)R3＝36，則R＝6.所以S球＝4πR2＝4π×62＝144π.]6．B[由三視圖知，該幾何體由半個圓柱和半球體構(gòu)成，由題設(shè)得eq\f(1,2)(πr2＋4πr2)＋2r·2r＋eq\f(1,2)·2πr·2r＋eq\f(1,2)πr2＝16＋20π.解之得r＝2.]7.eq\r(7)[設(shè)新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3)πr2·4＋πr2·8＝eq\f(4,3)π×52＋8π×22，解之得r＝eq\r(7).]8.eq\f(8,3)π[由所給三視圖可知，該幾何體是由相同底面的兩圓錐和一圓柱組成，底面半徑為1，圓錐的高為1，圓柱的高為2，因此該幾何體的體積V＝2×eq\f(1,3)×π×12×1＋π×12×2＝eq\f(8,3)π.]9.eq\f(1,24)[由題意知還原后的幾何體是一個直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角邊長為1的等腰直角三角形，高為1的直三棱柱，∵VP-A1MN＝VA1-PMN，又∵AA1∥平面PMN，∴VA1-PMN＝VA-PMN，∴VA-PMN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,24)，故VP-A1MN＝eq\f(1,24).]10．解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖：(2)作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因?yàn)镋HGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6，故S四邊形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四邊形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72，因?yàn)殚L方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為eq\f(9,7)(eq\f(7,9)也正確)．11．(1)解由題設(shè)AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·AC·sin60°＝eq\f(\r(3),2).由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱錐P-ABC的高，又PA＝1.所以三棱錐P-ABC的體積V＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(\r(3),6).(2)證明在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)B作BN⊥AC，垂足為N，在平面PAC內(nèi)，過點(diǎn)N作MN∥PA交PC于點(diǎn)M，連接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN，又BM?平面MBN，所以AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝eq\f(1,2)，從而NC＝AC－AN＝eq\f(3,2)，由MN∥PA，得eq\f(PM,MC)＝eq\f(AN,NC)＝eq\f(1,3).12．(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.因?yàn)锽E⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，又BD∩BE＝B，故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)解設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因?yàn)锳E⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r(3),2)x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝eq\f(\r(2),2)x.由已知得，三棱錐E-ACD的體積VE-ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AC·GD·BE＝eq\f(\r(6),24)x3＝eq\f(\r(6),3).故x＝2.從而可得AE＝EC＝ED＝eq\r(6).所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為eq\r(5).故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3＋2eq\r(5).經(jīng)典模擬·演練卷1．B2．C[由三視圖知，該幾何體為三棱錐(如圖)．其中AO⊥底面BCD，且OD⊥BC.∵AO＝2eq\r(2)，S△BCD＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×2eq\r(2)＝8.所以幾何體的體積V＝eq\f(1,3)·OA·S△BCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×8＝eq\f(16\r(2),3).]3．A[如圖所示，設(shè)點(diǎn)E為棱A1C1的中點(diǎn)，連接AE，B1E.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，B1E⊥平面ACC1A1，∴∠B1AE為直線AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角，記為α.設(shè)三棱柱的棱長為a，則B1E＝eq\f(\r(3),2)a，AB1＝eq\r(2)a.∴sinα＝eq\f(B1E,AB1)＝eq\f(\f(\r(3),2)a,\r(2)a)＝eq\f(\r(6),4).]4．C[由三視圖知，該幾何體是底面為直角梯形的四棱錐．∵S底＝eq\f(1,2)(1＋2)×2＝3.∴幾何體的體積V＝eq\f(1,3)x·S底＝3，即eq\f(1,3)x·3＝3.因此x＝3.]5．B[如圖，平面ABEF⊥平面EFDC，AF⊥EF，∴AF⊥平面ECDF，將三棱錐A-FEC補(bǔ)成正方體ABC′D′-FECD.依題意，其棱長為1，外接球的半徑R＝eq\f(\r(3),2)，∴外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),2)π.]6．C[由DC1⊥平面A1BCD1知DC1⊥D1P，∴A正確．∵D1A1⊥平面ABB1A1，且A1D1?平面D1A1P，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，因此B正確．當(dāng)0<A1P<eq\f(\r(2),2)時，∠APD1為鈍角，∴C錯．]7.eq\f(1,12)[∵V三棱錐B1BFE＝V三棱錐EBB1F，又S△BB1F＝eq\f(1,2)·BB1·BF＝eq\f(1,4)，且點(diǎn)E到底面BB1F的距離h＝1.∴V三棱錐B1-BFE＝eq\f(1,3)·h·S△BB1F＝eq\f(1,12).]8．(16＋2eq\r(13))π[由三視圖知，該幾何體是由一個底面半徑為2，高為3的圓柱挖去一個同底等高的圓錐所得的組合體．則S圓柱側(cè)＝2π×2×3＝12π，S圓錐側(cè)＝π×22＋eq\f(1,2)×2π×2×eq\r(13)＝4π＋2eq\r(13)π.S圓柱下底＝π×22＝4π，故幾何體的表面積S＝12π＋4π＋2eq\r(13)π＝(16＋2eq\r(13))π.]9.eq\f(π,3)[在正方體ABCDA1B1C1D1中，連接A1C1，DC1可知AC∥A1C1，則∠DA1C1是AC與A1D所成的角，因?yàn)槿切蜠A1C1是正三角形，所以∠DA1C1＝eq\f(π,3).]10．證明(1)連接BD1，在△DD1B中，E、F分別為D1D、DB的中點(diǎn)，則EF∥D1B，又D1B?平面ABC1D1，EF?平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1.(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面BCC1B1，又∴AB⊥B1C，BC1⊥B1C，且AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1D1.∵BD1?平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，∵EF∥BD1，∴EF⊥B1C.11．(1)證明在直三棱柱ABC-A1B1C1中，有A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AC，又A1A＝AC，∴A1C⊥AC1.又BC1⊥A1C，BC1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面ABC1，又A1C?平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1.(2)解存在．取A1A的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)D，當(dāng)E為B1B中點(diǎn)時，EF∥AB，DF∥AC1，又EF∩DF＝F，AB∩AC1＝A∴平面EFD∥平面ABC1，∴ED∥平面ABC1.當(dāng)E為BB1中點(diǎn)時，VE-ABC1＝VC1-ABE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3).12．(1)證明∵AB⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD.∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，PH⊥AD，∴PH⊥平面ABCD.(2)解連接BH，取BH中點(diǎn)G，連接EG.∵E是PB的中點(diǎn)，∴EG∥PH.∵PH⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，∴EG＝eq\f(1,2)PH＝eq\f(1,2)，VE-BCF＝eq\f(1,3)S△BCF·EG＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·FC·AD·EG＝eq\f(\r(2),12).(3)證明取PA中點(diǎn)M，連接MD，ME.∵E是PB的中點(diǎn)，∴ME綉eq\f(1,2)AB.又∵DF綉eq\f(1,2)AB，∴ME綉DF，∴四邊形MEFD是平行四邊形，∴EF∥MD.∵PD＝AD，∴MD⊥PA.∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB.∵PA∩AB＝A，∴MD⊥平面PAB，∴EF⊥平面PAB.專題過關(guān)·提升卷1．C[該幾何體為正方體與正四棱錐的組合體，∴體積V＝23＋eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(32,3)(cm3)．]2．A[若b⊥β，α∥β，則b⊥α，又a?α，∴a⊥b，但a⊥b，a?α，α∥β時，得不到b⊥β.∴“b⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件．]3．D[VD1B1C1E＝eq\f(1,3)S△B1C1E·D1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).]4．B[對于選項(xiàng)A，C：由于m∥α，n⊥β，m⊥n∴α⊥β或α∥β，因此選項(xiàng)A、C均不正確．對于選項(xiàng)B：由m∥α知，在平面α內(nèi)存在l∥m.又m∥n，∴l(xiāng)∥n.從而由n⊥β，知l⊥β，根據(jù)面面垂直的判定定理，α⊥β.故選項(xiàng)B正確，進(jìn)而知選項(xiàng)D錯誤．]5．D[對于A，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，對于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，則m，n可以平行也可以相交或異面，對于C，若α⊥β，m⊥α，則m可以在平面β內(nèi)，選項(xiàng)D正確．]6．C[四棱錐的直觀圖如圖所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四邊形ABCD為正方形且邊長為1，最長棱長PA＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3).]7．B[由正視圖及俯視圖知，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD(如圖所示)，因此三棱錐的側(cè)視圖為等腰直角三角形．在Rt△ABD中，AB＝eq\f(3,2)，AD＝BC＝2.∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\f(5,2).因此AA′＝eq\f(AB·AD,BD)＝eq\f(\f(3,2)×2,\f(5,2))＝eq\f(6,5).所以等腰直角三角形的腰長為eq\f(6,5).故側(cè)視圖的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(18,25).]8．B[如圖，設(shè)等腰直角三角形為△ABC，∠C＝90°，AC＝CB＝2，則AB＝2eq\r(2).設(shè)D為AB中點(diǎn)，則BD＝AD＝CD＝eq\r(2).∴所圍成的幾何體為兩個圓錐的組合體，其體積V＝2×eq\f(1,3)×π×(eq\r(2))2×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2)π,3).]9．D[由三視圖知，該四棱錐的直觀圖如圖所示，其中PA⊥平面ABCD，平面ABCD為直角梯形．則最長棱PB＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，A錯，B錯．棱錐中的四個側(cè)面中：由PA⊥底面ABCD，知△PAB，△PAD為直角三角形．又DC⊥AD，PA⊥DC，知DC⊥平面PAD，則DC⊥PD，從而△PDC為直角三角形．又PD＝eq\r(5)，DC＝1，所以PC＝eq\r(12＋（\r(5)）2)＝eq\r(6).在梯形ABCD中，易求BC＝eq\r(2)，故PB2＝PC2＋BC2，△PBC為直角三角形．]10．A[如圖所示，將三棱錐P-ABC補(bǔ)成長方體ADBC-PD′B′C′.則三棱錐P-ABC的外接球就是長方體的外接球．∴2R＝eq\r(PA2＋AC2＋AD2)＝eq\r(5)，故外接球的表面積S球＝4πR2＝5π.]11．B[∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，∴b⊥面ABC，∴AD⊥AC，故△ACD為直角三角形．]12．B[由三視圖知，“和田玉”為直三棱柱，底面是直角三角形，高為12，如圖所示．其中AC＝6，BC＝8，BC⊥AC，則AB＝10，若使“玉雕球”的半徑最大，則該球與直三棱柱的三個側(cè)面都相切．∴球半徑r＝eq\f(6＋8－10,2)＝2，則S球＝4πr2＝16π.]13.eq\f(1,4)[分別過E，C向平面PAB作高h(yuǎn)1，h2，由E為PC的中點(diǎn)得eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,2)，由D為PB的中點(diǎn)得S△ABD＝eq\f(1,2)S△ABP，所以V1∶V2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)S△ABD·h1))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)S△ABP·h2))＝eq\f(1,4).]14.eq\r(6)[如圖所示為多面體MNABCD，作MH⊥AB交AB于H.由側(cè)視圖可知MH＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).根據(jù)正視圖知MN＝2，AB＝4，且正視圖為等腰梯形．∴AH＝eq\f(4－2,2)＝1，從而AM＝eq\r(AH2＋MH2)＝eq\r(6).]15．9eq\r(3)[由幾何體的三視圖可知，該幾何體為一個四棱柱，其中底面是邊長為3的正方形，由正視圖與俯視圖可求得幾何體的高為eq\r(3)，故該幾何體的體積為V＝3×3×eq\r(3)＝9eq\r(3).]16．①②③[取AC的中點(diǎn)O，連接OB，OD，則OD⊥AC，OB⊥AC.AC⊥平面OBD，從而AC⊥BD，①正確．又平面ADC⊥平面ABC，DO⊥AC，所以DO⊥平面ABC，因此DO⊥OB，且∠OBD為棱BD與底面ABC所成的角．由OB＝OD，知∠OBD＝45°，所以②正確，從而BD＝eq\r(2)·OB＝1，故BC＝CD＝BD＝1，因此△BCD是等邊三角形，命題③正確．根據(jù)DO⊥平面ABC.得V三棱錐DABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·OD＝eq\f(\r(2),12)，∴④錯誤．]17．(1)證明取AB1的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，∵F、G分別是AB、AB1的中點(diǎn)，∴FG∥BB1，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BB1.∵E為側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，∴FG∥EC，F(xiàn)G＝EC，∴四邊形FGEC是平行四邊形，∴CF∥EG，∵CF?平面AB1E，EG?平面AB1E，∴CF∥平面AB1E.(2)解∵三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∴BB1⊥平面ABC.又∵AC?平面ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴VA-EB1C＝eq\f(1,3)S△EB1C·AC＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×1＝eq\f(1,6)，∵AE＝EB1＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(6)，∴S△AB1E＝eq\f(\r(3),2)，∵VC-AB1E＝VA-EB1C，∴三棱錐C-AB1E在底面AB1E上的高為＝eq\f(\r(3),3).18．證明(1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)，又D為AB1的中點(diǎn)，因此DE∥AC.又因?yàn)镈E?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因?yàn)槔庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因?yàn)锳C?平面ABC，所以AC⊥CC1.又因?yàn)锳C⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因?yàn)锽C1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因?yàn)锽C＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因?yàn)锳C，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因?yàn)锳B1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1.19．證明(1)法一連接DG，CD，設(shè)CD∩GF＝M，連接MH.在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G為AC的中點(diǎn)，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形．則M為CD的中點(diǎn)，又H為BC的中點(diǎn)，所以HM∥BD，又HM?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.(2)連接HE，因?yàn)镚，H分別為AC，BC的中點(diǎn)，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H為BC的中點(diǎn)，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四邊形EFCH是平行四邊形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥