相交線，垂線(基礎(chǔ))知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角概念，掌握對(duì)頂角的性質(zhì)；理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離；能依據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡單的計(jì)算【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角.要點(diǎn)詮釋：鄰補(bǔ)角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指的是兩個(gè)角的和為180°.鄰補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角.互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角滿足的條件：①有公共頂點(diǎn)；②有一條公共邊，另一邊互為反向延長線對(duì)頂角及性質(zhì)：定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒有公共邊(相對(duì))的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角.性質(zhì)：對(duì)頂角相等.要點(diǎn)詮釋：由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對(duì)頂角.對(duì)頂角滿足的條件：①相等的兩個(gè)角；②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線.鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角對(duì)比：

角的名稱特征性質(zhì)相同點(diǎn)不同點(diǎn)對(duì)頂角①兩條直線相交對(duì)頂角相等.①都是兩條直線相①有無公共邊；形成的角；交而成的角；②兩直線相交②有一個(gè)公共頂②都有一個(gè)公共頂時(shí)，對(duì)頂角只有點(diǎn)；八、、；點(diǎn)；八、、；2對(duì)；鄰補(bǔ)角有③沒有公共邊.③都是成對(duì)出現(xiàn)4對(duì).鄰補(bǔ)角①兩條直線相交鄰補(bǔ)角互補(bǔ).的.而成；②有一個(gè)公共頂點(diǎn)；八、、；③有一條公共邊.【高清課堂：相交線403101 兩條直線垂直】知識(shí)點(diǎn)二、垂線垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相要點(diǎn)詮釋：(1)記法：直線a與b垂直，記作：a1b；直線AB和CD垂直于點(diǎn)O,記作：AB1CD于點(diǎn)O.(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：ZAOC=90°判定'CD1AB.性質(zhì)垂線的畫法：過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直g和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示).

要點(diǎn)詮釋：(1)如果過一點(diǎn)畫已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上.(2)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段.垂線的性質(zhì)：(1)在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.(2)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.要點(diǎn)詮釋：(1)性質(zhì)(1)成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說明了垂線的存在性和唯一性.(2)性質(zhì)(2)是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短?”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短.在實(shí)際問題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問題.4?點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.要點(diǎn)詮釋：點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，是一個(gè)數(shù)量，不能說垂線段是距離；求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長度.【典型例題】類型一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角1.如圖所示，M、N是直線AB上兩點(diǎn)，匕1=匕2，問匕1與Z2，Z3與匕4是對(duì)頂角嗎匕1與Z5，Z3與匕6是鄰補(bǔ)角嗎

【答案與解析】解：匕1和Z2,Z3和匕4都不是對(duì)頂角.與匕5,匕3與Z6也都不是鄰補(bǔ)角.【總結(jié)升華】牢記兩條直線相交，才能產(chǎn)生對(duì)頂角或鄰補(bǔ)角.舉一反三：【變式】判斷正誤：TOC\o"1-5"\h\z如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角.( )如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角.( )有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角.( )如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互補(bǔ).( )有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角.( )【答案】(l)X(2)X(3)X(4)V(5)X,反例：NAOC為120°,射線0B為匕A0C的角平分線，ZA0B與匕A0C互補(bǔ)，且有邊公共為A0,公共頂點(diǎn)為0,但它們不是鄰補(bǔ)角.▼2.如圖所示，直線AB、CD相交于點(diǎn)0,Zl=65°,求Z2、匕3、匕4的度數(shù)【答案與解析】解：匕1是匕2的鄰補(bǔ)角，Zl=65°,Z2=180°-65°=115又?「匕1和匕3是對(duì)頂角，匕2與匕4是對(duì)頂角Z3=Z1=65°,Z4=Z2=115°.【總結(jié)升華】（1）兩條直線相交所成的四個(gè)角中，只要已知其中一個(gè)角，就可以求出另外三角；（2）求出匕2后用“對(duì)頂角相等”，求匕3和Z4.舉一反三：【變式】（2015?梧州）如圖，已知直線AB與CD交于點(diǎn)O,ON平分ZDOB，若ZBOC=11G°,則ZAON的度數(shù)為度.【答案】145.解:VZBOC=11G°，AZBOD=7G°，.「ON為匕BOD平分線，.\ZBON=ZDON=35°，VZBOC=ZAOD=11G°，.\ZAON=ZAOD+ZDON=145°.3.任意畫兩條相交的直線，在形成的四個(gè)角中，兩兩相配共能組成幾對(duì)角各對(duì)角存在怎樣的位置關(guān)系根據(jù)這種位置關(guān)系將它們分類.【答案與解析】解：如圖，任意兩條相交直線，兩兩相配共組成6對(duì)角，在這6對(duì)角中，它們的位置關(guān)系有兩種:有公共頂點(diǎn)，一邊重合，另一邊互為反向延長線；有公共頂點(diǎn)，角的兩邊互為反向延長線.這6對(duì)角為匕1與Z2，Z1與Z3，Z1與Z4，Z2與匕3，匕2與匕4，匕3與匕4，其中Z1=Z3,Z2=Z4,Z1+Z2=180°,Z3+Z4=180°,Z1+Z4=180°,Z2+Z3=180°.在位置上匕1與Z3,Z2與匕4是對(duì)頂角，匕1與Z2,Z3與匕4,匕l(fā)與Z4,Z2與匕3是鄰補(bǔ)角.【總結(jié)升華】兩條相交的直線，兩兩相配共組成6對(duì)角，這6對(duì)角中有：4對(duì)鄰補(bǔ)角，2對(duì)對(duì)頂角類型二、垂線下列語句中，正確的有（）一條直線的垂線只有一條；在同一平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直；兩直線相交，則交點(diǎn)叫垂足；互相垂直的兩條直線形成的四個(gè)角一定都是直角.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)【答案】C【解析】正確的是：②④【總結(jié)升華】充分理解垂直的定義與性質(zhì).舉一反三：【變式1】直線l外有一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線l的距離是（）.點(diǎn)P到直線l的垂線的長度.點(diǎn)P到直線l的垂線段.點(diǎn)P到直線l的垂線段的長度.點(diǎn)P到直線l的垂線.【答案】C（2015?河北模擬）如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上,COXDO于點(diǎn)0，若Z1=145°，則匕3的度數(shù)為（ ）

A.35°B.45°C.55°A.35°B.45°C.55°D.65°【答案】C.【解析】解:.「匕1=145°,AZ2=180°-145°=35°,VCOXDO,AZCQD=90°,AZ3=90°-Z2=90°-35°=55°.【總結(jié)升華】本題考查了垂線和鄰補(bǔ)角的定義；弄清兩個(gè)角之間的互補(bǔ)和互余關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【高清課堂：相交線403101經(jīng)典例題3】舉一反三：【變式】如圖，直線AB和CD交于O點(diǎn)，OD平分ZBOF,OE±CD于點(diǎn)O,ZAQC=40,【答案】130°.【答案】130°.如圖所示，要把水渠中的水引到水池C,在渠岸AB的什么地方開溝，才能使溝最短畫出圖來，并說明原因.

【答案與解析】解：如圖，過點(diǎn)C作CDXAB，垂足為D.所以在點(diǎn)D沿CD開溝，才能使溝最短，原因是從直線外一點(diǎn)到直線上所有各點(diǎn)的連線中，垂線段最短.【總結(jié)升華】“如何開溝、使溝最