2015-2016學年北京市中央美術學院附中高三（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（共8小題，每題5分，滿分40分）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，則?U（M∪N）=（）A．{57}B24C．{248}D．{13567}，．{，}，，，，，，2．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x﹣3y=0和x軸都相切，則該圓的標準方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1B．（x﹣2）2+（y+1）2=1C．（x+2）2+（y﹣1）2=1D．（x﹣3）2y12+（﹣）=13．設f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），則=（）A．﹣B．﹣C．D．4．某單位有員工160人，此中業(yè)務員有104人，管理人員32人，后勤服務人員24人，現(xiàn)用分層抽樣法從中抽取一容量為20的樣本，則抽取管理人員（）A．3人B．4人C．7人D．12人5．履行如圖的程序后，輸出的值是（）A．17B．19C．21D．236．設、是兩個非零向量，則以下選項正確的選項是（）A．若|﹣|=||﹣||，則⊥B．若⊥，則|﹣|=||+||C．若|﹣|=||﹣||，則，共線D．若，平行，則|+|=||+||，7．將正三棱柱截去三個角（如圖1所示A，B，C分別是△GHI三邊的中點）獲得幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖（或稱左視圖）為（）A．B．C．D．8．類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數(shù)，S（x）=，C（x）=，此中a＞0，且a≠1，下面正確的運算公式是（）S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）；②S（x﹣y）=S（x）C（y）﹣C（x）S（y）；③C（x+y）=C（x）C（y）﹣S（x）S（y）；④C（x﹣y）=C（x）C（y）+S（x）S（y）．A．①②B．②④C．①④D．①②③④二、填空題共6小題，每題5分，共30分9z=32iz|=______．0．已知復數(shù)0+，則復數(shù)|10．已知函數(shù)，則知足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范圍是______．11．在△ABC中．若b=5，，tanA=2，則sinA=______；a=______．12．已知雙曲線以橢圓+=1的焦點為極點，以橢圓的長軸端點為焦點，則該雙曲線方程為______．13．已知x，y知足拘束條件，則Z=4x﹣y的最小值為______．14．若數(shù)列{an}知足﹣=dn∈N*，da（為常數(shù)），別稱數(shù)列{n}為調解數(shù)列，已知數(shù)列{}為調解數(shù)列且x1+x2++x20=200，則x5+x16=______．三、解答題共

6小題，共

80分鐘，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15．在△ABC

中，sin（C﹣A）=1，sinB=

．（Ⅰ）求（Ⅱ）設

sinAAC=

的值；，求△

ABC

的面積．16．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an知足Sn=﹣．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設f（x）=log3x，bn=f（a1）+f（a2）++f（an），Tn=+++，求T2012．17．某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣檢查中，隨機抽取了100名電視觀眾，有關的數(shù)據(jù)以下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計20至40歲401858大于40歲152742總計5545100（1）由表中數(shù)據(jù)直觀剖析，收看新聞節(jié)目的觀眾能否與年紀有關？（2）用分層抽樣的方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機抽取5名，大于40歲的觀眾應當抽取幾名？（3）在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年紀為20至40歲的概率．18．如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點，N為AE的中點，AF=AB=BC=FE=AD．1）證明：平面AMD⊥平面CDE；2）證明：BN∥平面CDE．193﹣x26xa．設函數(shù)f（x）=x+﹣．（1）對于隨意實數(shù)x，f′（x）≥m恒建立，求m的最大值；（2）若方程f（x）=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍．20．若橢圓C1：的離心率等于，拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點在橢圓C1的極點上．（1）求拋物線C2的方程；（2）求過點M（﹣1，0）的直線l與拋物線C2交E、F兩點，又過E、F作拋物線C2的切線l1、l2，當l1⊥l2時，求直線l的方程．2015-2016學年北京市中央美術學院附中高三（上）期中數(shù)學試卷參照答案與試題分析一、選擇題（共8小題，每題5分，滿分40分）1U=12345678M=1357N=567（M∪N）{}，}，則?U．已知全集{，，，，，，，}，，，，{，，=（）A．{5，7}B．{2，4}C．{2，4，8}D．{1，3，5，6，7}【考點】交、并、補集的混淆運算．【剖析】先求會合M∪N，后求它的補集即可，注意全集的范圍．【解答】解：∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，M∪N={1，3，5，6，7}，U={1，2，3，4，5，6，7，8}，?U（M∪N）={2，4，8}應選C2．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x﹣3y=0和x軸都相切，則該圓的標準方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1B．（x﹣2）2+（y+1）2=1C．（x+2）2+（y﹣1）2=1D．（x﹣3）2y12+（﹣）=1【考點】圓的標準方程．【剖析】要求圓的標準方程，半徑已知，只要找出圓心坐標，設出圓心坐標為（a，b），由已知圓與直線4x﹣3y=0相切，可得圓心到直線的距離等于圓的半徑，可列出對于a與b的關系式，又圓與x軸相切，可知圓心縱坐標的絕對值等于圓的半徑即|b1，由圓心在第|等于半徑一象限可知b等于圓的半徑，確立出b的值，把b的值代入求出的a與b的關系式中，求出a的值，從而確立出圓心坐標，依據(jù)圓心坐標和圓的半徑寫出圓的標準方程即可．【解答】解：設圓心坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），由圓與直線4x﹣3y=0相切，可得圓心到直線的距離d==r=1，化簡得：|4a﹣3b|=5①，又圓與x軸相切，可得b=r=1，解得b=1或b=1||﹣（舍去），把b=1代入①得：4a﹣3=5或4a﹣3=﹣5，解得a=2或a=﹣（舍去），∴圓心坐標為（2，1），x22y12則圓的標準方程為：（﹣）+（﹣）=1．應選：A3．設f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），則=（）A．﹣B．﹣C．D．【考點】奇函數(shù)；函數(shù)的周期性．【剖析】由題意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知條件進行運算．【解答】解：∵f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，應選：A．4．某單位有員工160人，此中業(yè)務員有104人，管理人員32人，后勤服務人員24人，現(xiàn)用分層抽樣法從中抽取一容量為20的樣本，則抽取管理人員（）A．3人B．4人C．7人D．12人【考點】分層抽樣方法．【剖析】先求出每個個體被抽到的概率，再用管理人員的總人數(shù)乘以此概率，即得所求．【解答】解：每個個體被抽到的概率等于=，因為管理人員合計32人，故應抽取管理人員的人數(shù)為32×=4，應選B．5．履行如圖的程序后，輸出的值是（）A．17B．19C．21D．23【考點】偽代碼．【剖析】模擬履行程序，挨次寫出每次循環(huán)獲得的s，i的值，當i=13時，知足條件i＞10，退出循環(huán)，輸出s的值為21．【解答】解：模擬履行程序，可得i=1履行循環(huán)體，s=3，i=4不知足條件i＞10，履行循環(huán)體，s=9，i=7不知足條件i＞10，履行循環(huán)體，s=15，i=10不知足條件i＞10，履行循環(huán)體，s=21，i=13知足條件i＞10，退出循環(huán)，輸出s的值為21．應選：C．6．設、是兩個非零向量，則以下選項正確的選項是（）A．若|﹣|=||﹣||，則⊥B．若⊥，則|﹣|=||+||C．若|﹣|=||﹣||，則，共線D．若，平行，則|+|=||+||，【考點】命題的真假判斷與應用．【剖析】依據(jù)向量數(shù)目積以及向量關系垂直的關系分別進行判斷即可．【解答】解：A．當與共線上，設則=2，則知足|﹣|=||﹣||=||，但⊥不可立，故A錯誤，B．若⊥，則|﹣|＜||+||，故B錯誤，C．若|﹣|=||﹣||，則|﹣|=||﹣||≥0，平方得﹣2?=﹣2||||，即cos＜，＞=0，即，共線，故C正確，D．當=﹣2，知足，平行，但|+|=||+||，不建立，故D錯誤，應選：C．7．將正三棱柱截去三個角（如圖1所示A，B，C分別是△GHI三邊的中點）獲得幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖（或稱左視圖）為（）A．B．C．D．【考點】簡單空間圖形的三視圖．【剖析】圖2所示方向的側視圖，因為平面AED仍在平面?zhèn)鹊囊粭l垂直下面線段的線段，易得選項．【解答】解：解題時在圖2的右側放扇墻（心中有墻），圖2所示方向的側視圖，因為平面AED仍在平面HEDG故側視圖中仍舊看到左邊的一條垂直下面線段的線段，可得答案應選A．

HEDG上，

上，故側視圖中仍舊看到左A．8．類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數(shù)，S（x）=，C（x）=，此中a＞0，且a≠1，下面正確的運算公式是（）S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）；②S（x﹣y）=S（x）C（y）﹣C（x）S（y）；③C（x+y）=C（x）C（y）﹣S（x）S（y）；④C（x﹣y）=C（x）C（y）+S（x）S（y）．A．①②B．②④C．①④D．①②③④【考點】類比推理．【剖析】寫出“兩角和與差的正余弦公式”的形式，寫出類比結論．【解答】解：∵“兩角和與差的正余弦公式”的形式是sin（x+y）=sinxcosy+cosxsinysin（x﹣y）=sinxcosy﹣cosxsinycos（x+y）=cosxcosy﹣sinxsinycos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny對于有類比結論S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）；S（x﹣y）=S（x）C（y）﹣C（x）S（y）；CxyCx）CySxSy）；Cxy）≠Cx）CySxSy）；（+）≠（（）﹣（）（（﹣（（）+（）（應選A二、填空題共6小題，每題5分，共30分9z=32iz|=．0．已知復數(shù)0+，則復數(shù)|【考點】復數(shù)求模．【剖析】直接利用復數(shù)的求模公式求解即可．【解答】解：復數(shù)z0=3+2i，則復數(shù)|z0|==．故答案為：．10．已知函數(shù)，則知足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范圍是（﹣1，﹣1）．【考點】分段函數(shù)的分析式求法及其圖象的作法；其余不等式的解法．【剖析】由題意f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，而x＜0時，f（x）=1，故知足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x需知足，解出x即可．【解答】解：由題意，可得故答案為：11．在△

ABC

中．若

b=5，

，tanA=2，則

sinA=

；a=

2

．【考點】正弦定理；同角三角函數(shù)間的基本關系．【剖析】由tanA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出cosA的平方，而后由A的范圍，再利用同角三角函數(shù)的基本關系求出sinA的值，而后再利用正弦定理，由sinA，sinB及b的值即可求出

a的值．【解答】解：由

tanA=2，獲得

cos2A=

=，由A∈（0，π），獲得sinA==，依據(jù)正弦定理得：=，獲得a===2．故答案為：；212．已知雙曲線以橢圓+=1的焦點為極點，以橢圓的長軸端點為焦點，則該雙曲線方程為﹣=1．【考點】雙曲線的簡單性質；橢圓的簡單性質．【剖析】依據(jù)橢圓的方程和雙曲線方程的關系求出a，b，c，即可．【解答】解：橢圓的焦點位于y軸上，此中a2=5，b2=3，則c2=5﹣3=2，即c=，a=則雙曲線的極點坐標為（0，±），橢圓的長軸端點為（0，±），則雙曲線的焦點坐標為（0，±），即在雙曲線中，a=，c=，222則b=c﹣a=5﹣2=3，則雙曲線的方程為﹣=1，故答案為：﹣=113．已知x，y知足拘束條件，則Z=4x﹣y的最小值為﹣12.5．【考點】簡單線性規(guī)劃．【剖析】作出題中不等式組表示的平面地區(qū)，得如圖的三角形及其內部，再將目標函數(shù)z=4x﹣y對應的直線進行平移，可得Z=4x﹣y的最小值．【解答】解：作出不等式組表示的平面地區(qū)，獲得如圖的三角形及其內部，由得A（﹣2.5，2.5），設z=F（x，y）=4x﹣y，將直線l：z=4x﹣y進行平移，可適當l經(jīng)過點A時，目標函數(shù)z達到最小值z最小值=F（﹣2.5，2.5）=﹣12.5．故答案為：﹣12.5．14．若數(shù)列{an}知足﹣=dn∈N*，da（為常數(shù)），別稱數(shù)列{n}為調解數(shù)列，已知數(shù)列{}為調解數(shù)列且xxxx1+2++20=200，則x5+16=20．【考點】等差數(shù)列的性質．【剖析】由題意知道，此題是結構新等差數(shù)列的問題，經(jīng)過推導可知{xn}是等差數(shù)列，運用等差數(shù)列的性質可求解答案．【解答】解：由題意知：∵數(shù)列{}為調解數(shù)列∴∴{xn}是等差數(shù)列又∵x1+x2++x20=200=x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16x5+x16=20故答案為20．三、解答題共6小題，共80分鐘，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15．在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）設AC=，求△ABC的面積．【考點】解三角形．【剖析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C關系，經(jīng)過三角形內角和聯(lián)合sinB=，求出sinA的值；（II）經(jīng)過正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，而后求△ABC的面積．【解答】解：（Ⅰ）因為sinCA）=1，因此，且CA=πB，（﹣+﹣∴，∴，∴，又sinA＞0，∴（Ⅱ）如圖，由正弦定理得∴，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴16．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an知足Sn=﹣．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；2fx）=logfafaTn=+++，求T2012．（）設（3x，bn=f（a1）+（2）++（n），【考點】數(shù)列的乞降；數(shù)列遞推式．【剖析】（1）依據(jù)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1的關系進行求解即可．2）求出bn的表達式，利用裂項法進行求解即可．【解答】解：（1）當n=1時，a1=，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，又Sn=﹣an，從而有即：．因此數(shù)列{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列，故．（2）由已知可得f（an）=log3（）n=﹣n，則bn=﹣1﹣2﹣3﹣﹣n=﹣，故=﹣2（﹣），又Tn=﹣2[1﹣+++（﹣）]=﹣2（1﹣），因此T2012=﹣2（1﹣）=﹣．17．某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣檢查中，隨機抽取了100名電視觀眾，有關的數(shù)據(jù)以下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計20至40歲401858大于40歲152742總計5545100（1）由表中數(shù)據(jù)直觀剖析，收看新聞節(jié)目的觀眾能否與年紀有關？（2）用分層抽樣的方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機抽取5名，大于40歲的觀眾應當抽取幾名？（3）在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年紀為20至40歲的概率．【考點】分層抽樣方法；古典概型及其概率計算公式．【剖析】（1）剖析表格可得，收看新聞節(jié)目的觀眾多為年紀大的．（2）用樣本容量乘以收看新聞節(jié)目的觀眾中，年紀大于40歲的觀眾所占的比率，即得所求．（3）由（2）知，抽取的5名觀眾中，有2名觀眾的年紀處于20至40歲，故所求概率為，運算求得結果．【解答】解：（1）由表格可得，收看新聞節(jié)目的觀眾與年紀有關，收看新聞節(jié)目的觀眾多為年紀大的．（2）應抽取的人數(shù)為：（人）．（3）由（2）知，抽取的5名觀眾中，有2名觀眾的年紀處于20至40歲，3名觀眾的年紀大于40歲．所求概率為：．18．如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點，N為AE的中點，AF=AB=BC=FE=AD．1）證明：平面AMD⊥平面CDE；2）證明：BN∥平面CDE．【考點】直線與平面平行的判斷；平面與平面垂直的判斷．【剖析】（1）欲證平面AMD⊥平面CDE，即證CE⊥平面AMD，依據(jù)線面垂直的判斷定理可知只要證CE與平面AMD內兩訂交直線垂直即可，易證DM⊥CE，MP⊥CE；2）取DE的中點Q，連結NQ，CQ，證明BCQN是平行四邊形，因此BN∥CQ，利用線面平行的判斷定理，即可證明BN∥平面CDE．【解答】證明：（1）因為DC=DE且M為CE的中點，因此DM⊥CE．設P為AD的中點，連結MP，則MP⊥CE．又MP∩DM=M，故CE⊥平面AMD．而CE?平面CDE，因此平面AMD⊥平面CDE；（2）取

DE

的中點

Q，連結

NQ，CQ，則

NQ

平行且等于

AD，因為

AD∥BC，BC=

AD，因此

NQ

平行且等于

BC，因此因此因為

BCQN是平行四邊形，BN∥CQ，BN?平面CDE，CQ?

平面

CDE，因此

BN∥平面

CDE．19．設函數(shù)f（x）=x3﹣x2+6x﹣a．（1）對于隨意實數(shù)x，f′（x）≥m恒建立，求m的最大值；（2）若方程f（x）=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍．【考點】函數(shù)恒建立問題；一元二次方程的根的散布與系數(shù)的關系．【剖析】（1）先求函數(shù)f（x）的導數(shù)，而后求出f'（x）的最小值，使f'（x）min≥m建立刻可．（2）若欲使方程f（x）=0有且僅有一個實根，只要求出函數(shù)的極大值小于零，或求出函數(shù)的極小值大于零即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），因為x∈（﹣∞，+∞），f′（x）