2021-2022學年安徽省滁州市定遠縣高二分層班下學期期末數學（文）試題一、單選題1．已知等差數列的前n項和為，則的值為（

）A．33 B．44 C．55 D．66【答案】C【分析】根據等差數列求和與通項公式求解即可.【詳解】是等差數列的前項和，，，解得，，故選：C.2．雙曲線的焦點到漸近線的距離為A． B．1 C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的標準方程，求出雙曲線的焦點坐標和漸近線方程，利用點到直線的距離公式，求焦點到漸近線的距離【詳解】雙曲線焦點坐標，漸近線方程，所以焦點到漸近線的距離為，所以選擇A項【點睛】由雙曲線的標準方程解決幾何性質問題時，要根據先標準方程確定雙曲線焦點所在位置，在解決漸近線，離心率等問題3．有一機器人的運動方程為（t是時間，s是位移），則該機器人在時刻時的瞬時速度為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導函數，將代入導函數的解析式，化簡即可得結果.【詳解】因為，所以，則，所以機器人在時刻時的瞬時速度為，故選D.【點睛】本題主要考查導數的實際應用，意在考查靈活應用所學知識解決實際問題的能力，屬于基礎題.4．已知正項等比數列中，，與的等差中項為9，則A． B．C．96 D．729【答案】C【分析】由等比數列的性質可得可得，又，即得和．【詳解】由等比數列的性質可得，所以．又因為與的等差中項為9，所以，設等比數列的公比為，則，所以，解得或．又因為，所以，故．故．故選C．【點睛】本題考查了等差數列與等比數列的中項，等比數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5．已知函數，則（

）A．4 B．1 C． D．【答案】C【分析】首先根據換元法求出函數的表達式，再求出導函數即可求解.【詳解】令，則，所以，所以.故選：C【點睛】本題考查了換元法求解析式、求導，需熟記常見函數的導數公式，屬于基礎題.6．已知拋物線，直線過點與拋物線交于兩點，且，則直線傾斜角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知直線的斜率存在，且不為零，設方程為，與拋物線聯(lián)立得到韋達定理形式，根據拋物線焦點弦長公式可求得，即，由同角三角函數關系可求得結果.【詳解】由題意可知，直線的斜率存在.當直線的斜率為零時，為拋物線的焦點，則，不合題意；直線的斜率存在，且不為零，設直線的方程為，由消去得：，，，解得：，即，.故選：D.7．曲線：在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數的導數，求得切線的斜率，運用點斜式方程可得切線的方程．【詳解】解：的導數為所以曲線在點處的切線斜率為即曲線：在點處的切線方程為即為．故選：A.8．如圖，作一個邊長為1的正方形，再將各邊的中點相連作第一個正方形，依此類推，共作了個正方形，設這個正方形的面積之和為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，分析可得這些正方形的面積組成以1為首項，為公比的等比數列，結合等比數列的前n項公式分析可得答案．【詳解】根據題意，第一個正方形的邊長為，其面積為，再將這個正方形的各相鄰邊的中點相連得到第二個正方形，依此類推每一個小正方形的面積都是前邊正方形的面積的，這些正方形的面積組成以1為首項,為公比的等比數列，則這5個正方形的面積和.故選：B.9．已知函數，則“”是“函數為增函數”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先求出函數的導函數，利用導數與單調性的關系求出函數為增函數時參數的取值范圍，再根據充分條件、必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】解：因為，所以，所以當時，函數在定義域上單調遞增，因為，所以“”是“函數為增函數”的充分不必要條件，故選：A10．已知正項數列中，，，則數列的前項和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知數列是等差數列，確定該數列的首項和公差，結合已知條件可求得數列的通項公式，再利用裂項求和法可求得結果.【詳解】因為且，所以，數列是以為首項，為公差的等差數列，所以，，因為數列為正項數列，則，則，所以，數列的前項和為.故選：C.11．已知函數，若存在實數使函數有兩個零點，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】先將函數有兩個零點，轉化為函數與的圖像有兩個交點，作出函數的圖像，結合函數圖像，即可求出結果.【詳解】∵函數，有兩個零點，∴函數與的圖像有兩個交點，畫出函數圖像如圖所示.由，可得或.結合函數的圖像可知，當時，函數有兩個零點，則實數的取值范圍是.故選B.【點睛】本題主要考查由函數零點個數求參數的問題，靈活運用轉化與化歸的思想，以及數形結合的思想即可，屬于?？碱}型.12．設是定義在上的函數，其導函數為，若，，則不等式（其中為自然對數的底數）的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】構造函數，用導數研究其單調性，再將不等式轉化為，即求解.【詳解】因為滿足，，令，則，所以在R上是增函數，又，則，不等式可化為，即，所以，所不等式的解集是，故選：C二、填空題13．數列滿足，，若數列恰為等比數列，則的值為________.【答案】1【分析】由已知可得,從而可得數列是以2為公比的等比數列,可求.【詳解】，，數列是以2為公比的等比數列，故答案為1.【點睛】本題主要考查了利用數列遞推關系構造等比數列,屬于基礎試題14．已知函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍為________.【答案】【分析】由題意知方程有兩根，構造函數，可知直線與函數的圖象有兩個公共點，且兩函數的圖象均過點，考查直線與曲線相切于點這個臨界位置，利用數形結合思想可求得實數的取值范圍.【詳解】函數的定義域為，且，由，可得，構造函數，則直線與函數的圖象有兩個公共點，，令，得，列表如下：極大值所以，函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，當時，函數取得最大值，即，且當時，.易知，直線與函數的圖象均過點，如下圖所示：考慮直線與曲線相切于點這個臨界位置，此時.即當時，直線與曲線相切于點，此時，直線與曲線有且只有一個公共點.由圖象可知，當且時，直線與曲線有兩個公共點.因此，實數的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查了利用導數研究函數的零點問題，一般轉化為直線與函數圖象的公共點問題，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.15．《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何？”題意是：“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半．”如果一墻厚10尺，請問兩只老鼠最少在第________天相遇．【答案】4【分析】設大老鼠每天打洞的長度構成等比數列，則，小老鼠每天打洞的長度構成等比數列，則，再分別求和構造不等式求出的值.【詳解】設大老鼠每天打洞的長度構成等比數列，則，所以.設小老鼠每天打洞的長度構成等比數列，則，所以.所以，即，解得：且，所以兩只老鼠最少在第4天相遇.故答案為.【點睛】本題以數學文化為背景，建立等比數列模型進行問題解決，考查學生的數學建模能力、運算求解能力，考查不等式的求解，注意利用為整數的特點，直接求得不等式的解.16．已知拋物線的方程為，其焦點為，為過焦點的拋物線的弦，過，分別作拋物線的切線，，設，相交于點．則__________．【答案】0【分析】設，設AB的方程為，代入拋物線方程，根據韋達定理得到，再根據導數的幾何意義得到切線、的斜率，相乘為，即可得到答案.【詳解】設，因為，所以設AB的方程為，代入拋物線方程，得，從而，由，得，則，則，因此，即，所以.故答案為：0【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系的綜合應用，考查了導數的幾何意義，考查了向量的數量積，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題.三、解答題17．已知等差數列的公差不為0，且滿足.(1)求的通項公式；(2)求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由題可得，再利用等差數列的通項公式即得；（2）利用裂項相消法可得，即證.【詳解】（1）設數列的公差為，由題可知，解得，∴，故的通項公式為.（2）∵，∴，記，則，∴.18．如圖，在三棱柱中，⊥底面ABC，AB⊥AC.(1)求證：AB⊥平面；(2)若線段與的中點分別為E?F，求證：平面ABC；(3)已知AB=3，AC=4，且異面直線與所成的角為45°，求三棱柱的體積.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）由已知可得，結合，得到平面；（2）連接并延長，交AB的延長線于點G，連接CG，即可得到，從而得證；（3）由異面直線與所成的角為，可得，再由已知結合棱柱體積公式求解．【詳解】（1）證明：底面，平面，，又，且，平面；平面；（2）證明：如圖，連接并延長，交AB的延長線于點G，連接CG.因為E是的中點，所以E是的中點；又因為F是的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.（3）解：，為異面直線與所成的角為，即，在中，可得，．19．已知數列滿足，且．（1）求為何值時，數列是等比數列；（2）若數列是等比數列，求數列的通項公式．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由等比數列定義構造恒等式，求得參數值；（2）利用等比數列的通項公式求得．【詳解】（1）若數列是等比數列，則（為非零常數），即對于任意恒成立，則，解得，故當時，數列是等比數列．（2）由（1），可知數列是公比為2的等比數列，且首項為，所以，所以．20．已知函數在點處的切線為.（1）求函數的解析式；（2）是否存在，對任意，使得成立，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.（參考數據：，）【答案】（1）；（2）存在，的最大值為8【分析】（1）對函數求導，結合導數的幾何意義，可得出，進而可求出，即可得出函數的解析式；（2）由，不等式可轉化為，令，進而通過求導，判斷函數的單調性，使得，進而可求出的最大值.【詳解】（1）將代入切線方程，可得，即，又，所以，解得，所以.（2）存在，理由如下：由，不等式可轉化為，令，則，，令，則，所以在上單調遞增，且，，故存在唯一的，使得，即，當時，，即，此時單調遞減；當時，，即，此時單調遞增.所以，即，又因為，所以，因為，所以的最大值為8.所以存在滿足題意的，的最大值為8.【點睛】本題考查導數幾何意義的應用，考查利用導數解決不等式恒成立問題，注意利用參變分離的方法，考查學生的推理能力與計算求解能力，屬于難題.21．已知拋物線經過點．(1)求拋物線的方程；(2)設拋物線的準線與軸的交點為，直線過點，且與拋物線交于、兩點，的中點為，若，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系數法去求拋物線的方程；（2）將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，以設而不求的方法去求的面積．【詳解】（1）因為拋物線經過點．所以，解得，所以拋物線的方程為．（2）設，直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，，得，，．所以，所以，又拋物線的準線為，所以，，解得，．則．22．已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數在上有兩個零點，求實數a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用導數的幾何意義求出切線的斜率，再