理的。內(nèi)容涵蓋考研的考點、復(fù)習(xí)重點、難點。結(jié)構(gòu)明了、脈絡(luò)清晰，并針對不同考點點、點做不顏色字體標注以便習(xí)可以速投、效提。學(xué)、最高效、最自由的學(xué)臺：把青春托付給值得信任的平臺祝：復(fù)習(xí)愉快，天天高效，考研成功PS:講義中的不足之處，歡迎各位研研批評指正，竭盡所能追求更好第一章行列 行列式的概念及性 特殊形式的行列式計 行列式按行（列）展 行列式.......................................................................................................................法 第二章矩陣及其運 矩 矩陣的運 逆矩 矩陣的初等變 矩陣的 伴隨矩 分塊矩 n維向量的概念及其運 線性組合與線性表 向量組的線性相關(guān)與線性無 向量組的秩與矩陣的 規(guī)范正交基與Sidt正交 第四章線性方程 線性方程組的表示形式和解向 方程組解的判 基礎(chǔ)解系的概念及其求 線性方程組解的結(jié) 公共解與同 第五章矩陣的特征值與特征向 矩陣的特征值與特征向 相似矩陣的概念與性 矩陣的相似對角 實對稱矩 第六章二次 二次型及其標準 二次型的慣性定理及規(guī)范 合同矩 正定二次型與正定矩 行列式的概念及性質(zhì)排列與逆序所謂排n個數(shù)1,2n所構(gòu)成的一個有序數(shù)組，通常用j1j2jn表示n階排列n!個不同的n級排列。逆序與逆序奇排列與偶排逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列則稱為偶排列逆序數(shù)的計算方以32415為例，從第一個數(shù)依次查起，分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)序數(shù).對將一個排列中的某兩個數(shù)的位置互換而其余的數(shù)不動，這一變換即為一次對排列的性對排列進行一次對換將改變其奇偶性在全體n級排列(n>1)中，奇排列和偶排列各占一半，各 個2n級排列都可以經(jīng)過一系列對換互換得到1,2n，并且所作的對換的2.n階行列式D

是所有取各自不不同列的n個元素的乘a1ja2j j1j2jn是1,2nj1j2jn是偶排列時，上式帶有正號；當j1j2jn是奇排列時，上式帶有負號，也就是可寫成

(1)(jjj)aa

j1j2

1 1

2

x12x0x45x21x002x12x0x45x21x002

表示對所有n級排列求和。行列式D通常例題：f(x)

，則fxx3的系根據(jù)行列式的定義，不 不同列的4個元素的乘積為x3當且僅當

11而該項在行下標順排時，列的下標的逆序數(shù)為(1,3,2,4)1，則該項(1)(1,3,2,4)aaa

112332故x3的系數(shù)為-23.行列式的性質(zhì)行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等， DDTD

an

，則其轉(zhuǎn)置行

an 1j12

j11j2 D (1)(j1j2jn)a j1j2

j1j2

(1)(j1j2jn)a 任意對換行列式的兩行（或兩列）元素，其值變號。注：行列式中有兩行（或兩列）元素對應(yīng)相同，則此行列式為行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)kk乘此行列式。 an

.k ain an 注：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以得到行列式幾號的外面行列式中如果兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。即

b1 b2 bncn

an an an 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對應(yīng)的元素上去，行列式不變。即aiaia

aan

a

kai1a

kai2a

kaina 特殊形式的行列式計算一般n階下三角行列式的計算 0 aa an 類似地，上三角行列式的值也成立同樣的結(jié)論

11 0

aa

11 關(guān)于副對角線，計

n(n1)a D

(1)

1n

a2,n(1)a 1n2,n n

1 a2,n (1)a 1n2,n 1 .其中為排 n(n1)21的逆序數(shù)，012n1n(n1)2對角行列式

D

00 . .

1 D

0(1)n(n1)22兩種特殊的展開Am階矩陣，Bn階矩A*

0

0*AB

1 A

A(1)mnA0 【例1（1992）設(shè)A為m階方陣，B為n階方陣，且|A|a,|B|b,C ，則|C 00000000000000a1a2a3a4a1a2a3a40ab0a00b0cd0c00d0ab0a00b0cd0c00d【例3（2014）4階行列 n(n≥2)階 德（Vandermonde）行列 n D (xixn

n≥i其中記號“”表示全體同類因子的乘積。即n階范 數(shù)的所有可能的差xixj(1≤ji≤n).的乘積.易見， 德行列式為零的充要條件是x1,x2,,xn這n個數(shù)中至少有兩個相等【例4】計算

a 【例5】計算行列

42 推abbabbbbbba b[a(n1)b](abbb 1 1

1 111【例6（1997）n階矩陣A

11 11 10 10 則A 行列式按行（列）展開代數(shù)在行列 a1 ai1,jai1,jaiaiai1,jai1,jai an,jan,j Mij稱為元素aij 式，Aij(1)ij稱為元素aij的代 式注：只改變aij所在行或者列中的值，并不影響其代 式Aij，并且有關(guān)

M ij

當ij為偶數(shù)時當ij7

A 6A21 行列式按行（或列）展開行列式等于它的任一行（或列）的各個元素與其對應(yīng)的代數(shù)式乘積之和，D或

aian

ai1Ai1ai2Ai2ainAini1,2,, a1 a1 a2 a

a2

A2

j1,2,,行列式中的某一行（或列）各個元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)式乘積之和ai1Aj1ai2Aj2ainAjn0,ij或a1iA1ja2iA2janiAnj0,ij證明Ddet(aijj aj1Aj1aj2Aj2ajnAjn

a a1n aj1Aj1aj2Aj2ajnAjn ajn an1 ann在上式中把ajkaik(k1,n

第iai1Aj1ai2Aj2ainAjn

第j a11 ai1Aj1ai2Aj2ainAjn

ain ain 當i 時，上式右端行列式中有兩行對應(yīng)元素相同，故行列式為零，即ai1Aj1ai2Aj2ainAjn (i上述證法如按列進行，可a1iA1ja2iA2janiAnj (i304022220030402222000532①求第4行各元素代數(shù)式之和②求第4行各元素式之和行列式 |kA|kn|A|AB||A||B|AT||A|A*||Ann若A的特征值為1,, iAB相似，則|A||B|【例9（2010）設(shè)A,B為3階方陣，且A3,B2,A1B2,則AB1 【例10】設(shè)A,B為n階方陣，且A2,B3，則A1B*A*B1 法則如果線性方程

a11x1a12x2a1nxna21x1a22x2a2n

的系數(shù)行列式不等于零，

那么，方程組有唯一

D

an

a2n xDjDj

a1 a2

a1 a2

注如果線性方程組的系數(shù)行列式D0如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零若齊次方程a11x1a12x2a1nxna21x1a22x2a2nxn

1 2 a n 2【例11】解方程組Axb，其中AT a2,b，且a,a,a n 2 an1 n不相同矩矩陣及其相關(guān)概念矩m×n個數(shù)aij（i1,2,…m，j1,2,…nmn a1n a 2n mn稱為m行n列矩陣，簡稱為mn矩陣，簡記為A，也記為Amn或(aij)mn。若m=n，則稱A是n階矩陣或n階方陣。當mn1時，即Aa11，此時矩陣 為一個數(shù)a11。當矩陣元素 全為實數(shù)時，此矩陣稱為實矩陣只有一行的矩陣A a2an)稱為行矩陣，又稱行向量；同理，只有一列的陣稱為列矩陣，又稱列向量 矩陣Aaij Bbij如果m=s，n=t則稱A與 所有元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記做ＯA{aij}mn和Bbij}mnaijbij i1,m;j1,n,ABA方陣的行列

an AA注：矩陣的行列式與矩陣是兩個不同的概念，前者是一個數(shù)，后者是一個數(shù)特殊矩陣主對角線上元素全為1，其余元素均為0的n階方陣，稱為n階單位矩陣，記作Ｅ E a1n am1 a 設(shè)A 2n， m2是將A的行和列對應(yīng)互換得 mn mnnm矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT如果ATA，即a (i,j)，則A是對稱矩 稱矩如果ATA，即a (i,j)，則A是稱矩陣 注：若A、B是同階的（反）對稱矩陣，則AB,AB,A也是（反）對稱矩陣，但不一定是（反）對稱矩陣設(shè)A{aij}是n階方陣，由行列式|A|中的每個元素aij的代數(shù)式Aij所構(gòu)成的矩 A11

AA* n2 nn稱之為矩陣A的伴隨矩陣。記為A注意：伴隨矩陣A*在位置(i,j)上的元素是矩陣A在位置(j,i)上的代數(shù)式Anaij0(ij)，則稱其為對角矩陣，記為注：同階的對角矩陣的和、差、積仍是對角矩陣An階矩陣，若存在矩陣B，使AB=BA=E則稱A是可逆矩陣，并稱矩陣B是A的逆矩陣；A的逆矩陣唯一，記作A1AnAATATAE,A矩陣的運算矩陣的加法定設(shè)A{aij}和B{bij}是mn的矩陣，AB的加法（或稱和AB

a11 a12 a1nb1na bC{c}A+B 2n mn注：只有當兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進行加法運加法的運算法ABB(AB)CA(B設(shè)矩陣Aaij}，記AaijA稱為矩陣A的負矩陣，顯然AA)由此規(guī)定矩陣的減法ABAa11 a12 a1nb1na bABAB

2n矩陣數(shù)乘定

mn數(shù)與矩陣A{aij}mn的乘積（稱之為數(shù)乘，記作 或A，規(guī)定 a 2nijm ij mn（iii）(AB)A矩陣與矩陣相乘定A{aijms矩陣，B{bijsnA與矩陣B的乘積為一mn的矩陣C{cij}mn，其中sscijai1b1jai2b2jaisbsjaikk(i1,2,,m;j1,2,,n)并把此乘積記

C注：（i）只有在左矩陣A的列數(shù)和右矩陣B的行數(shù)相等時，才能定義乘法矩陣C=AB的行數(shù)是A的行數(shù)，列數(shù)則是BC=AB在ijAiBj列對應(yīng)元素的設(shè)An階矩陣，定義A2AA Ak1A(Ak)A1AkA0E.

AklAkAl，(Ak)l稱A與B是可交換的；(AB)2A2ABBAB2A22ABB2；(AB)2(AB)(AB)A2B2AB)kAkBk（k為自然數(shù)AB)ABA2B上述關(guān)系當且僅當矩陣A與B可交換才成立ABO不是一定有AOBOAOAXYOXYAOBOABO(AB)CA(BC(AB(A)BAB（其中為數(shù)A(BC)ABAC，(BC)ABA重要

sin

sinsincossin矩陣轉(zhuǎn)置的運算規(guī)(AT)TA

(AB)TATBT(A)TAT是常數(shù)(AB)TBT(AT)T例題Xxx,x)TXTX1，En階單位陣，HE2XXT HHHTE證明過程如下所以H是對稱陣

HT(E2XXT)TET2(XXTE2XXTHHTH2(E2XXTE24XXT4(XXT)(XXTE4XXT4X(XTX)XE4XXT4XXT方陣的行列式的運算規(guī)律AT

1,,2

ABA共軛矩陣的運算規(guī)律ABAAB逆矩陣逆矩陣的定義An階矩陣，若存在矩陣B，使AB=BA=E則稱A是可逆矩陣，并稱矩陣B是A的逆矩陣；A的逆矩陣唯一，記作A1逆矩陣的相關(guān)定理AA0逆矩陣的運算規(guī)律AA1亦可逆，并且A1)1AA可逆，0A亦可逆，并且(A)11A1|A1

o|AAAA)1A-1A-11 A可逆，則AT亦可逆，且AT)1A1)T若A可逆，則|A1 |A

，An1A1（因為|A||A1||AA1||E|1【例2（2001）設(shè)n階矩陣A滿足A2A4E0，則(AE)1 矩陣可逆的充要條件nA可逆nB Ar(A)A的列（行）Ax=0A證明：nAAAA1AA1E|AA1||A||A1||E|1，故|A|0。|A|0，由伴隨矩陣得AA*A*A|A|E|A|0A(|A

A*)(|A

A*)AE，即A可逆，且A1 A|A逆矩陣的求法ABBAEA1伴隨矩陣初等變換行(AE)（E分塊矩陣 O BO C1, O O 【例3】設(shè)A 1，求A1 【詳解

02231001001123100010001 r3r2 2r r 525r3 2r(2)

5r3(1)

2 1 矩陣的初等變換矩陣的初等變換下面三種變換稱為矩陣的初等變互換矩陣中兩行（列）元素（記ri 或cicj（矩陣的某一行（列k倍加到另一行（列對應(yīng)元素上（記rikrj或cikcj；行階梯形矩陣與行最簡形矩陣3 3

4B

9

0矩陣B5稱為行階梯形矩陣，具有以下特點零行（即元素全為零的行）各非零行左起第一個非零元素的列指標由上至下是嚴格增大的矩陣B5也稱為行最簡形矩陣，具有以下特點每個非零行左數(shù)第一個非零元是1，并且它所在列的其它元素都是0初等矩陣的概念定單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣。(i)．對調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列得初等矩 第i E(i,j)

第j 1 1 以k≠0乘單位陣的第i行（或第i列）得初等矩 E(i(k))

第i行,其中k0 E(ij(k))

kc) 1

第i 第j 初等矩陣的性

性質(zhì) 初等矩陣都是可逆矩陣，且其逆陣也是同類初等矩陣E-1(i,j)E(i,j)；E-1(i(k))

k

；E-1(rkr)E(rkr 性質(zhì) 初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍是同類初等矩陣ET(i,j)E(i,j)；ET(i(k))E(i(k))；ET(rkr)E(rkr Er1r2P

若A 3，可以看出PA是A交換兩行得到的

000011,3EP111,

10A

00 0 PP PP2矩陣等價定矩陣A經(jīng)過有限次初等變換成矩陣A與BABA

0 矩陣間等價的性A~B，則若A~B，B~C，則A~CA A,BPQPAQ=Er 矩陣的秩秩的定義非零子式的最 k 1 1 1 【例5（2001）設(shè)矩陣A ，r(A)3，則k 1 秩的性質(zhì)Amn階矩陣，則r(A)minmnr(AB)r(A)r(B)r(AB)minr(A),r(B)r(kA)r(A)r(A)r(AC)r(A)r(AT)r(ATA)r(AAT)Amn階矩陣，BnsABO，則r(Ar(Bnr(A)m,r(B)r(A)m,r(B)r(A)n,r(B)r(A)n,r(B)伴隨矩陣伴隨矩陣定義

A設(shè)A是n階矩陣，則A* n2AAA伴隨矩陣的性質(zhì)

nnAn階方陣，A*AAA*A*A|A|

A*|A|n1;n （3）A**（4）A*TAT*n若rA（5）rA*若rAn0,若rA)n（6）A可逆，則A*11AA*1A1*A*A（7）(kA)*（8）(AB)*B*分塊矩陣定矩陣分塊是將矩陣用任意的橫線和縱線切開，例 a14A a 24a31 a34 a a，（i）A a；令A(yù) 12，A ，

a 24 a a a 22 24 34oA a，則A Ao A 22 a14 a a，（ii）Aa a；令A(yù) 11，A ， 24 a a a 21 23 34Aa14Aa aAa a 24則A A 23

a14 a12（iii）A aAaAa 34 34

22

a A

關(guān)于分塊矩陣的運算法則A1A2 B2

A1 A2B2 A B A AB 4 4 4 D W A Y D W BT(iii)DT D On OO

Cn O BO C1,C O

A 【例7（2009）設(shè)A，B均為2階矩陣，A2,B3，則 n維向量的概念及其運算1.n維向量的由n（實a1,a2,,an組成的有序數(shù)組，稱n（實向量（用希臘字母α,β,來表示，記作αa1a2,an)，其中第iai稱為向量α的（i個）分量。a1aα2an陣和1n矩陣。利用轉(zhuǎn)置，當是一個列向量時，T就表示一個行向量，反之也然。所有分量都為零的向量。一般記作02.n維向量的設(shè)αaa,a)Tβbb,b 負向量：稱向量aa,a)T為向量 γαβabab,ab)T為向量和向量 向量減法γαβα(β(a1b1a2b2anb)T為和(的加法n數(shù)乘向量：設(shè)k是一個數(shù)。稱向量kααk(ka,ka,,ka 為向量和數(shù)k數(shù)乘向量αβa1b1a2b2

αTββT向量相等：兩向量大小相等，方向相同稱為兩向量相題。特別的，若α,β0，則稱αβ正交 長度定義：||α 2(αβαTββTαa1bab 2

o0AnAATEA1ATATAE|A|【例1】設(shè)A，B均為n階正交矩陣，|A||B|0，則|AB 線性組合與線性表出線性組合向量組的概若干個數(shù)的列向量（或數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組設(shè)有向量組A：1、2、m 向量，k1、k2、…、km是一組實數(shù)，稱k11k22kmmAA有無窮種組線性表出設(shè)有向量組A：1、2、m和向量是 得λ11λ22λmm，則稱向量可以由向量組A線性表出，或者說是向量組等價向量組等價定義如果向量組（I）2m中每個向量都可由向量組（II）1,2,,m線性表出，則稱向量組（I可由向量組（II線性表出，如兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組等價。等價向量組具有傳遞性、對稱性以及反身性但向量的個數(shù)可以不一樣，線性相關(guān)性也可以不一樣。向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價任一向量組和他的極大無關(guān)組等價兩個等價的線性無關(guān)的向量組所含向量的個數(shù)相同等價的向量組具有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價rr線性表示充要條件非零列向量可由1,2,,s線性x1非齊次方程(,,,) x2有解r(,,,)r(,,,, s x xs線性表示充分條件線性無關(guān)，線性表示求法

系數(shù)【例2（2011）將向量組(1,1,1)T，(123)T，(34,5)T由向 【詳解 ,,)0101113

3013124 001 02 10 501 10001102 得,,,,

2 1 5 3 2 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組的線性相關(guān)線性相關(guān)定義：對于m維向量組A：1、、，若存在不全為零的數(shù)k1、k、 ，使 若k11k22kss0，則k1k2ks全為零，稱1,2,,s線性無關(guān)線性相關(guān)性的判定m向量組、、線性相關(guān)m（i）齊次方程組(,,,)

x1 mxma11 a12 a1m 21 n1 n2 nm11 12 1makak11 12 1makakak21 22 2m an1k1an2k2anmkm因而有，向量組A：1、2、m線性相關(guān)的充要條件是齊次線性方程（**）有非零解向量組的秩r1,2,,mm（向量組的個數(shù)存在某i（i=1,2，...,s）可由其余s1個向量線性表出證明充分性：設(shè)向量組A、2、m線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1、k2、km，使k11k22kmm0k10，k2k3kmkkk kkk 必要性：已知向量組A中至少有一個向量可由其余m-1個向量線性表示，不妨設(shè)1可可認為取110線性相關(guān)的性質(zhì)含有零向量的向量組一定線性相關(guān)只有一個向量的向量組線性相關(guān)的充要條件是這個向量是零向量只有兩個向量的向量組線性相關(guān)的充要條件是這兩個向量的坐標對應(yīng)成比例。個數(shù)多于維數(shù)的向量組必線性相關(guān)。向量組中的部分向量線性相關(guān)，則原向量組線性相關(guān)；向量組線性無關(guān)，則它的部分向量也線性無關(guān)。如果r維向量組線性無關(guān)，將此向量組擴展到 rn）維后的向量組也線性無關(guān)線性相關(guān)充要條件向量組1,2,,s線性相關(guān)有個向量可由其余向量線性表x1齊次方程(,,,) x20有非零解r(,,,) s x xs特別nn維向量1,2,,n線性相線性相關(guān)充分條件向量組含有零向量或成比例的向量必部分相關(guān)，則整體相相關(guān)，則低維相以少表多，則多必相推論：n+1n維向量必相關(guān)向量組的線性無關(guān)線性無關(guān)的定義 ，必k1k2km0，則稱向量組、2、mk1k2,km不線性無關(guān)的判定向量組、2、m線性無關(guān)（i）齊次方程組(,,,)

x1 mxm 向量組的秩r1,,,m 每一個向量i（i=1,2，...,m）都不能用其余s-1個向量線性表出線性無關(guān)的性質(zhì)若向量組1,2,,m線性無關(guān)，則它的任一個部分組i,,, i 關(guān)若向量組,,,線性無關(guān)，則它的任一延伸

1,

2

m必m性無關(guān)

12 m階梯形向量組一定線性無關(guān)兩兩正交、非零的向量組必線性無關(guān)線性相關(guān)性與線性表出的關(guān)系（1）向量組1,2,,m線性無關(guān)，而向量組1,2,,m線性相可1,2,,m線性表出，且表示法唯一線性相關(guān)注：多數(shù)向量可由少數(shù)向量線性表出，則多數(shù)向量線性相關(guān)則mt?！纠?（2007）設(shè)向量組1,2,3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的【專業(yè)知識補充】在矩陣左邊乘列滿秩矩陣，矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變.若n維列向量1,2,3線性無關(guān) ，從而線性無r(1233r(C3|C|【例4（2006）設(shè)1,2,,s均為n維列向量，Amn階矩陣，下列選項正確的向量組的秩與矩陣的秩極大線性無關(guān)組和向量組的秩極大線性無關(guān) 線性無關(guān)，且再添加 向量組1,2,,s的一個極大線性無關(guān)（i）只由一個零向量構(gòu)成的向量組不存在極大線性無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0，一個線性無關(guān)的向量組的極大線性無關(guān)組是該向量組自身。（ii）一般來說，向量組的極大線性無關(guān)組不是唯一的，但這些極大線性無關(guān)組是等價的，從而每個極大線性無關(guān)組所包含的向量的個數(shù)都是r，即個數(shù)r是由原向量組唯一確定的。向量組的向量組1,2,,s的極大線性無關(guān)組中所含向量的個數(shù)r稱為該向量組的秩，記為向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系（1）r（A）=A的行秩（矩陣A的行向量組的秩）=A的列秩（A的列向量組的秩）經(jīng)初等變換，向量組的秩均不變向量組（I）可由向量組（II）線性表出，則rIrII。特別的，等價的向量組具注：秩相同的向量組不一定等價【例5】 5 量., , , 8 1 1 3 9 7【詳解 3 4 1 4 1 4 2 0 0 0 0 規(guī)范正交基與 正交正交基與規(guī)范正交基向量空間中一組基中的向量如果兩兩正交，就成為正交基規(guī)范正交若正交基中每個向量都是單位向量，就稱其為規(guī)范正交基Sidt正1,2,,s線性無關(guān)，則可構(gòu)造1,2,,s使其兩兩正i僅是（i=1,2,...,s 正交向量組

s1

s2 , , , 【例6】將下列向量 idt正交化1(0,1,2)T,(1,0,1)T,(1,1, 【詳解0 220101 112110351511112 5 30 10 2 0 2 1 10

15

111,

2,

2 5 6 2 1 線性方程組的表示形式和解向量線性方程組的矩陣表示法a11x1a12x2a1nxna21線性方程組

a22x2a2nxn am1x1am2x2amnxn a1n x1 b1 a x b令A(yù) 2n，X2，b2，則可寫成矩陣乘法表示AXb

x b mn n m線性方程組的向量表示法對系數(shù)矩陣Ax11x22xnnb a1n 其中A 2n

mn 解向量 一個解向量方程組解的判定齊次方程組有非零解的判定AmnAx0有非零解的充分必要條件是rAn，亦的列向量線性AnAx0A0Ax0有非零解的充分條件是mn(即方程個數(shù)<未知數(shù)個數(shù))注：齊次方程組有非零解，關(guān)鍵在于系數(shù)矩陣的秩要小于未知數(shù)的個數(shù)（也就是系數(shù)矩陣AB0BAx0B0Ax0有非零解，進rArBn.非齊次方程組有解的判定設(shè)有n個未知數(shù)m個方程的非齊次線性方程組a11x1a12x2a1nxnaa

x1a22x2a2nxnam1x1am2x2amnxn a1n b1 x1 a b x令A(yù) 2n，b2，X2 a b xa mn m nAX定義增廣矩陣

bB(A,b) 2 mAmn矩陣，方Axb，有唯一 r(A)r(A)有無窮多 r(A)r(A)無 齊次方程組和非齊次方程組解的關(guān)當Ax0只有零解，Axb【例1（2002）設(shè)Amn階矩陣，Bn

階矩陣，則齊ABx 1x1 1 【例2（2001）方程組 1x21無窮多解，則 ax 1

3 A 1 a 1 2 a1a 2a a2時，方程組無窮多解解的性質(zhì)（1）若1,2Ax0的解，則k11k22Ax0的解若Ax0的解，Axb的解，則Axb推廣解；當ki1時k11k22kssAxb的解；個線性無關(guān)的解基礎(chǔ)解系的概念及其求法

Ax0s-線性方程組的解空間齊次方程組Ax0恒有解（必有零解。當有非零解時，由于解向量的任意線性組合仍是該齊次方程組的解向量。因此Ax0的全體解向量構(gòu)成一個向量空間，稱為該方程組的解空n（r?；A(chǔ)解系基礎(chǔ)解系概念 是方程組的s個解向量，則對任意的k1、k2、ks，向組一個基礎(chǔ)解系。所謂基礎(chǔ)解系，其實就是Ax0的解向量組的一個極大無關(guān)組?；A(chǔ)解系的性設(shè)、、rAx0的基礎(chǔ)解系， 、、Ax0的 、、線性無 rAx0的任一解都可以由、、線性表出rr(A)r(B)基礎(chǔ)解系的求法在求基礎(chǔ)解系時，可對A作初等行變換變換成為階梯形矩陣通常稱每個非零行中第一個非0系數(shù)所代表的未知數(shù)是主元（共有r(A)個主元）剩余的其他未知數(shù)就是自由變量（共有nr(A)個），當然也可在加減消元后找出秩為r的行列式，那么其他各列的未知數(shù)就是自由變量對自由變量按階梯形賦值后，再代入求解就可以得到基礎(chǔ)解系。注：一定是對矩陣進行初等行變換

1

0則nr(A)=5-3=2，說明基礎(chǔ)解系由2個解向量組成，此時 x1x3x4為主元，x2x5是自由變量，因而可對自由變量賦n1(,1,,,0)T,n(,0,,2再由下往上代入求得，n1(1,1,0,0,0)Tn4,0,1,1,1)TAx0的基礎(chǔ)解系2 為

1 4【例4】設(shè)A 3,求Ax0的基礎(chǔ)解系 0 【例5（2011）A(,,,)(10,10)T是方Ax0的一個基礎(chǔ)解系，則A 的基礎(chǔ)解系

線性方程組解的結(jié)構(gòu)通解的概設(shè)r(A)r， 為Ax0的基礎(chǔ)解系，則Ax0的通解k11k22knrnr，其中k1k2,knr為任意常數(shù)【例6】設(shè)An階矩陣，r(A)=n-若A的各行元和為0，則Ax=0的通解 若A的代數(shù)式A110，則Ax=0的通解 n元線性方Axb有解，設(shè)、2、r是相應(yīng)齊次Ax0的基礎(chǔ)系，0是Axb的某個已知解，則 稱為非齊次方程組Axb的特解k11k22krξrξ0Axb的通解則Ax的通解為（A2） k(2） （B2） 2

（C2）

（D）

公共解與同解公共解的定義如果既是方程組Ax0的解，又是方程組Bx0的解，則稱為其公共解非零公共解充要條件Ax0Bx0有非零公共解

x0

A同解充要條件

方程組Ax0與Bx0同解r(A)r rBB【例8】Amn階矩陣，證r(ATA)r(r(AB)r(B)第五章矩陣的特征值與特征向矩陣的特征值與特征向量特征值與特征向量的概念成立，那么，這樣的數(shù)A的特征值xA的對應(yīng)于特征值特征方程與特征多項式的概念方程組|EA|0是以為未知n次方程，稱為方陣A的特征方程，n階An個特征值．其左端|EA|是nf（），稱為方陣A的特征多項式。顯然，A的特征值就是特征方程的解．特征方程在復(fù)數(shù)范圍有解，其個則A的非零特征值 【例2】設(shè)A是3階矩陣，A的各行元和均為5，則A必有特征 特征值和特征向量的一般求法對于抽象的矩陣，要根據(jù)特征值與特征向量的定義與其性質(zhì)推導(dǎo)出特征值的取值對于具體的數(shù)字矩陣，應(yīng)先根據(jù)特征方程|EA|0求出矩陣A的全部特征值i12n），其中可能有重根。然后對每個不同的特征值i分別解齊次方程組iiEAx0riEAri，如果求出方程組的基礎(chǔ)解系（即矩陣A關(guān)于特征值i的線性無關(guān)的特征向量）1,2,,nr，則矩陣A屬于i的全部特征向量為ik11k22knrnr，其k1k2,knr是不全為零的任意常數(shù) 【例3】求矩陣A 0的特征值與特征向量45 645(E

0 0 0 1 1 0

0 03EA 0 3 0 5 0 1 6EA 0 0 0 0 特征值與特征向量的性質(zhì)及結(jié)論如果1,2都是特征值i對應(yīng)的特征向量，則1,2的線性組合k11k22（0時）仍是屬于i的特征向量。屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的，并且當iAk重特征值時，矩陣A屬于ik個。即：設(shè)A的特征值，則它的重數(shù)nr(E。 i n A， i注：這兩個在相似、證明可逆求行列式的值等方面很適用方陣A與AT具有相同的特征多項式，從而有相同的特征值，但是它們的特矩陣A可逆的充分必要條件是A的所有特征值不為零．如果A可逆，則A1的特征是1,1,,1；A*的特征值 , 證明：A可逆時ApppA1p，因p0，知0A1p1p．1A1的特若是矩陣A的特征值，則對任何正整數(shù)k，kAk證明：若A的特征值，則kAk的特征值；()是(A)的特征 是的多項式是矩陣A的多項A可逆

(A)a0Ea1Aa2A2an 是A1

EaA1aA2aAn的特征值0 0總結(jié):設(shè)是矩陣A屬于特征值的特征向量，4】A，B32EA01，－1B式A2AB 相似矩陣的概念與性質(zhì)相似矩陣的概念A(yù)，BnPP1APBBA的相似矩陣，或說矩陣AB相似，記作A~B。相似矩陣的性質(zhì)AAAABBAABB與CA與CABf(Af(B相似的矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡（即主對角線元素的和）.A2與B2相似當A可逆時，AB與BA相似AT與BT相似A可逆時，A1與B1相似A*與B*相似。 相似矩陣的相關(guān)結(jié)論相似矩陣的秩和行列式都相同證明：因為A與B相似，所以存在可逆矩陣P，使BP1AP，因此rArB，且BP1APP1 APABB1P1AP1P1A1PA1B1證明：因為AB相似，所以有可逆矩陣PP1APB，因|BE||P1APE||P1APP1(E)P||P1(AE)P推論：n階矩A與對角矩陣diag（l1，l2，，ln）相似，則

nABAB具有相同的跡（biiaiii BkEP1(AkE)PBnP1AnPAkE~BkEBkE(AkE)以及rBkEr(AkEAn~Bn，進而可以用相似求方冪BnP1AnA~B，且A，B都可逆，則A1~B1矩陣的相似對角化矩陣可相似對角化的概念n階矩陣A與對角矩陣相似，則可稱A可以相似對角化，記成A~A的相似?；蛘邔で笠粋€相似變P，使得P1AP為對角矩陣，稱作把方A注：若P1AP，則對角線上的元素是A的全部特征值，P的每一列是對應(yīng)量矩陣可相似對角化的充分必要條件（1）nA與對角陣相似（A能對角化）An個線性無關(guān)的特如果n階矩陣A的n個特征值互不相等，則A與對角陣相似（2）對于矩陣A的每一個ni重特征值i，其線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)恰好等 特征值的重根數(shù)ni亦即r(iEA)nni.注：如果A~，且0ni重特征值，則0ni個線性無關(guān)的特征向量，即齊次方程(0EA)x0的基礎(chǔ)解系應(yīng)含有nr(0EA)ni個向量，故可以通過秩r(0EA)判斷A是否能對角化矩陣A與對角矩陣相似的充分條件（2）A是實對稱矩陣相似對角化A為對角矩陣的解題步驟再求出所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量p1，p2，，pn 構(gòu)造可逆矩陣Pp，p

，則P1AP

n

（A） （B）

（C） （D）

實對稱矩陣實對稱矩陣的定義元素 都是實數(shù)的對稱矩陣稱為實對稱矩陣實對稱矩陣的特征實對稱矩陣必可相似對角化特征值全是實數(shù)，特征向量都是實向不同特征值的特征向量相互正交ni重特征值必有ni個線性無關(guān)的特征向量，或者說秩r(iEA)nni用正交矩陣化A為相似標準形的步驟相似，只是要保證P是正交矩陣，為此當求出特征向量之后應(yīng)改造特征向量。當A的特征值互不相同時，僅需要把特征向量單位化就可構(gòu)造矩陣P當特征值有重根i時，要檢查特征向量是否正交，否則必須對i的特征向量用 正交化法進行處理，這樣才能構(gòu)造出正交矩陣P注：做題的時候切記要單位化，或者對重特征值要進行判斷值不同的特征向量沒有正交性，即使用S 也就不能構(gòu)造矩陣P正交矩陣Q的求解特征方程|EA|0，得矩陣An個特征值1,2,對不同特征值的特征向量分別 idt正交化，得正交矩陣Q(1,2,,n11 11 7（2011）A3rA2A00 11 求A的特征值與特征向求矩陣二次型及其標準形二次型及其矩陣表示二次型的定義含有n個變量x1，x2，，xn的二次齊次多項式函數(shù)（即每項都是二次的多項式 f(x1,x2,xn)aijxixj,aijai1j 二次型的矩陣表令xxx,xT,A=(a),則二次型可用矩陣乘法表 f(x,x,x)xT An階實對稱矩陣（ATA）,Af(xx,x 的秩r(A)稱為二次型f的秩，記作注：二次型矩陣是實對稱矩陣，且二次型的矩陣是唯一的【例1】（2004）二次 f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx 的 二次型的標準形如果二次型矩陣中只含有變量的平方項，所有混合項xixj(ij)的系數(shù)全是零f(xx,xxTAxdx2dx2dx2d(i1,2,n 1 2 n 樣的二次型為標準形二次型的標準形與矩陣特征值的關(guān)任意的n元二次型xTAx都可以通過坐標變換xCy（注意C是可逆矩陣）化成標準形即xTAx

yTydy2dy2d1 2 n其中CTAC。特別的，存在正交變x=CyxTAx為標準形，xTAxy2y2y2，CTACC1AC1 2 n這里1,2,,