本章主要內(nèi)容：適用范圍6.6GM(1,N)模型和GM(0,N)模型6.7GM(2,1)和Verhulst模型第六章灰色系統(tǒng)建模許多系統(tǒng)研究者對(duì)微分方程感興趣，認(rèn)為微分方程較深刻地反映了事物發(fā)展的本質(zhì)。灰色系統(tǒng)理論通過對(duì)一般微分方程的深刻剖析定義了序列的灰導(dǎo)數(shù)，從而使我們能夠利用離散數(shù)據(jù)序列建立近似的微分方程模型。定義6.1.1設(shè)微分方程為則稱為x的導(dǎo)數(shù)；x為的背景值；a,b為參數(shù)。因此，一個(gè)一階微分方程由導(dǎo)數(shù)、背景值和參數(shù)三部分構(gòu)成。定義6.1.2設(shè)為定義在時(shí)間集T上的函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒有,則稱在T上的信息濃度無限大。2、若x為背景值取值，且設(shè)為的成分，當(dāng)時(shí)，則稱背景取值與導(dǎo)數(shù)成分滿足平射關(guān)系。定理6.1.1微分方程構(gòu)成的條件有以下三條：1、信息濃度無限大；2、背景值是灰數(shù)；3、導(dǎo)數(shù)與背景值滿足平射關(guān)系；定義6.1.4稱為灰色微分方程。命題6.1.1對(duì)于灰色微分方程灰導(dǎo)數(shù)與背景值中元素不滿足平射關(guān)系。命題6.1.2若背景值取中元素的均值，即令則背景值與灰導(dǎo)數(shù)成分具有算術(shù)平射關(guān)系。6.2GM(1,1)模型定義6.2.1設(shè)稱為GM(1,1)模型的原始形式。符號(hào)GM(1,1)的含義如下：定理6.2.1設(shè)如定義6.2.1和6.2.2所示,若為參數(shù)列，且則GM(1,1)模型的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足定義6.2.3稱：為GM(1,1)模型的白化方程，也叫影子方程。定理6.2.2設(shè)如定理6.2.1所述，(1)白化方程的解也稱時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為(2)GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)序列為(3)還原值定義6.2.4稱GM(1,1)模型中的參數(shù)-a為發(fā)展系數(shù)，b為灰色作用量。定理6.2.3GM(1,1)模型可以轉(zhuǎn)化為其中

GM(1,1)模型的特點(diǎn)是能較好地對(duì)系統(tǒng)行為特征值大小的發(fā)展變化進(jìn)行預(yù)測(cè)，其應(yīng)用價(jià)值在越來越多的領(lǐng)域得到體現(xiàn)。GM(1,1)模型實(shí)質(zhì)是通過對(duì)原始數(shù)據(jù)序列作一次累加生成(1-AcumulatedGeneratingOperator,1-AGO)，使序列呈現(xiàn)出灰指數(shù)規(guī)律，從而構(gòu)造預(yù)測(cè)模型，來預(yù)測(cè)系統(tǒng)的發(fā)展趨勢(shì)，其建模過程是：

第一步：累加生成。設(shè)原始非負(fù)序列為X(0)=，則X(0)的1-AGO序列為X(1)=，其中，X(1)(K)=,()。

第二步：構(gòu)造背景值。由X(1）構(gòu)造背景值序列Z(1)=()，其中Z(1)(K)=，，一般取，作緊鄰均值生成。

第三步：假定X(1)具有近似指數(shù)變化規(guī)律，則白化微分方程為。將上式離散化，微分變差分，得到GM(1,1)灰微分方程。

第四步：用最小二乘法，可以解得參數(shù)a，b，其中-a稱為發(fā)展系數(shù)，其大小反映了序列的增長(zhǎng)速度；b稱為灰作用量。相應(yīng)的，X(0)的預(yù)測(cè)公式為:6.4GM(1,1)模型群在實(shí)際建模中，原始序列數(shù)據(jù)不一定全用來建模。取出一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可以建立一個(gè)模型。即使都建立同類GM(1,1)模型，選擇不同的數(shù)據(jù)，參數(shù)的值也不一樣。這種變化，正是不同情況、不同條件對(duì)系統(tǒng)特征的影響在模型中的反映。定義6.4.1設(shè)序列將x(0)(n)取為時(shí)間軸的原點(diǎn)，則稱t<n為過去;t=n為現(xiàn)在;t>n為未來。定義6.4.2設(shè)為其GM(1,1)時(shí)間響應(yīng)式的累減還原值，則(1)當(dāng)時(shí)，稱為模型模擬值；(2)當(dāng)時(shí)，稱為模型預(yù)測(cè)值。(3)設(shè)x(0)(n+1)為最新信息，將x(0)(n+1)置入X（0)序列，稱用建立的模型為新信息GM(1,1)；(4)置入最新信息x(0)(n+1)，去掉最老信息x(0)(1)，稱用建立的模型為新陳代謝GM(1,1)。我們所追求的是GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度越高越好，但預(yù)測(cè)精度不可能事先知道。我們只能以模擬精度來檢驗(yàn)GM(1,1)模型的精度。實(shí)際數(shù)據(jù)；模擬數(shù)據(jù)定義殘差為定義相對(duì)誤差為我們用殘差平方和和平均相對(duì)誤差來衡量模型精度。6.5GM(1,1)模型的適用范圍鄧聚龍對(duì)GM(1,1)進(jìn)行了深入研究,得到多種不同形式命題6.5.1當(dāng)時(shí)，GM(1,1)模型無意義。證明采用最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，有當(dāng)時(shí)，，無法確定模型參數(shù)，故此GM(1,1)模型無意義。隨著a的取值不同，預(yù)測(cè)效果也不同。對(duì)于-2<a<0，即發(fā)展系數(shù)0<-a<2的情形，我們分別取-a=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,1.0,1.5,1.8等進(jìn)行模擬分析。取k=0,1,2,3,4,5,由可得如下數(shù)列：

分別以為原始序列建立GM(1,1)模型得到如下的時(shí)間響應(yīng)式：由得

可以看出，隨著發(fā)展系數(shù)-a的增大，模擬誤差迅速增加。當(dāng)發(fā)展系數(shù)-a小于或等于0.3時(shí)，模擬精度可以達(dá)到98%以上;發(fā)展系數(shù)小于或等于0.5時(shí)，模擬精度可以達(dá)到95%以上;發(fā)展系數(shù)大于1，模擬精度低于70%;發(fā)展系數(shù)大于1.5，模擬精度低于50%。進(jìn)一步考察1步，2步，5步，10步預(yù)測(cè)誤差當(dāng)發(fā)展系數(shù)小于0.3時(shí)，1步預(yù)測(cè)精度在98%以上，2步和5步預(yù)測(cè)精度都在97%以上；當(dāng)0.3<-a<=0.5時(shí)，1步和2步預(yù)測(cè)精度皆在90%以上，10步預(yù)測(cè)精度亦高于80%；當(dāng)發(fā)展系數(shù)大于0.8時(shí)，1步預(yù)測(cè)精度已低于70%。1)當(dāng)-a<=0.3時(shí)，GM(1,1)可用于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)；2)當(dāng)0.3<-a<=0.5時(shí)，GM(1,1)可用于短期預(yù)測(cè)，中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)慎用；3)當(dāng)0.5<-a<=0.8時(shí)，用GM(1,1)作短期預(yù)測(cè)應(yīng)十分謹(jǐn)慎；4)當(dāng)0.8<-a<=1時(shí)，應(yīng)采用殘差修正GM(1,1)模型；5)當(dāng)-a>1時(shí)，不宜采用GM(1,1)模型。6.5殘差GM(1,1)模型當(dāng)GM(1,1)模型的精度不符合要求時(shí)，可用殘差序列建立GM(1,1)模型，對(duì)原來的模型進(jìn)行修正，以提高精度。定義6.5.1設(shè)為原始序列，為的1－AGO序列，GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)式

則稱

為導(dǎo)數(shù)還原值?？梢钥闯?，GM(1,1)模型既不是微分方程，也不是差分方程。但當(dāng)充分小時(shí)，，有這說明微分與差分的結(jié)果十分接近。6.6GM(1,N)和GM(0,N)模型

一、GM(1,N)

定義6.6.1設(shè)為系統(tǒng)特征序列，而

為相關(guān)因素序列，為的1－AGO序列，為的緊鄰均值生成序列，則稱為GM(1,N)模型。

定義6.6.2在GM(1,N)模型中，-a稱為系統(tǒng)發(fā)展系數(shù)，稱為驅(qū)動(dòng)項(xiàng)，bi稱為驅(qū)動(dòng)系數(shù)，稱為參數(shù)列。定理6.6.1設(shè)X1(0)為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，Xi(0)為相關(guān)因素?cái)?shù)據(jù)序列，Xi(1)為諸Xi(0)的1－AGO序列，Z1(1)為X1(1)的緊鄰均值生成序列，則參數(shù)列的最小二乘估計(jì)滿足

定義6.6.3設(shè)，則稱為GM(1,N)模型的白化方程，也稱影子方程。定理6.6.2設(shè)如定理6.6.1所述，則(1)白化方程的解為：(2)GM(1,N)的近似時(shí)間響應(yīng)式為：(3)累減還原式為(4)GM(1,N)差分模擬式為：

定義6.6.4設(shè)為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，為相關(guān)因素序列，為諸的1－AGO序列，則稱為GM(0,N)模型。二、GM(0,N)模型定理6.6.3設(shè)，如定義6.6.4所述，則參數(shù)列的最小二乘估計(jì)為6.7GM(2,1)和Verhulst模型一、GM(2,1)定義6.7.1設(shè)其中稱為GM(2,1)模型。定義6.7.2稱為GM(2,1)模型的白化方程。定理6.7.1設(shè)如定義6.7.1所述，且則GM(2,1)參數(shù)列的最小二乘估計(jì)為定理6.7.2關(guān)于GM(2,1)白化方程的解有以下結(jié)論：(1)若是的特解，是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，則是GM(2,1)白化方程的通解。(2)齊次方程的通解有以下三種情況：當(dāng)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，當(dāng)特征方程有重根時(shí)，當(dāng)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，(3)白化方程的特解有以下三種情況：當(dāng)零不是特征方程的根時(shí)，當(dāng)零是特征方程的單根時(shí)，當(dāng)零是特征方程的重根時(shí)，二、Verhulst模型Verhulst模型主要用來描述具有飽和狀態(tài)的過程，即S形過程。常用于人口預(yù)測(cè)、生物生長(zhǎng)、繁殖預(yù)測(cè)和產(chǎn)品經(jīng)濟(jì)壽命預(yù)測(cè)等。定義6.7.5稱為GM(1,1)冪模