高二數(shù)學(xué)定積分第一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日定積分三、定積分的性質(zhì)一、定積分問題舉例二、定積分的定義第二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日abxyo1曲邊梯形的面積一、定積分問題舉例所圍成和第三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）第四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日曲邊梯形如圖第五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為第六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2變速直線運(yùn)動的路程思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．第七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日（1）分割部分路程值某時(shí)刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值第八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日二、定積分的定義定義第九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日記為被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分上限積分下限積分和第十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日注：第十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日定理1存在定理定理2第十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值定積分的幾何意義第十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日幾何意義：第十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例1利用定義計(jì)算定積分解第十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例2利用定義計(jì)算定積分解第十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證明利用對數(shù)的性質(zhì)得第十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日極限運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算換序得第二十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日故第二十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日對定積分的補(bǔ)充規(guī)定:說明

在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大?。⒍ǚe分的性質(zhì)第二十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）性質(zhì)1第二十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證性質(zhì)2第二十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日補(bǔ)充：不論的相對位置如何,上式總成立.例若（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則性質(zhì)3第二十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證性質(zhì)4性質(zhì)5第二十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解令于是第二十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日性質(zhì)5的推論：證（1）第二十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證說明：可積性是顯然的.性質(zhì)5的推論：（2）第二十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）性質(zhì)6第三十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解第三十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解第三十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第三十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式第三十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日使即積分中值公式的幾何解釋：第三十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解由積分中值定理知有使第三十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

微積分基本公式

三、牛頓—萊布尼茨公式、變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)第三十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日變速直線運(yùn)動中路程為另一方面這段路程可表示為一、變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的第三十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日考察定積分記積分上限函數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)第三十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日積分上限函數(shù)的性質(zhì)證第四十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日由積分中值定理得第四十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日補(bǔ)充證第四十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日定理2（原函數(shù)存在定理）定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.第四十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日定理3（微積分基本公式）證三、牛頓—萊布尼茨公式第四十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日令令第四十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.第四十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例1求

例2設(shè),求.原式解解第四十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例3求

解由圖形可知第四十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例4求

解解面積第四十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證第五十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第五十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證令第五十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例8求解分析：這是型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.第五十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法二、定積分的分部積分法第五十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日定理一、定積分的換元法第五十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第五十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（2）（1）第五十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例1計(jì)算令解第五十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例2計(jì)算解第五十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例3計(jì)算解原式第六十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例4計(jì)算解令原式第六十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證第六十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第六十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證（1）設(shè)第六十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第六十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第六十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日定積分的分部積分公式推導(dǎo)二、定積分的分部積分法第六十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例7計(jì)算解令則第六十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例8計(jì)算解第六十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例9證明定積分公式為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)證設(shè)第七十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日積分關(guān)于下標(biāo)的遞推公式直到下標(biāo)減到0或1為止第七十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日于是第七十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日定積分的應(yīng)用第一節(jié)定積分的元素法第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用第七十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日回顧曲邊梯形求面積的問題abxyo

定積分的元素法第七十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日面積表示為定積分的步驟如下:（n.

（3）求和，得A的近似值1）把區(qū)間],[ba分成個(gè)長度為的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為n個(gè)小窄曲邊梯形，第

個(gè)小窄曲邊梯形的面積為第七十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日y提示（4）求極限，得A的精確值abxodA面積元素第七十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第七十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日元素法的一般步驟：第七十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日這個(gè)方法通常叫做元素法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等．第七十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

一、平面圖形的面積二、體積三、平面曲線的弧長第八十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日一、平面圖形的面積曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積1、直角坐標(biāo)系情形第八十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量面積元素第八十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日兩曲線的交點(diǎn)解選為積分變量第八十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積第八十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．xx+dx第八十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日面積元素曲邊扇形的面積2、極坐標(biāo)系情形第八十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解于是所求面積為第八十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解利用對稱性知2a第八十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺二、體積1、旋轉(zhuǎn)體的體積第八十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日旋轉(zhuǎn)體的體積為xyo第九十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解直線OP的方程為第九十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第九十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解第九十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第九十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解第九十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第九十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日補(bǔ)充利用這個(gè)公式，可知上例中第九十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2、平行截面面積為已知的立體的體積如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算.立體體積第九十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積第九十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積第一百頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日三、平面曲線弧長的概念第一百零一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日曲線弧為弧長1、參數(shù)方程第一百零二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長第一百零三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證第一百零四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日根據(jù)橢圓的對稱性知故原結(jié)論成立.第一百零五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日弧長元素弧長