控制與接口技術(shù)Tel:控制與接口技術(shù)第一章緒論第二章線性離散系統(tǒng)的分析與校正第三章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合第四章STM32處理器及其應(yīng)用第五章數(shù)控（CNC）系統(tǒng)及其插補(bǔ)原理第六章數(shù)控機(jī)床的伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)第七章SIMULINK交互式仿真集成環(huán)境內(nèi)容提要狀態(tài)空間分析系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)建立狀態(tài)方程的方法建立狀態(tài)方程的方法如果已知描述系統(tǒng)的微分方程，可以通過(guò)變量代換的方法建立狀態(tài)方程。例：已知系統(tǒng)的微分方程令逐次變換消去激勵(lì)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。令：x1=y-b2uy=x1+b2u令：x2=dx1/dt–(b1-a1b2)ux’11/s4/3－∑∑1/s23－∑x’2u1/s4－∑x’32/3并聯(lián)形式并聯(lián)形式系統(tǒng)傳遞函數(shù)當(dāng)其變量是一個(gè)向量時(shí)——x’(t)=Ax(t)+Bu(t)當(dāng)其變量是一個(gè)標(biāo)量時(shí)——x’(t)=ax(t)+bu(t)若系統(tǒng)的初始條件為x(0－)，其解為1/sC∑BA(1-e-Ts)/sD(z)∑∑r(t)e(k)u(k)u(t)x(t)y(t)？x’(t)狀態(tài)方程x’(t)=Ax(t)+Bu(t)表示被控對(duì)象構(gòu)造函數(shù)e－Atx(t)，對(duì)其兩端求導(dǎo)：幾個(gè)重要的矩陣公式狀態(tài)方程的頻域求解x’(t)=Ax(t)+Bu(t)一組微分方程的矩陣描述！兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，其矩陣描述為：sX(s)-x(0－)=AX(s)+BU(s)X(s)=(sI-A)-1[x(0－)+BU(s)]=Φ(s)[x(0－)+BU(s)]如果系統(tǒng)初始狀態(tài)為0，

|Φ(s)|是各狀態(tài)傳遞函數(shù)的特征多項(xiàng)式。系統(tǒng)的頻域解有

X(s)=Φ(s)x(t0)+Φ(s)BU(s)x(t)=L－1[Φ(s)x(0－)]+L－1[Φ(s)BU(s)]與時(shí)域解比較有結(jié)論：系統(tǒng)的時(shí)域解與頻域解的比較狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣eAt=L－1[Φ(s)]=L－1[

(sI-A)-1]若對(duì)狀態(tài)函數(shù)進(jìn)行采樣兩邊乘eAT

t＝kT

t＝(k+1)T

狀態(tài)函數(shù)采樣對(duì)零階保持器和被控對(duì)象離散化后的狀態(tài)方程為：其中：x(kT)——n維；u(kT)——m維；y(k)——p維；

F——n×n維；G——n×m維；C——p×n維；

在控制工程中，有兩個(gè)問(wèn)題經(jīng)常引起設(shè)計(jì)者的關(guān)心。那就是加入適當(dāng)?shù)目刂谱饔煤?，能否在有限時(shí)間內(nèi)將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)控制（轉(zhuǎn)移）到希望的狀態(tài)上，以通過(guò)對(duì)系統(tǒng)輸出在一段時(shí)間內(nèi)的觀測(cè)，能否判斷（識(shí)別）系統(tǒng)的初始狀態(tài)。這便是控制系統(tǒng)的能控性與能觀性問(wèn)題?？刂葡到y(tǒng)的能控性及能觀性是現(xiàn)代理論中很重要的兩個(gè)概念。在多變量最優(yōu)控制系統(tǒng)中，能控性及能觀性是最優(yōu)控制問(wèn)題解的存在性問(wèn)題中最重要的問(wèn)題，如果所研究的系統(tǒng)是不可控的，則最優(yōu)控制問(wèn)題的解是不存在的。系統(tǒng)的可控性和可觀性可控性定義：當(dāng)系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時(shí)，給定系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)，可以找到允許的輸入量，在有限的時(shí)間內(nèi)使系統(tǒng)的所有狀態(tài)達(dá)到任一終止?fàn)顟B(tài)，則稱系統(tǒng)是完全可控的。有狀態(tài)方程 x’(t)=Ax(t)+Bu(t)其解為：系統(tǒng)的可控性如果有限的時(shí)間內(nèi)0

<t<t1內(nèi)通過(guò)輸入量u(t)的作用把系統(tǒng)的所有狀態(tài)引向狀態(tài)x(t1)[設(shè)x(t1)=0]，則應(yīng)有：即在給定x(0-)和A、B的條件下求可以使x(t)=x(t1)的u(t)。可觀性定義：當(dāng)系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時(shí)，給定控制后，如果系統(tǒng)的每一個(gè)初始狀態(tài)x(0-)都可以在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)系統(tǒng)的輸出y(t)唯一確定，則稱系統(tǒng)完全可觀。若只能確定部分初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)部分可觀。有狀態(tài)方程 x’(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)

其解為：由于在討論能觀性問(wèn)題時(shí)，輸入是給定的，上式右側(cè)第二項(xiàng)是確知的，設(shè)u(t)=0。y(t)=CeAtx(0-)系統(tǒng)的可觀性根據(jù)凱萊－哈米爾頓定理，e-At、eAt可寫(xiě)成有限級(jí)數(shù)：如果方程有解，等式右側(cè)中間側(cè)矩陣應(yīng)滿秩。秩=n(系統(tǒng)的階數(shù))系統(tǒng)的可觀性對(duì)離散系統(tǒng)

xn×1(k+1)=Fn×nxn×1(k)+Gn×mum×1(k) yp×1(k)=Cp×nxn×1(k)可以推出完全可控和可觀的充分必要條件為：離散系統(tǒng)的可控性和可觀性求解離散狀態(tài)方程用z變換求解離散狀態(tài)方程有離散狀態(tài)方程 x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)求z變換 zX(z)-zx(0)=FX(z)+GU(z) (zI-F)X(z)=zx(0)+GU(z)

X(z)=(zI-F)-1zx(0)+(zI-F)-1GU(z)=(I-z-1F)-1x(0)+(zI-F)-1GU(z)x(k)=Z-1[(I-z-1F)-1x(0)]+Z-1[(zI-F)-1GU(z)]另 x(1)=Fx(0)+Gu(0) x(2)=Fx(1)+Gu(1)=FFx(0)+FGu(0)+Gu(1)………………比較可得

Fk=Z-1[(I-z-1F)-1]|zI-F|為各狀態(tài)傳遞函數(shù)的特征多項(xiàng)式。[zI-F]-1=[zI-F]*/|zI-F|離散狀態(tài)空間表達(dá)式>>a=[-10；10]；b=expm(a)——matlab語(yǔ)句設(shè)T＝1逆矩陣＝伴隨陣/矩陣行列式設(shè)系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)r(t)，控制變量為u(k)，系統(tǒng)初始條件為：x1(0)=x2(0)=0如果u(0)＝1/0.368，則一拍達(dá)到目的。設(shè)調(diào)節(jié)器輸出u(0)＝1/0.368最優(yōu)控制最優(yōu)控制是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一種方法。它所研究的中心問(wèn)題是如何選擇控制信號(hào)，才能保證控制系統(tǒng)的性能在某種意義下最優(yōu)。本節(jié)內(nèi)容為：1.引言2.用變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題3.極小值原理及其在快速控制中的應(yīng)用4.用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解最優(yōu)控制問(wèn)題5.線性狀態(tài)調(diào)節(jié)器6.線性伺服機(jī)問(wèn)題1引言什么是最優(yōu)控制？以下通過(guò)直流他勵(lì)電機(jī)的控制問(wèn)題來(lái)說(shuō)明問(wèn)題1電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程為（1）其中，為轉(zhuǎn)矩系數(shù)；為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為恒定的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；希望：在時(shí)間區(qū)間[0，tf]內(nèi)，電動(dòng)機(jī)從靜止起動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)一定角度后停止，使電樞電阻上的損耗最小，求因?yàn)槭菚r(shí)間的函數(shù)，E

又是的函數(shù)，E

是函數(shù)的函數(shù)，稱為泛函。（2）采用狀態(tài)方程表示，令于是（3）初始狀態(tài)末值狀態(tài)控制不受限制性能指標(biāo)（4）本問(wèn)題的最優(yōu)控制問(wèn)題是：在數(shù)學(xué)模型（3）的約束下，尋求一個(gè)控制，使電動(dòng)機(jī)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到末值狀態(tài)，性能指標(biāo)E

為最小。問(wèn)題2對(duì)于問(wèn)題1中的直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)，如果電動(dòng)機(jī)從初始時(shí)刻的靜止?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度又停下，求控制（是受到限制的），使得所需時(shí)間最短。這也是一個(gè)最優(yōu)控制問(wèn)題：系統(tǒng)方程為初始狀態(tài)末值狀態(tài)≤（5）性能指標(biāo)（6）最優(yōu)控制問(wèn)題為：在狀態(tài)方程的約束下，尋求最優(yōu)控制，將轉(zhuǎn)移到，使J

為極小。≤最優(yōu)控制問(wèn)題的一般性提法系統(tǒng)狀態(tài)方程為初始狀態(tài)為其中，x

為n

維狀態(tài)向量；

u

為r

維控制向量；f為n

維向量函數(shù)，它是x

、u

和t

的連續(xù)函數(shù)，并且對(duì)x

、t連續(xù)可微。最優(yōu)。其中是

x

、u

和t

的連續(xù)函數(shù)尋求在上的最優(yōu)控制或，以將系統(tǒng)狀態(tài)從轉(zhuǎn)移到或的一個(gè)集合，并使性能指標(biāo)最優(yōu)控制問(wèn)題就是求解一類帶有約束條件的條件泛函極值問(wèn)題。補(bǔ)充：泛函與變分法一、泛函與變分1、泛函的基本定義：如果對(duì)于某個(gè)函數(shù)集合中的每一個(gè)函數(shù)，變量J

都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量J為依賴于函數(shù)的泛函，記作可見(jiàn)，泛函為標(biāo)量，可以理解為“函數(shù)的函數(shù)”例如：（其中，為在上連續(xù)可積函數(shù)）當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有。泛函如果滿足以下條件時(shí)，稱為線性泛函：1），其中c

為任意常數(shù)；2）對(duì)于一個(gè)任意小正數(shù)，總是可以找到，當(dāng)時(shí)，有就稱泛函在處是連續(xù)的。2、泛函的變分所謂泛函的宗量的變分是指兩個(gè)函數(shù)間的差。定義：設(shè)是線性賦泛空間上的連續(xù)泛函，其增量可表示為其中，是關(guān)于的線性連續(xù)泛函，是關(guān)于的高階無(wú)窮小。則稱為泛函的變分。3、泛函變分的規(guī)則1）2）3）4）泛函的變分等于定理：設(shè)是在線性賦泛空間上某個(gè)開(kāi)子集D

中定義的可微泛函，且在處達(dá)到極值，則泛函在處必有4、泛函的極值設(shè)是在線性賦泛空間上某個(gè)子集D

中的線性連續(xù)泛函，，若在的某領(lǐng)域內(nèi)在時(shí)，均有≥0≤0或則稱在處達(dá)到極大值或極小值。歐拉方程：定理：設(shè)有如下泛函極值問(wèn)題：其中，及在上連續(xù)可微，和給定，已知，，，則極值軌線滿足如下歐拉方程及橫截條件注意：滿足歐拉方程是必要條件，不是充分條件。2用變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題2.1末值時(shí)刻固定、末值狀態(tài)自由情況下的最優(yōu)控制非線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程為（6）初始狀態(tài)（7）其中，x

為n

維狀態(tài)向量；

u

為r

維控制向量；f為n

維向量函數(shù)。要求在控制空間中尋求一個(gè)最優(yōu)控制向量，使以下性能指標(biāo)（8）沿最優(yōu)軌線取極小值。（性能指標(biāo)如（8）式所示的最優(yōu)控制問(wèn)題，是變分法中的波爾扎問(wèn)題）引入拉格朗日乘子（9）將性能指標(biāo)（8）式改寫(xiě)為其等價(jià)形式定義哈密頓函數(shù)（10）則（11）由（6）式可知為零（12）對(duì)（11）式中的第三項(xiàng)進(jìn)行分部積分，得當(dāng)泛函J

取極值時(shí)，其一次變分等于零。即可以變分的量：不可以變分的量：求出J

的一次變分并令其為零將上式改寫(xiě)成（13）由于未加限制，可以選擇使上式中和的系數(shù)等于零。于是有（15）（14）（16）由于是任意的變分，根據(jù)變分法中的輔助引理，由（16）式得（17）（14）式稱為伴隨方程，為伴隨變量，（17）式為控制方程。幾點(diǎn)說(shuō)明：1）實(shí)際上，（14）式和（17）式就是歐拉方程。（18）因?yàn)椋?9）如果令簡(jiǎn)記成（20）由歐拉方程得到即（21）可見(jiàn)（21）式和（18）式相同，（22）式和（19）式相同。因此，（14）式和（17）就是歐拉方程，而（7）式和（15）就是橫截條件。（22）2）是泛函取極值的必要條件是否為極小值還需要二次變分來(lái)判斷，則泛函J

取極小值。3）哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線隨時(shí)間的變化率在最優(yōu)控制、最優(yōu)軌線下，有和（10）式的哈密頓函數(shù)對(duì)求偏導(dǎo)，結(jié)果為

由（14）式可得

因?yàn)闇p號(hào)兩邊是相等標(biāo)量（行向量與列向量相乘）（23）（24）這兩個(gè)等于零的式子代入（23）式，于是即哈密頓函數(shù)H

沿最優(yōu)軌線對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)等于它對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)。記為則（25）對(duì)上式積分，得到（26）當(dāng)哈密頓函數(shù)不顯含t時(shí)，由（25）式得初始條件例6-1系統(tǒng)狀態(tài)方程為性能指標(biāo)試求最優(yōu)控制，使J

取極小值。解哈密頓函數(shù)由伴隨方程因?yàn)橛煽刂品匠碳磳⒋霠顟B(tài)方程解為當(dāng)時(shí)，代入上式，求得，所以當(dāng)時(shí)，最優(yōu)性能指標(biāo)為2.2末值時(shí)刻固定，末端狀態(tài)固定情況下的最優(yōu)控制非線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程為（27）初始狀態(tài)（28）末值狀態(tài)（29）性能指標(biāo)（30）尋求最優(yōu)控制，在內(nèi)，將系統(tǒng)從轉(zhuǎn)移到，同時(shí)使性能指標(biāo)J

取極小值。（性能指標(biāo)如（30）式所示的最優(yōu)控制問(wèn)題，是變分法中的拉格朗日問(wèn)題）引入哈密頓函數(shù)其中于是因?yàn)閷?duì)上式右邊第2項(xiàng)進(jìn)行分部積分，可以得到上式中可以變分的量：不可以變分的量：令性能指標(biāo)J

的一次變分等于零，得（31）選擇，使其滿足（32）則（33）在末端狀態(tài)固定情況下，不是任意的。只有在系統(tǒng)能控的情況下，才有控制方程例2問(wèn)題1的系統(tǒng)狀態(tài)方程為末值狀態(tài)初始狀態(tài)性能指標(biāo)設(shè)最優(yōu)控制問(wèn)題就是在狀態(tài)方程的約束下，尋求，使轉(zhuǎn)移到，并使J取極小值。解根據(jù)能控性判據(jù)知，該系統(tǒng)是能控的1）哈密頓函數(shù)為2）由控制方程得到即3）由伴隨方程，得到（，為積分常數(shù)）4）由狀態(tài)方程得（，為積分常數(shù)）根據(jù)邊界條件，確定積分常數(shù)，得代入和它們的曲線如圖所示（圖中，實(shí)線是理論上的變化，虛線是實(shí)際的軌線。）2.3末值時(shí)刻自由情況下的最優(yōu)控制非線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程為初始狀態(tài)初始時(shí)刻固定，末值時(shí)刻是自由的。自由，性能指標(biāo)（34）尋求最優(yōu)控制以及，使性能指標(biāo)J

取極小值。為了求出最優(yōu)控制，引入哈密頓函數(shù)其中于是可以變分的量不能變分的量上式中H

為的簡(jiǎn)化表示對(duì)上式中進(jìn)行分部積分，成為（35）應(yīng)當(dāng)注意，末值時(shí)刻自由時(shí)，不等于或上式代入（35）式性能指標(biāo)取極值時(shí)，必有（36）選擇使其滿足（37）（38）由于、是任意的，可得（39）（40）（41）而例3系統(tǒng)的狀態(tài)方程為性能指標(biāo)求最優(yōu)控制和末值時(shí)刻，使性能指標(biāo)泛函取極小值。解經(jīng)判斷系統(tǒng)是能控的1）構(gòu)造哈密頓函數(shù)2）由控制方程，得或3）由伴隨方程4）將代入狀態(tài)方程解為其中，、為積分常數(shù)，由，確定，得5）由于自由，，得到或解得3極小值原理及其在快速控制中的應(yīng)用3.1問(wèn)題的提出用變分法求解最優(yōu)控制時(shí)，認(rèn)為控制向量不受限制。但是實(shí)際的系統(tǒng)，控制信號(hào)都是受到某種限制的。因此，應(yīng)用控制方程來(lái)確定最優(yōu)控制，可能出錯(cuò)。a)圖中所示，H

最小值出現(xiàn)在左側(cè)，不滿足控制方程。b)圖中不存在3.2極小值原理非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（42）初始時(shí)刻，初始狀態(tài)，末值時(shí)刻，末端狀態(tài)自由（43）性能指標(biāo)為末值型性能指標(biāo)（44）要求在狀態(tài)方程約束下，尋求最優(yōu)控制及使系統(tǒng)從轉(zhuǎn)移到，并使J

取極小值。以下就是用極小值原理解前面的問(wèn)題：設(shè)為容許控制，為對(duì)應(yīng)的狀態(tài)軌線。為了使它們分別成為最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，存在一個(gè)向量函數(shù)，使得（45）（46）其中哈密頓函數(shù)：（47）（49）（48）和滿足邊界條件則哈密頓函數(shù)H

相對(duì)最優(yōu)控制取極小值，即（50）或者≤（51）在末值時(shí)刻是自由的情況哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線隨時(shí)間的變化規(guī)律：在末值時(shí)刻是固定的情況（52）（53）幾點(diǎn)說(shuō)明：1）極小值原理給出的只是最優(yōu)控制應(yīng)該滿足的必要條件。2）極小值原理的結(jié)果與用變分法求解最優(yōu)問(wèn)題的結(jié)果相比，差別僅在于極值條件。4）非線性時(shí)變系統(tǒng)也有極小值原理。3）這里給出了極小值原理，而在龐德里亞金著作論述的是極大值原理。因?yàn)榍笮阅苤笜?biāo)J的極小值與求－J的極大值等價(jià)。3.3二次積分模型的快速控制在問(wèn)題2中，若，，令。就是二次積分模型。其狀態(tài)方程模型（54）≤1（55）系統(tǒng)的初始狀態(tài)為（56）末值狀態(tài)為（57）性能指標(biāo)為（58）要求在狀態(tài)方程約束下，尋求滿足（55）式的最優(yōu)控制，使系統(tǒng)從轉(zhuǎn)移到，同時(shí)使J取極小值。因?yàn)樵谶@個(gè)最優(yōu)控制問(wèn)題中，控制信號(hào)受限制，因此用極小值原理來(lái)求解。系統(tǒng)是能控的，其解存在且唯一。1）哈密頓函數(shù)為（59）2）根據(jù)極值條件（50），來(lái)確定最優(yōu)控制。只能用分析的方法確定u(t)，使哈密頓函數(shù)取極小值。顯然，在u的限制條件下，選擇u

使H

取得極小。有（60）或（61）3）伴隨方程為如果的初始值為，，則（62）（63）在[0，]內(nèi)最多變號(hào)一次，最優(yōu)控制函數(shù)有以下可能的4種情況4）由狀態(tài)方程可知，當(dāng)時(shí)，求得消去t得或?qū)懗蔀榱诵蜗蟮乇硎鞠到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，引用相平面方法，畫(huà)出相軌跡如下圖所示。相軌跡為兩族拋物線。從到達(dá)的相軌跡只有兩條、?！?≥0將和合起來(lái)，曲線r將相平面分成兩個(gè)區(qū)域和當(dāng)初始狀態(tài)位于：為（+1，－1）最優(yōu)軌線：當(dāng)初始狀態(tài)位于：為（－1，+1）曲線r

常稱為轉(zhuǎn)移曲線或開(kāi)關(guān)曲線。開(kāi)關(guān)曲線方程式為也稱為開(kāi)關(guān)函數(shù)。最優(yōu)控制為當(dāng)及，≤0當(dāng)及，≥0最優(yōu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，如下圖所示5）最優(yōu)性能指標(biāo)初始狀態(tài)在A點(diǎn)：說(shuō)明：通過(guò)這個(gè)最優(yōu)控制問(wèn)題的求解發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)控制與問(wèn)題6-1不同。在問(wèn)題6-1中，為時(shí)間的三角函數(shù)。而在這里，為時(shí)間方波函數(shù)。原因在于性能指標(biāo)不同，因此也不同。因此，在說(shuō)到最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)，一定要指明性能指標(biāo)，即求解在什么性能指標(biāo)下的最優(yōu)。4用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解最優(yōu)控制問(wèn)題右圖為某小城鎮(zhèn)交通路線圖。起點(diǎn)站為S，終點(diǎn)站為F，站與站之間的里程標(biāo)在圖上，要求選擇一條路線走法，使里程最短。這是一個(gè)最優(yōu)控制問(wèn)題。一種辦法是將從S到F所有可能走法都列出來(lái)，并且把每種走法的里程標(biāo)在各條路線上，找出最短的。4.1動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的基本思想第二個(gè)辦法：從最后一段開(kāi)始，向前倒推。當(dāng)?shù)雇频侥骋徽緯r(shí)，計(jì)算該站到終點(diǎn)站的總里程，并選擇里程最少的走法。從該例看出，這種解法有兩個(gè)特點(diǎn):第一，它把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題（即：決定一條路線的選擇問(wèn)題）變成許多個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題（即：每次只決定向上走（p）還是向下走（q）的問(wèn)題），因此問(wèn)題的求解變得簡(jiǎn)單容易了。不變嵌入原理的含義是：為了解決一個(gè)特定的最優(yōu)控制問(wèn)題，而把原問(wèn)題嵌入到一系列相似的但易于求解的問(wèn)題中去。對(duì)于一個(gè)多級(jí)最優(yōu)控制過(guò)程來(lái)說(shuō)，就是把原來(lái)的多級(jí)最優(yōu)控制問(wèn)題代換成一系列單級(jí)最優(yōu)控制問(wèn)題。4.2最優(yōu)性原理最優(yōu)性原理——在一個(gè)多級(jí)決策問(wèn)題中的最優(yōu)決策具有這樣的性質(zhì)，不管初始級(jí)、初始狀態(tài)和初始決策是什么，當(dāng)把其中任何一級(jí)和這一級(jí)的狀態(tài)再作為初始級(jí)和初始狀態(tài)時(shí)，余下的決策對(duì)此必定構(gòu)成一個(gè)最優(yōu)決策。將最優(yōu)性原理應(yīng)用到離散系統(tǒng)中去，系統(tǒng)狀態(tài)方程為初始狀態(tài)為性能指標(biāo)為要求確定，使性能指標(biāo)最優(yōu)，即一般認(rèn)為，第k

級(jí)決策與第k

級(jí)以及k以前各級(jí)狀態(tài)和決策有關(guān)（64）以上函數(shù)稱為策略函數(shù)如果記則對(duì)于任意級(jí)k

，有（65）應(yīng)該指出，最優(yōu)性原理所肯定的是余下的決策為最優(yōu)決策。對(duì)以前的決策沒(méi)有明確的要求。4.3用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解離散系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題系統(tǒng)狀態(tài)方程為（66）（67）（68）要求在狀態(tài)方程約束下，尋求使可以受限制，也可以不受限制。例4線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為初始狀態(tài)為，性能指標(biāo)為尋求最優(yōu)控制序列，使（為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)）解運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法來(lái)求解1）從最后一級(jí)開(kāi)始，即2）向前倒推一級(jí)，即因?yàn)椴皇芟拗?，故可以通過(guò)下式求得3）再向前倒推一級(jí)，即注意：1、對(duì)一個(gè)多級(jí)決策過(guò)程來(lái)說(shuō)，最優(yōu)性原理保證了全過(guò)程性能指標(biāo)最小，并不保證每一級(jí)性能指標(biāo)最小。但是在每考慮一級(jí)時(shí)，都不是孤立地只把這一級(jí)的性能指標(biāo)最小的決策作為最優(yōu)決策，而總是把這一級(jí)放到全過(guò)程中間去考慮，取全過(guò)程的性能指標(biāo)最優(yōu)的決策作為最優(yōu)決策。2、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法給出的是最優(yōu)控制的充分條件，不是必要條件。這和極小值原理是不同的。由，解得)0(211)2(*xcx+=4.4用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題非線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程為（69）初始條件（70）性能指標(biāo)（71）要尋求最優(yōu)控制，在滿足狀態(tài)方程（69）的條件下，使J

取極小值（72）滿足條件（73）求解時(shí)，用到連續(xù)系統(tǒng)的最優(yōu)性原理。如果對(duì)于初始時(shí)刻和初始狀態(tài)來(lái)說(shuō)，和是系統(tǒng)的最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線。那么，對(duì)于和狀態(tài)，它們?nèi)允撬芯康南到y(tǒng)往后的最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線。假定是存在的且是連續(xù)的并且有連續(xù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，由最優(yōu)性原理可以寫(xiě)出（74）用類似4.2中的處理方法，令（75）則（74）式可以寫(xiě)成（76）由于對(duì)于、是連續(xù)可微的，故式（76）右邊第二項(xiàng)可以展開(kāi)成臺(tái)勞級(jí)數(shù)，取一階近似（77）而由中值定理，（76）式右邊第一項(xiàng)可以寫(xiě)成（78）其中，是介于0和1之間的某一常數(shù)。將（77）、（78）式代入（76）式（79）（80）對(duì)（79）式簡(jiǎn)化，并且令（80）式稱為哈密頓－貝爾曼方程，是用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解最優(yōu)控制問(wèn)題的基本方程。顯然有（81）方程（80）的邊界條件（82）如果性能指標(biāo)泛函中無(wú)末值項(xiàng)，則（83）注意：哈密頓－貝爾曼方程是求解最優(yōu)控制問(wèn)題的充分條件，不是必要條件。用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題的步驟：（84）的解1）求滿足在求解方程（84）時(shí)，若不受限制，則在引入哈密頓時(shí)，有如果受限，即，在確定時(shí)，只能用分析方法，使≤2）將代入（80）、（82）和（83）式，解出（85）3）將再代入（84）就得到最優(yōu)控制（86）4）將（85）式代入系統(tǒng)狀態(tài)方程可以求出最優(yōu)軌線。把代入（85）式得到最優(yōu)控制例6-5系統(tǒng)狀態(tài)方程為，性能指標(biāo)?！?尋求，在狀態(tài)方程約束下，J

取極小值。解

1）求用分析方法，可知2）將代入哈密頓－貝爾曼方程即可以分析出是正函數(shù)，則哈密頓－貝爾曼方程可寫(xiě)成由于與無(wú)關(guān)，上式為一元微分方程，其通解為其中，c

為積分常數(shù)，由邊界條件確定為c=0

3）將代入的表達(dá)式中本例中4）將代入狀態(tài)方程，可解得由此得最優(yōu)性能指標(biāo)5線性狀態(tài)調(diào)節(jié)器5.1引言線性系統(tǒng)以二次型為性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題，已經(jīng)在國(guó)內(nèi)、外的工程實(shí)踐中得到應(yīng)用。原因如下：1）被控對(duì)象是線性的，最優(yōu)控制問(wèn)題容易求得解析解。2）線性系統(tǒng)最優(yōu)控制的結(jié)果，可以在小信號(hào)條件下，應(yīng)用于非線性系統(tǒng)。3）最優(yōu)控制器是線性的，易于實(shí)現(xiàn)。4）線性、二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題除了得到最優(yōu)解外，還可以導(dǎo)出經(jīng)典控制理論的一些特性。5.2有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（87）（88）（89）尋找一個(gè)最優(yōu)控制，使為極小。其中，x

為n

維狀態(tài)向量；u

為r維控制向量，且u

不受限制。其中，F(xiàn)為對(duì)稱半正定常數(shù)陣；為對(duì)稱半正定時(shí)變陣。為對(duì)稱正定時(shí)變陣。求解這個(gè)最優(yōu)控制問(wèn)題，可以用極小值原理，也可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。這里用極小值原理來(lái)求解。1）哈密頓函數(shù)為（90）2）伴隨方程為（91）（92）3）控制方程為（93）故J

取極小值4）將代入狀態(tài)方程得（94）初始狀態(tài)為（95）將（90）式至（95）式聯(lián)立，即可即可求解這個(gè)最優(yōu)控制問(wèn)題。另外一種求解方式：設(shè)（96）其中，為待定的時(shí)變陣（97）（96）式對(duì)t

求導(dǎo)，并且將（94）式代入（91）式可改寫(xiě)成（98）比較（97）和（98），可以得到（99）（100）（99）式稱為Riccati微分方程。其邊界條件為得到（101）狀態(tài)反饋的閉環(huán)方程為（102）其中（103）兩點(diǎn)說(shuō)明：1）由于矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠痰慕鉃閷?duì)稱因此有個(gè)獨(dú)立的非線性標(biāo)量微分方程。2）最優(yōu)性能指標(biāo)為（104）（證明請(qǐng)見(jiàn)教材228頁(yè)）例6系統(tǒng)狀態(tài)方程為求最優(yōu)控制，使性能指標(biāo)取極小值。解矩陣的黎卡提方程為求解上面的微分方程，有其中即最優(yōu)控制為由最優(yōu)軌線為5.3無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器線性時(shí)變系統(tǒng)尋找一個(gè)最優(yōu)控制，使J取極小值（105）這里產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題：時(shí)，性能指標(biāo)是否收斂？例如尋找最優(yōu)控制，使J取極小值（106）根據(jù)分析，顯然當(dāng)時(shí)，J

取極小值。但是是不能控的狀態(tài)分量，而且是不穩(wěn)定的。導(dǎo)致結(jié)論：該問(wèn)題不存在有意義的解。如果線性時(shí)變系統(tǒng)（105）是能控的，無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題一定有解，并且可以通過(guò)有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器的解，取來(lái)獲得。其結(jié)果為最優(yōu)控制（107）（108）（109）最優(yōu)性能指標(biāo)（110）可見(jiàn)，無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器與有限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器類似，均可以用狀態(tài)負(fù)反饋構(gòu)成狀態(tài)閉環(huán)控制。但是反饋增益矩陣是時(shí)變的，給工程實(shí)踐帶來(lái)不便?？柭芯苛司仃?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠探獾母鞣N性質(zhì)，得出以下結(jié)果：線性定常系統(tǒng)（111）（112）（113）最優(yōu)控制為（114）（115）常數(shù)陣滿足如下黎卡提矩陣代數(shù)方程（114）式代入（111）式，得（116）最優(yōu)軌線可以由（116）式和（114）式求出。最優(yōu)性能指標(biāo)（117）當(dāng)這個(gè)無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器滿足以下條件時(shí)，狀態(tài)反饋增益矩陣才為常數(shù)矩陣：1）系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)；2）系統(tǒng)為能控；3）末值時(shí)刻；4）J中不含末值項(xiàng)，即F=0；5）Q

，R

為正定陣。例

7線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為≥0求最優(yōu)控制，使

J取極小值。解檢驗(yàn)系統(tǒng)能控性