1、設(shè)石uR',/(x)是￡上有限的可測函數(shù)，證明：存在定義在R'上的一列連續(xù)函數(shù)｛g〃｝，使得limg〃(九)=/(x)ae于E?！ㄒ?gt;8證明：因為/(%)在￡上可測，由魯津定理是，對任何正整數(shù)〃，存在￡的可測子集￡〃，使得加(￡-6)<,，同時存在定義在*上的連續(xù)函數(shù)g〃(x),使得當工￡與時，有ng“(％)=/(%)所以對任意的〃〉0，成立E[\f-gn\>?7]^E-En由此可得mE\\f-g〃巨川W砥￡—￡〃)<L因此lim機￡[|/-gn|>n]=0即gn(%)=/(x),nn,由黎斯定理存在｛gj的子歹！J｛gf1k｝,使得limg2(%)=f(x),ae于E2、設(shè)/(x)是(-oo,oo)上的連續(xù)函數(shù)，g(x)為切上的可測函數(shù)，則/(g(x))是可測函數(shù)。證明：記g=(—00,+8),￡2=[。，切，由于/(%)在月上連續(xù)，故對任意實數(shù)。,與">4是co直線上的開集，設(shè)耳">c]=|J(a〃，&)，其中(%，瓦)是其構(gòu)成區(qū)間(可能是有限n=\個，?！赡転橐?瓦可有為+8)因此0000■"(/>a=U紇&<g<%』=U@[g>E2[g<一])因為g在馬上可n=\n=]測,因此石2區(qū)>%]，&><4J都可測。故可測。3、設(shè)/(x)是(-00,+O。)上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)。，￡=｛x"(x)>〃｝是一開集，而石=｛x"(x)Na｝總是一閉集。證明：若玉)￡旦貝如(%0)>〃，因為/(X)是連續(xù)的，所以存在5〉0,使任意X￡(YO,8),Ix—%|<5就有了(x)>。，即任意無￡U(x0?),就有xeE,所以U(x0?)uE,E是開集若x〃￡E,且x〃-8),則/區(qū))>〃，由于/(x)連續(xù)，f(x0)=limf(xn)>a,8即^6石，因此E是閉集。4、(1)設(shè)41=(。一)，4〃(°，")，〃=1，2,，求出集列｛4｝的上限集和下限集n證明：lim4=(0,oo)設(shè)(0,8),則存在N,使xvN,因此〃〉ND寸，0<x<n,即〃一>8所以X屬于下標比N大的一切偶指標集，從而x屬于無限多A”，得〃一>8又顯然lim4u(0,oo),所以limA〃=(0,co)?A'=。若有xe?，則存在N,使任意〃,N,有x￡A〃，因此若2〃—1>N時,TOC\o"1-5"\h\z了￡42〃_1，即0<x<,，令力-8得0<x<0,此不可能，所以limA=,118"（2）可數(shù)點集的外測度為零。｝對任意￡>0,存在開區(qū)間使為￡/,.｝對任意￡>0,存在開區(qū)間使為￡/,.以U4nE，且Z|//二￡,由￡的任意性得加*￡=0i=ii=i5、設(shè)｛力｝是E上的可測函數(shù)列，則其收斂點集與發(fā)散點集都是可測的。證：顯然，"』的收斂點集可表示為￡0=E[x而<（x）=lim力（x）]X—>coX—>CO在在E上可測。在E上可測。CH甌-蟹15由fn可測limfn及l(fā)im力都可測，所以limfn-limfnX^OOX->8X-?COX-?8在E上可測。從而，對任一自然數(shù)殷仇而力—lim/J」]可測。故L8Xf8k001EO="塌力Tim力<-],,A—>C0X—>8上k=\e可測。既然收斂點集/可測，那么發(fā)散點集石-線也可測。6、沒EuR。,存在兩側(cè)兩列可測集｛4｝,｛紇｝，使得4uEu紇且4（4-紇）一>0,（n—oc）則￡可測.0000證明：對于任意"n紇u片,所以n片-石（=瓦—￡n=ln=\又因為AuE,Bj-EuBj-Aj所以對于任意i,機*（6里—石”加*（g.—E）（機*（耳—A,）=m（Bj—A）n=\CO00令i-8，由根（耳-4）-0得根*（n紇—E）=0所以ng「E是可測的又由于從可n=\77=1測，有nBn也是可測的所以石=n4-(riBt-E)是可測的?！?17i=ln=\7、設(shè)在7上力(%)=>/(%)，而fn(x)=gn(x)a.e.成立，相=1,2，則有g(shù)n(%)=>f(x)，oo、oo設(shè)紇=￡[￡,Wg〃]，則根\JEn根與=°。\n=lJVcr>0Vcr>0E[\f-gVcr>0E[\f-gVcr>0E[\f-g￡[/—所以相￡[|/-(jEn+mE[]f-fn\>(y']=mE[]f-fn\>(y']\n=\相￡[|/-因為力(x)=/(x)，所以0W1子根=0即g〃(%)=>/(%)8、證明：(Ad3)'=AdB。證明：因為AuAuB,BczAoB,所以，Au(AdB)',5'u(AdB)',從而Au3'u(AuB)'反之，對任意X￡(AuB)',即對任意3(x?),有3(x,b)c(Au3)=(3(x?)cA)u(B(x,d>)c3)為無限集,從而3(x?)cA為無限集或B(x,3)cB為無限集至少有一個成立，即x￡A或x￡夕,所以，xeAzuB\(AuB)'uAuB'。綜上所述，(AuBy=Au3'。9、證明：若/；(x)=>/(X),fn(x)=>g(x)(xeE),則/(x)=g(x)于右。81證明：由于娟H/(x)wg(x)]=U￡[x],f—g|N-|,而E[x\f-g\>-](zE[x\fn-f\>—]<JE[x\fn-g\>所以,mE[x\f-g\>-]<mE[x\fn-f\>—]+mE[x\fn-g\>由<(x)=/(x)，<(x)=>g(x)(x￡E)得limmE[x\fn-f\>^-]=0,\fn-g\>^]=0o4/V"4/V所以，mE[x|/-g|>—]=0,從而mE[x\f(x)wg(x)]=0,即f(x)=g(x)a.e.于E。k10、、證明:若<(%)=/(%),g"(%)ng(x)(xeE),則力(%)±g"(%)=>/(%)士g(%)(xeE)o證明：對任意。>0,由于￡(%)±g”(%)-"(%)±gO)]|，\fn(X)-f(X)\+|g〃(%)-g(X)\,所以，由京(幻土心(%)—"(%)±g(%)]|2b可得，|/,U)-/(%)|2：b和|g"(％)-g(%)|>|cr至少有一個成立。從而El^fll±gn-[f±8^^^E[x\fll-f\>^(j]uE[x\gn-g\>^a],乙乙所以，相仇刈力士g〃—"土g][2b]V加仇X\fn—力2(司+相aX|g〃—g|>(司。又由力(x)=/(x)，g〃(x)ng(x)(xeE)得,limlimmE[x〃一>8limmE[x〃一>81limmE[x〃一>811八g〃-g>-o-]=0o所以，JimmE[x^fn±gn-[f±g^>cr]=0,即<(九)±g“(%)n/(%)土g(%)(xeE)。11、若力(%)=>/(%)(xwE),則|力(%)|=>|/(%)|(xeE)o證明：因為一⑴―/（刈訃力（刈—|/（切，所以，對任意cr>0,有仇耳㈤T/I之buE[xyn-f\>cr],加￡[刈/H/I2司<mEl^fn-f\之日。又由fn(x)=>f(x)(xeE)得,limmE[x||/z-/|>cr]=0o所以,limmE[x|||X7|-|/||>cr]=0,即|<(刈=|/(刈(xeE)o12、證明：網(wǎng)上的連續(xù)函數(shù)必為可測函數(shù)。證明：設(shè)/(X)是網(wǎng)上的連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號性，對任意實數(shù)。，RTx|/>a]={x，(x)>〃,X￡*}是開集，從而是可測集。所以，/(x)是網(wǎng)上的可測函數(shù)。13、證明：”上的單調(diào)函數(shù)必為可測函數(shù)。證明：不妨設(shè)了。)是網(wǎng)上的單調(diào)遞增函數(shù)，對任意實數(shù)記4=巾￡{1/(處>磯,由單調(diào)函數(shù)的特點得，當時，{x\f(x)>a}=[A^),顯然是可測集;當Ae閔/(%)>〃}時，3/(%)>〃}=(448)，也顯然是可測集。故/(x)是網(wǎng)上的可測函數(shù)。14、設(shè))。)￡〃石)，￡〃是￡的可測子集，且加石<48,若limmE〃=根石，則〃一>8lim??—>00證明：因為E〃是石的可測子集，且加E<+8,所以，m(E-E〃)=mE-mE〃,從而由由limmg7=mE得,limm(E-En)=mE-limmEn=0。又/(x)eL(￡),由積分的絕由limmg7=mE得,limm(E-En)=mE-limmEn=0。又/(x)eL(￡),由積分的絕ms由limmg7=mE得,limm(E-En)=mE-limmEn=0。又/(x)eL(￡),由積分的絕msoo〃一>oc對連續(xù)性，lim[f/(x)ck-[/(x)dr]=lim

w—>ooJEJEnLF/(x)dx=0o*匕一匕n15、設(shè)若對任意有界可測函數(shù)9(x)都有/(x)0(x)dx=O,則JEf(x)=0a.e.于E。證明：由題設(shè)，取o(x)=<1,xeE[x\f(x)>0]0,xeE[x|f(x)=0],顯然0(x)為E上的有界可測函數(shù),-l,xeE[x\f(x)<0]從而「|/(幻山=Jj(x)O(x)ck=0。所以，|/(x)|=0ae于E,即/(?=0a.e.于Eo=E^f\>n]9證明(1)limmen-0；(2)limn-men—0on—>oo~證明：由〃?m紇4f/(x)dx<f/(x)dx得，(1)\\mmen=0o(2)由(1),注意到

JenJE7?—>oof(x)GL(E),由積分的絕對連續(xù)性得，lim/(x)dx=0,從而注意到〃一>8所以，limn-men=0。817、若/(x)是［①切上的單調(diào)函數(shù)，則/(x)是團，切上的有界變差函數(shù)，且證明：不妨設(shè)/(為是句上的單調(diào)增函數(shù)，任取他,切的一個分割T:a=x()<%<???<七_[<v??v=b一/(%)1=2"(七)二fQi)〕=/區(qū))—/(/)/=1/=1/=1/=1=f(b)-f(a)=\f(b)-f(a)\,/=1所以,V(f)=supZ，(七)二f(匕-1)|=I/S)一.〃。)|。T/=118、若/(x)在［a,句上滿足：存在正常數(shù)K,使得對任意不々￡他，切，都有-―|4K21，b則⑴/(x)是［。,句上的有界變差函數(shù)，且V(7)WKS—a)；a(2)/(x)是他,切上的絕對連續(xù)函數(shù)。證明：(1)由題設(shè)，任取句的一個分割T:a=x0<x］<-<xz<<xn-b則TOC\o"1-5"\h\z〃〃〃E|/(七)一/(玉一)|(￡七七一玉」=kZ(n—Xi)=K3—q),/=1i=li=lb〃所以，/(?是［。向上的有界變差函數(shù)，且V(7)=supE|/(Xj)-/(4|)歸K(b-4)。aTi=\(2)在［%加內(nèi)，任取有限個互不相交的開區(qū)間(x,j),i=12，/。由于TOC\o"1-5"\h\z〃〃flZI/(%)--(%)區(qū)ZKk?-K|=KZk.-M

/=!i=\/=1于是，對任意￡>o,取S=￡,則當￡上一上|<5時，有.K/=!力/(%)-f(%)|?K-%f|,

i=li=l即/(x)是切上的絕對連續(xù)函數(shù)。19>若/(x)是出,切上的絕對連續(xù)函數(shù)，則/(x)是1]上的有界變差函數(shù)。證明：由/(X)是團上的絕對連續(xù)函數(shù)，取￡=i,存在內(nèi)>0,對任意有限個互不相交的開區(qū)間(4y),1=12，"，只要fk—y|<3時，有￡|/(七)—1=11=1現(xiàn)將[〃,切等分，記分點為。=。0<6<<%_]<《<<an=b,使得每一等份的長度小于3。易得近7)W1,即/(X)是a」。/上的有界變差函數(shù)。又[見句=I[。1，叫，/=ibj的所以，V(f)=yV(f)</2<+a),即/(x)是[a,加上的有界變差函數(shù)。Cl/=1320、若/(x)是[〃,句上的有界變差函數(shù)，則X(1)全變差函數(shù)V(/)是[4,切上的遞增函數(shù)；ax(2)V(/)—/(x)也是他,句上的遞增函數(shù)。a證明：(1)對任意不馬￡[。,切，/>不，注意到/(/)20,有X]玄司心X]V(/)=V(/)+V(/)>V(/),

aaxxa即.(/)是句上的遞增函數(shù)。ax2(