年普通高等學(xué)校全國(guó)統(tǒng)一模擬3月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.回答選考題時(shí)，考生須按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為40，則k＝（）A.2 B.4 C. D.2.已知非空集合，集合，則a的取值集合與集合B的交集為（）A. B. C. D.3.已知向量和，在上的投影為正數(shù)，p：，q：或，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.作為惠民政策之一，新農(nóng)合是國(guó)家推出的一項(xiàng)新型農(nóng)村合作醫(yī)療保險(xiǎn)政策，極大地解決了農(nóng)村人看病難的問(wèn)題.為了檢測(cè)此項(xiàng)政策的落實(shí)情況，現(xiàn)對(duì)某地鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院隨機(jī)抽取100份住院記錄，作出頻率分布直方圖如下：已知該醫(yī)院報(bào)銷(xiāo)政策為：花費(fèi)400元及以下的不予報(bào)銷(xiāo)；花費(fèi)超過(guò)400元不超過(guò)6000元的，超過(guò)400元的部分報(bào)銷(xiāo)65%；花費(fèi)在6000元以上的報(bào)銷(xiāo)所花費(fèi)費(fèi)用的80%.則下列說(shuō)法中，正確的是（）A.B.若某病人住院花費(fèi)了4300元，則報(bào)銷(xiāo)后實(shí)際花費(fèi)為2235元C.根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)一個(gè)病人在該醫(yī)院報(bào)銷(xiāo)所花費(fèi)費(fèi)用為80%的概率為D.這100份花費(fèi)費(fèi)用的中位數(shù)是4205元5.已知，，，則（）A. B. C. D.6.已知，則（）A. B. C. D.7.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A. B.2n C. D.8.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A.1 B.2 C.4 D.169.已知拋物線C：，直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足，則p＝（）A. B.1 C.2 D.410.在四邊形ABCD中，，，則的最大值為（）A.25 B. C. D.11.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)，其外接球的表面積為，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)BC且與AP垂直的截面與AP交于點(diǎn)E，則三棱錐的體積的最大值為（）A. B. C. D.12.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上，，線段與雙曲線C相交于點(diǎn)M，直線與y軸相交于點(diǎn)N，軸，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知a為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則______.14.為了慶祝新年的到來(lái)，某?！捌び皯颉鄙鐖F(tuán)的6名男同學(xué)，2名女同學(xué)計(jì)劃組成4人代表隊(duì)代表本校參加市級(jí)“皮影戲”比賽，該代表隊(duì)中有隊(duì)長(zhǎng)，副隊(duì)長(zhǎng)各一名，剩余兩名為隊(duì)員.若現(xiàn)要求代表隊(duì)中至少有一名女同學(xué)，一共有______種可能.15.已知等腰的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，成等差數(shù)列，點(diǎn)D為外接圓劣弧上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，則______.16.若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本小題滿分12分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.18.（本小題滿分12分）某社區(qū)對(duì)是否愿意參與2023年元旦文藝與體育活動(dòng)進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽查男性居民，女性居民各35人，參與調(diào)查的結(jié)果如下表：愿意參與不愿參與男性居民15人20人女性居民25人10人（1）從已知數(shù)據(jù)判斷能否有95%的把握認(rèn)為是否愿意參與文藝和體育活動(dòng)與性別有關(guān)；（2）用分層抽樣方法，在愿意參與的居民中抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記抽到的男性居民人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82819.（本小題滿分12分）已知圓柱的底面圓心為O，底面直徑，圓柱的高為4，C為圓弧的中點(diǎn)，為圓柱的一條母線，D為AC的中點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.20.（本小題滿分12分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓C上，且橢圓C的離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）相互垂直且斜率存在的直線，都過(guò)點(diǎn)，直線與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，直線與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)D為線段PQ的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段MN的中點(diǎn)，證明：直線DE過(guò)定點(diǎn).21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）若，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，（）是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角標(biāo)系xOy中，曲M的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線M的普通方程；（2）若D為曲線M上一動(dòng)點(diǎn)，求D到l距離的取值范圍.23.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：（1）；（2）.參考答案1.【答案】C【解析】利用二項(xiàng)式定理可知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，得，故選C.2.【答案】C【解析】若集合A是非空集合，則一元二次方程有解，即，所以a的取值集合為，集合B即函數(shù)的定義域，所以a的取值集合與集合B的交集是，故選C.3.【答案】A【解析】若，則，即，得或，又因?yàn)樵谏系耐队笆钦龜?shù)，所以，所以，即成立，但不成立，所以p是q的充分不必要條件，故選A.4.【答案】C【解析】由頻率分布直方圖得，解得，故A錯(cuò)誤；該病人在醫(yī)院住院消費(fèi)了4300元，報(bào)銷(xiāo)金額為元，所以此人實(shí)際花費(fèi)為元，故B錯(cuò)誤；樣本中可報(bào)銷(xiāo)80%的占比為0.15，所以該醫(yī)院可報(bào)銷(xiāo)為80%的概率為，故C正確；樣本中消費(fèi)費(fèi)用小于4000的直方圖的面積為，所以中位數(shù)在內(nèi)，所以消費(fèi)費(fèi)用的中位數(shù)的估計(jì)值為元，故D錯(cuò)誤.故選C.5.【答案】B【解析】因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)?，，則a最大，，則.故選B.6.【答案】A【解析】由，則.故選A.7.【答案】D【解析】令，由題意可得，與原式作差可得，變形可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.故選D.8.【答案】A【解析】法一：幾何直觀化依題意可知曲線表示一個(gè)以為圓心，1為半徑的圓，求的最小值相當(dāng)于先求的最小值，即求圓上一點(diǎn)到直線的距離d的最小值，所以，即的最小值為1.故選A.法二：線性規(guī)劃設(shè)，則，若，因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b滿足，所以直線需與圓在可行域有交點(diǎn)，所以當(dāng)x最小時(shí)，直線需與圓相切，有，解得或121（舍），此時(shí)切點(diǎn)為在可行域內(nèi)；若，同理，無(wú)解.綜上，的最小值為1.故選A.9.【答案】C【解析】易知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，，.聯(lián)立，消去x，得，則，.∵，∴，∴.故選C.10.【答案】B【解析】設(shè)，在中，由正弦定理可得，在中，，由余弦定理可得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故選B.11.【答案】A【解析】由題可得，外接球半徑為，設(shè)三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為h，則有，即側(cè)棱，設(shè)BC的中點(diǎn)為F，作出截面如圖所示，∵，∴，∴點(diǎn)E在以AF為直徑的圓上，三棱錐的體積最大，∴點(diǎn)E到底面ABC距離的最大值為，由于，此時(shí)點(diǎn)P在線段上，符合條件.此時(shí)體積最大為.故選A.12.【答案】D【解析】設(shè)雙曲線C的焦距為2c，由可得點(diǎn)P在圓上，聯(lián)立方程，可解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線的方程為，令，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線的方程為，令，解得，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線C的方程有，有，有，解得.故選D.13.【答案】2【解析】為純虛數(shù)，則.14.【答案】660【解析】若代表隊(duì)中有1名女同學(xué)，此時(shí)共有種可能，若女同學(xué)的人數(shù)為2，則共有種可能，所以一共有660種可能.15.【答案】5【解析】因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑妊切?，所以是正三角形，設(shè)的邊長(zhǎng)為x，，易得，根據(jù)圓周角定理，有，所以，，在中，根據(jù)正弦定理有，同理在中，，，所以.16.【答案】【解析】令，則，，①當(dāng)時(shí)，，則為減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，不等式恒成立；②當(dāng)時(shí)，令，，則，∴，若，則在上為減函數(shù)，不等式恒成立時(shí)，，即，若，則易知存在，使得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，∴，不符合題意，綜上所述，不等式恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.17.【答案】（1）（2）【解析】（1）已知（且），設(shè)，即，所以，……2分當(dāng)時(shí)，.即，所以.……4分當(dāng)時(shí)，符合上式，所以；……6分（2），……8分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則.……12分18.【答案】（1）有95%的把握認(rèn)為是否愿意參與文藝和體育活動(dòng)與性別有關(guān)（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）由已知得列聯(lián)表：愿意參與不愿參與總計(jì)男性居民152035女性居民251035總計(jì)403070……2分因?yàn)?……4分所以有95%的把握認(rèn)為是否愿意參與文藝和體育活動(dòng)與性別有關(guān)；……6分（2）用分層抽樣方法，在愿意參與的居民中抽取8人，男性居民應(yīng)抽取3人，女性居民應(yīng)抽取5人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記抽到的男性居民為X，則X的可能取值為0，1，2，3.……7分，，，，……10分所以X的分布列為：X0123P所以.……12分19.【答案】（1）略（2）【解析】證明：（1）因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，又因?yàn)椋?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；…?分（2）由題意分別以CA，CB，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，則，，……6分則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，則，所以，……8分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以，……10分所以，即二面角的余弦值為.……12分20.【答案】（1）（2）直線DE過(guò)定點(diǎn)，證明略【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為、.由題意有，解得，……3分故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；……4分（2）證明：設(shè)直線的斜率為，可得直線的斜率為，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，直線的方程為，聯(lián)立方程，消除y后有，有，可得，，……6分同理，，……8分由對(duì)稱(chēng)性可知直線DE所過(guò)的定點(diǎn)T必定在x軸上，設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為，……9分有，有，化簡(jiǎn)得，解得，故直線DE過(guò)定點(diǎn).……12分21.【答案】（1）（2）略【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，所以在處的切線方程為；……3分（2）證明如下：由題意可知，（）是方