數(shù)學(xué)物理方程二階常微分方程

二階常微分方程常用齊次定解問題數(shù)學(xué)物理中的對稱性特殊函數(shù)常微分方程常微分方程的級(jí)數(shù)解法斯圖姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問題本章小結(jié)常用齊次定解問題常用齊次定解問題的要素常用齊次定解問題的分類拉普拉斯算符的形式拉普拉斯算符形式的推導(dǎo)常用齊次定解問題的分類直角坐標(biāo)極坐標(biāo)球坐標(biāo)穩(wěn)定方程演化方程√√√

！

！×拉普拉斯算符的形式二維三維直角坐標(biāo)極柱坐標(biāo)球坐標(biāo)極坐標(biāo)下拉普拉斯算符形式的推導(dǎo)極坐標(biāo)下的形式直角坐標(biāo)下的形式坐標(biāo)變換關(guān)系微分變換關(guān)系極坐標(biāo)下拉普拉斯算符形式的推導(dǎo)由(1)得由此解出極坐標(biāo)下拉普拉斯算符形式的推導(dǎo)得算子再微分一次，并利用上式算子，得極坐標(biāo)下拉普拉斯算符形式的推導(dǎo)(2)由得(A)數(shù)學(xué)物理中的對稱性對稱性的概念定義：對稱性就是在某種變換下的不變性分類對稱性的描述對稱性原理當(dāng)定解問題的泛定方程和定解條件都具有某種對稱性時(shí)，它的解也具有同樣的對稱性。對稱性的應(yīng)用對稱性的分類對稱性的描述對稱性名稱對稱條件對稱函數(shù)沿z軸反演對稱沿z軸平移對稱繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)對稱繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)對稱特殊函數(shù)常微分方程球坐標(biāo)下拉普拉斯方程的分離變量一般情況歐拉方程，球函數(shù)方程，連帶勒讓德方程軸對稱情況勒讓德方程極坐標(biāo)下熱傳導(dǎo)方程的分離變量一般情況亥姆霍茲方程，貝塞爾方程軸對稱情況特殊函數(shù)

特殊函數(shù)一般是指某類微分方程的解又不能用初等函數(shù)的有限形式表示的函數(shù).但是這類函數(shù)在應(yīng)用中是常見的,比如勒讓德函數(shù),貝塞耳函數(shù)及許多正交多項(xiàng)式等;另外一些是由特定形式的積分所定義的函數(shù),如-函數(shù),B-函數(shù).還有從函數(shù)的周期性的角度來考慮的所謂橢圓函數(shù),這類函數(shù)與微分方程無關(guān).本章除了介紹這些函數(shù)的概念外,還給出關(guān)于函數(shù)的一些積分、級(jí)數(shù)和無窮乘積等表達(dá)式、漸近形式、函數(shù)之間的關(guān)系以及它們的常用性質(zhì).

特殊函數(shù)范例引用如下符號(hào)---伽馬函數(shù)式中為正整數(shù)，為任意數(shù).

3.1由積分定義的特殊函數(shù)

3特殊函數(shù)3o

4o

式中稱為歐拉常數(shù)。

3.1由積分定義的特殊函數(shù)

3特殊函數(shù)-函數(shù)有關(guān)公式

為正整數(shù)特別（余元公式）特別

3.1由積分定義的特殊函數(shù)

3特殊函數(shù)1由積分定義的特殊函數(shù)

特殊函數(shù)3o

4o

式中稱為歐拉常數(shù)。

由積分定義的特殊函數(shù)

特殊函數(shù)-函數(shù)有關(guān)公式

為正整數(shù)特別（余元公式）特別

球坐標(biāo)下拉普拉斯方程球坐標(biāo)下拉普拉斯方程極坐標(biāo)下熱傳導(dǎo)方程常微分方程的級(jí)數(shù)解法常微分方程中點(diǎn)的分類各點(diǎn)鄰域級(jí)數(shù)解的形式勒讓德方程的級(jí)數(shù)解貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解常微分方程中點(diǎn)的分類二階變系數(shù)常微分方程的一般形式w”+p(z)w’+q(z)w=0方程中點(diǎn)的分類常點(diǎn)：z0

是p(z)和q(z)的解析點(diǎn)正則奇點(diǎn)：z0

是(z-z0)p和(z-z0)2q的解析點(diǎn)非正則奇點(diǎn)：其它情況各點(diǎn)鄰域級(jí)數(shù)解的形式非正則奇點(diǎn)z0鄰域有一解為常點(diǎn)z0鄰域兩解均為正則奇點(diǎn)z0鄰域有一解為其中s由判定方程確定a0≠0貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解ak<0=0貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解性質(zhì)：奇偶性：m為奇偶整數(shù)時(shí)，Jm和Nm為奇偶函數(shù)；收斂性：特解的收斂半徑為∞；有界性：在x→0，m≥0時(shí),Jm有界，Nm發(fā)散。斯圖姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問題本征值問題本征值：使帶邊界條件的常微分方程有非零解的參數(shù)值本征函數(shù)：相應(yīng)的非零解本征值問題：求本征值和本征函數(shù)的問題斯特姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問題斯特姆—?jiǎng)⒕S爾型方程斯特姆—?jiǎng)⒕S爾型邊界條件斯特姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問題的性質(zhì)可數(shù)性：存在可數(shù)無限多個(gè)本征值；非負(fù)性：所有本征值均為非負(fù)數(shù)；正交性：對應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)帶權(quán)正交；完備性：滿足邊界條件的光滑函數(shù)可以按本征函數(shù)展開。斯特姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問題斯特姆—?jiǎng)⒕S爾型方程其中k(x)、q(x)和ρ(x)都非負(fù)；k(x)、k’(x)和q(x)連續(xù)或以端點(diǎn)為一階極點(diǎn)。斯特姆—?jiǎng)⒕S爾型邊界條件三類齊次邊界條件周期性邊界條件有界性邊界條件斯特姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問題abkqρ

本征值問題0L1010L101-111-x2010bxm2/xx本征函數(shù)集合的正交性和完備性正交性完備性展