：功率譜的研究?jī)r(jià)值。這兩者之間的關(guān)系非常緊密，一方面，維納在第二部分，本文從坐標(biāo)系下矢量的分解（投影）推廣到Fourier級(jí)數(shù)的計(jì)算式，再令函數(shù)周期趨于無(wú)窮，得到非周期函數(shù)的FourierFourier變換為基礎(chǔ)最后，對(duì)于科學(xué)家和哲學(xué)家對(duì)分析方法的評(píng)價(jià)進(jìn)行理解，：維納功率譜變換Fourier級(jí)數(shù)Fourier變對(duì)維納的意義及隨機(jī)過(guò)程功率譜的研究?jī)r(jià)值的理 維納的意 隨機(jī)過(guò)程的功率 二級(jí)數(shù)、變換的探 從矢量分解到函數(shù)的正交分解變 由幾何意義提出Fourier級(jí) Fourier變換的提 三Fourier變換的物理解 四．Fourier變換的意義和影響——基于Fourier變換的現(xiàn)代分析 分?jǐn)?shù)階Fourier變 小波變 五Fourier分析的局限 六從時(shí)域與頻域談起對(duì)變換的理 物從不同角度看能得到不同表 事物的統(tǒng)一 實(shí)證主義的探 PAGEPAGE1或-哥?！ぞS納在1930年首次了這個(gè);獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)的結(jié)果并且于1934年了它?！????(??)= ∞(??)= 功率譜的傳統(tǒng)定義為：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程{X(t)t∈??1}，因其類

(??)={??(??),|??|≤ |??|>PAGEPAGE2????(??,??)=∫1

∫??2(??)dt

1????=lim

∫??21

∞

1=

?∞??→∞

??(??)=

(??,

??→∞ ????=2?? ????(??)對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)而言，雖然其概率分布函數(shù)能全面的畫了任意兩個(gè)不同時(shí)刻取值之間的相關(guān)性在有了變換理論后，隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)進(jìn)行變換通過(guò)各種使樣本函數(shù)滿足為變換對(duì)極大的方便了兩者的互求，以此為基礎(chǔ)，隨機(jī)過(guò)程的

(??)=

1

(??,??)???(??,

??→∞ ????(??,??)=∫????(??,??)=∫且

(??)={??(??),|??|≤ |??|>

(??)={??(??),|??|≤ |??|>∞??????(??)= ??????(??)

、具有均勻功率譜密度的白噪聲在通信、導(dǎo)航和控制領(lǐng)域有分析觀察功率譜中的異常及峰值可以作為機(jī)械故障診斷的依據(jù)，、統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(jω)????(??)=故通過(guò)測(cè)量輸入輸出過(guò)程的自譜密度可以確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)的??????(??)=∞????(??)= ∞??(??)= 二級(jí)數(shù)、變換的探FourierFourier1807年提出，雖然最早僅僅是作FourierFourier變換的哲學(xué)意味也值得品味。我們從矢量分解的角度函數(shù)分解則函數(shù)的分解可以理解為,f(t)“投影”到由????(??)構(gòu)成的“坐標(biāo)系”上，可得：f(t)=??1??1(??)+??1??2(??)+?其中，????稱為f(t)和????(??)的相關(guān)系數(shù)，e(t)為分解之后的誤差。 =<f(t),????(??)>=

∫??1??

)=

∫??1[f(t)?

??

(??)]2

??由上面的討論，我們知道Fourier級(jí)數(shù)就是將函數(shù)在函數(shù)集{cos??????sin??????}n0,1,2上進(jìn)行“投影”分解。而函數(shù)集{cos??????sin??????}n=0,1,2n誤差e(t)（式②）函數(shù)f(t)，稱該函數(shù)集合為完備正交函數(shù)集。

??,??=∫2cos???????cos??????????=∫

sin???????sin??????????={ ③ ??≠

f(t)=??0+

(????cos??????+????sin??????)

=2

??2

=2

??2這就是Fourier級(jí)數(shù)的表達(dá)式。由還可以導(dǎo)出指數(shù)形式Fourier級(jí)數(shù)或Fourier變換更為普適，可以應(yīng)用于普遍情況，是分析的有效工具。而且指數(shù)形式的Fourier級(jí)數(shù)函數(shù)都納入討論范圍之內(nèi)。另外，維納-將Fourier變換和函在討論f(t)在完備正交函數(shù)集{cos??????sin??????}下分解表達(dá)式級(jí)數(shù)表達(dá)式為離散的，在ω的n倍頻率處取值。實(shí)際上，在物理世界f(t)的FourierFourier變換即非周Fourier程上往往我們只關(guān)心滿足某一誤差容限或某一近似程度的階數(shù)也就足夠了。但是我們應(yīng)該注意到Fourier級(jí)數(shù)被截?cái)嗪螽a(chǎn)生的非一致收斂的問(wèn)題會(huì)導(dǎo)致邊緣有較大幅度的波動(dòng)這就是著名的現(xiàn)象，這里不做討論。11FourierFourier變換的重要物理意義即絕對(duì)可積的函數(shù)可FourierFourier變換不易理解首要原因是因?yàn)轭l域描述和我們對(duì)世界直觀的認(rèn)識(shí)有一定距離。Fourier變換的是將非周期的函數(shù)分Fourier變換的意義。我們知道由于{cos??????sin??????}n=0,1,2)那么無(wú)數(shù)個(gè)不同幅度的正弦波疊加最終可以無(wú)誤差的近矩形波各個(gè)正弦波的幅度（也就是頻域的“）就是頻域的譜密度，如圖Fourier級(jí)數(shù)對(duì)于時(shí)域信號(hào)的描述，則Fourier所以，F(xiàn)ourier變換是將時(shí)域函數(shù)描述為一系列不同頻率的正弦Fourier變換具有些許哲學(xué)意味，在后文描述。四Fourier變換的意義和影響——基于Fourier變換的現(xiàn)代上世紀(jì)80年代年V.Namias從特征值和函數(shù)的角度分?jǐn)?shù)階Fourier變換，在20世紀(jì)末被廣泛應(yīng)用于、通信、聲吶、信息安提出小波變換(waveletysis)，被視為Fouriertx(t)的p階Fourier∞????(??)=??????(??)=(??????(??))(??)= ??(??,，??(??,)= ??={??=(2??±

1?√

??2+

cotα

)x(t)dtα≠分?jǐn)?shù)階Fourierg(t)為基本小波函數(shù)，f(t)??1(R)??2(??) ???W????(??,??) ??(??)??? )????=<??(??),????,??(??)√|??| FourierFourier分析（FourierFourier變換）在各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，充分證明了其價(jià)值，但是在Fourier的理論上還是不完備的。周期函數(shù)是否能進(jìn)行Fourier級(jí)數(shù)分解，或者非周期FourierFourier分析理論有待進(jìn)一步完善。六從時(shí)域與頻域談起對(duì)變換的理在研究性報(bào)告的上一部分我們小組已經(jīng)簡(jiǎn)要討論了級(jí)數(shù)、一部分，我們小組將給出對(duì)分析方法的哲學(xué)理解。我們選擇從 112所用的時(shí)間11在這里，從時(shí)域去看顯然不是一種好方法，因?yàn)樘珡?fù)雜！證唯物主義哲學(xué)家將與相提并論，評(píng)價(jià)到：“是一首數(shù)學(xué)的詩(shī)，是一首辯證法的詩(shī)”詩(shī)一定是優(yōu)A．(Comte)在《實(shí)證哲學(xué)》(Coursdephilosophiepositive，1842)中，把的力學(xué)理論和的理論都看作是實(shí)證主義基本誰(shuí)錯(cuò)（這種專業(yè)的哲學(xué)問(wèn)題不是我們所擅長(zhǎng)的，而是希望以實(shí)證主義的目的就是發(fā)現(xiàn)自然規(guī)律或存在于事實(shí)中間的恒常關(guān)系而這只能依靠觀察和經(jīng)驗(yàn)才能得到它強(qiáng)調(diào)我們所不能觀察到的，不能稱之為“知識(shí)（這點(diǎn)的對(duì)錯(cuò)正是實(shí)證主義與后實(shí)證主義的點(diǎn)，我們暫時(shí)拋開。 級(jí)數(shù)、積分的發(fā)現(xiàn)，正是由于傅，，被拉格朗日否決導(dǎo)致未被成功其原因是拉格朗日認(rèn)為三角1950年代處理弦振動(dòng)問(wèn)題時(shí)對(duì)三角級(jí)數(shù)的否定相表示方法不存在能量差別，基于此，是對(duì)的。們本身對(duì)的理解就是根據(jù)自己的理解是否符合這個(gè)現(xiàn)實(shí)22 認(rèn)同了日的觀點(diǎn)他也認(rèn)為自己用三角級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)正弦曲線是錯(cuò)的，那也就沒有今天應(yīng)用這么廣泛的分析方法了。隨機(jī)過(guò)程理論（第3版，，航空航天大學(xué)Wiener,Norbert.GeneralizedHarmonicy