第十三節(jié)定積分的概念與微積分基本定理、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.定積分(1)定積分的定義及相關(guān)概念一般地，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x0<x1<…＜xi－1<xi<…＜xn＝b，將區(qū)間［a，b］等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間［xi－1，xi］上任取一點(diǎn)ξi(i＝1,2,…,n)，作和式f(ξi)Δx＝f(ξi),當(dāng)n→∞時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上的定積分，記作f(x)dx.在f(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間_________叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做_________，_______叫做被積式．［a，b］積分變量f(x)dx(2)定積分的性質(zhì)①kf(x)dx＝__________(k為常數(shù))．②［f1(x)±f2(x)］dx＝___________________.③___________＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)．2.微積分基本定理一般地，如果f(x)是區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝___________，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫牛頓-萊布尼茨公式．F(b)－F(a)3.定積分的應(yīng)用(1)定積分與曲邊梯形的面積定積分的概念是從曲邊梯形的面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積．這要結(jié)合具體圖形來(lái)定：設(shè)陰影部分的面積為S.①S＝f(x)dx；②S＝___________；③S＝___________________；④S＝(2)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間［a，b］上的定積分，即s＝________.判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，則f(x)dx＝

f(t)dt.()(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a，b］上連續(xù)且恒正，則

f(x)dx＞0.(

)(3)若f(x)dx＜0，那么由y=f(x)，x=a，x=b以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方.()(4)若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)dx＝f(x)dx.()(5)若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)dx＝0.()【解析】(1)正確.定積分與被積函數(shù)、積分上限和積分下限有關(guān)，與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān).(2)正確.根據(jù)定積分的幾何意義知，該說(shuō)法正確.(3)錯(cuò)誤.也有可能是在x軸上方部分的面積小于在x軸下方部分的面積.(4)正確.當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故

f(x)dx與f(x)dx相等，故f(x)dx＝2f(x)dx.(5)正確.當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故

f(x)dx與-f(x)dx相等，故f(x)dx＝

f(x)dx＋f(x)dx＝0.答案:(1)√

(2)√

(3)×

(4)√

(5)√1．已知f(x)為偶函數(shù)且f(x)dx＝4，則f(x)dx等于()(A)0(B)4(C)8(D)16【解析】選C.原式＝f(x)dx＋f(x)dx，∵f(x)為偶函數(shù)，∴其在y軸兩側(cè)的圖象對(duì)稱(chēng)，∴對(duì)應(yīng)的面積相等，則f(x)dx=4×2＝8.2．一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)速度與時(shí)間的關(guān)系為v(t)＝t2－t＋2，質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，則此質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間［1,2］內(nèi)的位移為()【解析】選A.s＝3.設(shè)f(x)＝則f(x)dx等于()【解析】選D.∵4．由直線x＝－，x＝

，y＝0與曲線y＝cosx所圍成的封閉圖形的面積為()【解析】選D.結(jié)合函數(shù)圖象可得所求的面積是定積分5.已知t>1，若(2x＋1)dx＝t2，則t＝______.【解析】

(2x＋1)dx＝(x2＋x)|＝t2＋t－2，從而得方程t2＋t－2＝t2，解得t＝2.答案：2考向1定積分的計(jì)算【典例1】(1)(2012·江西高考)計(jì)算定積分(x2+sinx)dx=_______.(2)(2013·莆田模擬)=___________.(3)f(x)＝則f(x)dx為_(kāi)_____.【思路點(diǎn)撥】(1)利用微積分基本定理求得定積分的值.(2)因?yàn)?|sinx-cosx|，故應(yīng)去掉絕對(duì)值后再解.(3)先判斷出f(x)＝表示的幾何意義，再利用定積分的幾何意義求解.【規(guī)范解答】(1)(x2+sinx)dx=(x3-cosx)答案：(2)|sinx-cos

x|dx(cosx-sinx)dx+(sinx-cos

x)dx=(sinx+cosx)-(cosx+sinx)=-1-(1-)=2-2.答案：2-2(3)由y＝表示以(1，0)為圓心，2為半徑的圓在x軸上方的部分，是圓面積的

·π·22＝π.答案：π【互動(dòng)探究】在本例題(3)中條件不變，求f(x)dx的值.【解析】由本例題(3)的解答過(guò)程知，f(x)dx表示以(1，0)為圓心，2為半徑的圓在x軸上方的部分的面積，故f(x)dx＝·π·22＝2π.【拓展提升】計(jì)算定積分的步驟(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差.(2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分.(3)分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù).(4)利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值.(5)計(jì)算原始定積分的值.【變式備選】求下列定積分．(1)(cosx＋ex)dx.(2)|3－2x|dx.(3)(3x3＋4sinx)dx.【解析】(1)(cosx＋ex)dx＝cosxdx＋exdx＝sinx|＋ex|＝1－(2)∵|3－2x|＝(3)(3x3＋4sinx)dx表示直線x＝－5，x＝5，y＝0和曲線y=f(x)＝3x3＋4sinx所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，且在x軸上方的面積取正號(hào)，在x軸下方的面積取負(fù)號(hào).又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sinx)＝－f(x).所以f(x)＝3x3＋4sinx在［－5,5］上是奇函數(shù)，所以(3x3＋4sinx)dx＝－(3x3＋4sinx)dx，所以(3x3＋4sinx)dx＝(3x3＋4sinx)dx＋(3x3＋4sinx)dx＝0.考向2平面圖形的面積問(wèn)題【典例2】(1)(2012·山東高考)設(shè)a＞0,若曲線y=與直線x＝a，y=0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a=______.(2)拋物線y2＝2x與直線y＝4－x所圍成的平面圖形的面積為_(kāi)______.【思路點(diǎn)撥】(1)作出圖象,利用定積分求解即可.(2)畫(huà)出草圖，設(shè)法把所求圖形的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問(wèn)題.可以從把x當(dāng)積分變量與把y當(dāng)積分變量?jī)蓚€(gè)角度求解.【規(guī)范解答】(1)求曲線y=與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積，解得a=.答案:

(2)方法一：如圖，由得交點(diǎn)A(2,2)，B(8，－4)，答案：18【互動(dòng)探究】在本例題(1)中，將“直線x=a,y=0”改為“直線y=x-2，y軸”，其他條件不變，則a的值為_(kāi)_____.【解析】y=與y=x-2以及y軸所圍成的圖形如圖所示的陰影部分，聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)，故所求面積為S=即a2=，解得a=.答案：【拓展提升】利用定積分求平面圖形面積的四個(gè)步驟(1)畫(huà)出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出曲線或直線的大致圖象.(2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限.(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和.(4)計(jì)算定積分，寫(xiě)出答案.【提醒】利用定積分求平面圖形的面積，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)，當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分情況討論.【變式備選】(1)曲線y＝sinx(0≤x≤π)與直線y＝圍成的封閉圖形的面積是()【解析】選D.由sinx＝與0≤x≤π得x＝或，所以曲線y＝sinx(0≤x≤π)與直線y＝

圍成的封閉圖形的面積是S＝(2)函數(shù)f(x)＝的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)______.【解析】根據(jù)定積分的幾何意義結(jié)合圖形可得所求的封閉圖形的面積為答案：考向3定積分在物理中的應(yīng)用【典例3】(1)一輛汽車(chē)的速度-時(shí)間曲線如圖所示，則該汽車(chē)在這一分鐘內(nèi)行駛的路程為_(kāi)___米．(2)(2013·福州模擬)一物體按規(guī)律x＝bt3做直線運(yùn)動(dòng)，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方(比例系數(shù)為k,k＞0)．則物體由x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝a時(shí)，阻力所做的功為_(kāi)______.【思路點(diǎn)撥】(1)先求出v與t的函數(shù)關(guān)系式，再求v關(guān)于t的積分.(2)先求出物體的速度及媒質(zhì)阻力Fzu，再由∫Fzudx可得阻力所做的功.【規(guī)范解答】(1)根據(jù)題意，v與t的函數(shù)關(guān)系式如下：所以該汽車(chē)在這一分鐘內(nèi)所行駛的路程為=900(米).答案：900(2)物體的速度v==(bt3)′=3bt2.媒質(zhì)阻力Fzu=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4.當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)x=a時(shí)，t=t1=又dx=vdt，故阻力所做的功為：答案：【拓展提升】定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用(1)求變速直線運(yùn)動(dòng)的位移：如果變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為v=v(t)，那么從時(shí)刻t=a到t=b所經(jīng)過(guò)的路程s=(2)變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從x=a移動(dòng)到x=b時(shí)，力F(x)所做的功是W=【變式訓(xùn)練】一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t＝0(s)開(kāi)始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)運(yùn)動(dòng)．求：(1)在t＝4s的位置.(2)在t＝4s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程．【解析】(1)在時(shí)刻t＝4時(shí)該點(diǎn)的位置為即在t＝4s時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)

m.(2)因?yàn)関(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在區(qū)間［0,1］及［3,4］上的v(t)≥0，在區(qū)間［1,3］上，v(t)≤0，所以t＝4s時(shí)的路程為即質(zhì)點(diǎn)在4s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為4m.【易錯(cuò)誤區(qū)】求封閉圖形面積時(shí)被積函數(shù)不正確致誤【典例】(2013·揭陽(yáng)模擬)曲線y＝x2，直線y＝x，y＝3x圍成的圖形的面積是______.【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩方面：(1)不能正確畫(huà)出草圖，準(zhǔn)確分割圖形,通過(guò)分段積分求面積.(2)搞不清被積函數(shù)是兩函數(shù)相加還是相減.【規(guī)范解答】作出曲線y＝x2，直線y＝x，y＝3x的圖象，所求面積為下圖中陰影部分的面積．解方程組得交點(diǎn)(1,1)，(0,0)．解方程組得交點(diǎn)(3,9)，(0,0)，因此，所求圖形的面積為

答案：【思考點(diǎn)評(píng)】定積分求平面圖形面積關(guān)注點(diǎn)1.利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，應(yīng)畫(huà)出草圖，因此，應(yīng)熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象，特別是不同的冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象.另外，當(dāng)某一邊界是不同的函數(shù)的圖象時(shí)，還要能夠正確分割圖形確定積分上、下限，分段求面積.2.被積函數(shù)實(shí)際上就是曲邊梯形上邊界的函數(shù)減去下邊界的函數(shù).1.(2013·湖南五市十校聯(lián)考)等于()(A)e+1(B)(C)(D)【解析】選B.2.(2013·天津模擬)由曲線y=x2,y=x3圍成的封閉圖形面積為()【解析】選A.由題意得:曲線y=x2,y=x3的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，(1,1)，故所求封閉圖形的面積為故選A.3.(2012·湖北高考)已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為()【解析】選B.由圖象可知二次函數(shù)的表達(dá)式為f(x)=1-x2,∴S=4.(2013·大連模擬)如圖，由兩條曲線y＝－x2，y＝－x2及直線y＝－1所圍成的圖形的面積為_(kāi)_____.【解析】由得交點(diǎn)A(－