均值向量和協(xié)方差陣的檢驗(yàn)第1頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二元正態(tài)分布的密度函數(shù)為：X與Y的邊緣密度函數(shù)為：第2頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)隨機(jī)向量X＝(X1,…,Xn)T，Y＝(Y1,…,Ym)T.隨機(jī)向量X的均值向量E(X)＝(E(X1),…,E(Xn))T.隨機(jī)向量X和Y的協(xié)方差陣

Cov(X,Y)=E[(X—E(x))(Y—E(Y))T]隨機(jī)向量X的協(xié)方差陣

D(X)=Cov(X,X)=E[(X—E(x))(X—E(X))T]第3頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四隨機(jī)向量X的相關(guān)陣

R=(rij)n×n其中rij=σij/[D(Xi)D(Xj)]0.5均值向量與協(xié)方差陣的性質(zhì)1.設(shè)X、Y是隨機(jī)向量，A、B是常數(shù)矩陣，則

E(AX)=AE(X)E(AXB)=AE(X)BD(AX)=AD(X)ATCov(AX,BY)=ACov(X,Y)BT

2.若X與Y相互獨(dú)立，則Cov(X,Y)=0；反之，不一定成立。3.隨機(jī)向量X的協(xié)方差陣D(X)=Σ是對(duì)稱非負(fù)定矩陣，并有如下分解：Σ＝AAT(A是可逆陣)。第4頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四若m元隨機(jī)向量X＝(X1,…,Xm)T的概率密度函數(shù)為

f(x1,…,xm)=(2π)-m/2|Σ|-0.5exp{--0.5(x—μ)TΣ-1(x—μ)}其中μ、Σ分別是X的均值向量和協(xié)方差陣，則稱X為m元正態(tài)分布。記作X~N(μ,Σ)。第5頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理1.已知XN(,2),則Y=a+bXN(a+b,b22)正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)的分布推論.已知XN(,2),則X*=(X-)/N(0,1)定理2.已知X與Y相互獨(dú)立，且

XN(x,x2),YN(y,y2),則Z=aX+bYN(ax+by,a2x2+b2y2)定理3.設(shè)隨機(jī)變量X1,X2，...,Xn獨(dú)立且Xi服從正態(tài)分布N(i,i2),i=1,...,n,則第6頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的某些常用分布一、

2—分布

統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用到如下三個(gè)分布：

2—分布、t

—分布和F—分布。第7頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.2—分布的密度函數(shù)f(x)曲線第8頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.分位點(diǎn)設(shè)X

~2(n)，若對(duì)于：0<<1，存在滿足則稱為分布的上分位點(diǎn)。4.性質(zhì)：若X

~2(n1)，Y~2(n2)，X與Y獨(dú)立，則

X

+

Y

~2(n1+n2)例查表:20.05(12)=20.90(12)=21.06.30第9頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.構(gòu)造若~(yú)N(0,1),~2(n),與獨(dú)立，則t(n)稱為自由度為n的t—分布。二、t—分布2.概率密度曲線第10頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.基本性質(zhì):(1)f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對(duì)稱；(2)t(n)N(0，1)

4.分位點(diǎn)設(shè)T～t(n)，若對(duì):0<<1,存在t(n)>0，滿足P{Tt(n)}=，則稱t(n)為t(n)的上側(cè)分位點(diǎn)。n∞即：注:例查表t0.025(10)=2.23第11頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、F—分布

1.構(gòu)造若1

~2(n1)，2~2(n2)，1，2獨(dú)立，則

稱為第一自由度為n1，第二自由度為n2的F—分布,其概率密度為第12頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.F—分布的分位點(diǎn)對(duì)于：0<<1，若存在F(n1,n2)>0，滿足P{FF(n1,n2)}=，則稱F(n1,n2)為F(n1,n2)的上側(cè)分位點(diǎn)。注：例查表F0.025(10,15)=

F0.95(10,15)=3.521/F0.05(15,10)=1/2.54≈0.39第13頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布1.設(shè)X1,…,Xn~N(μ,σ2)，則iid第14頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1：設(shè)總體X~N(μ,σ2),從總體X中抽取9個(gè)樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值小于2的概率，如果（1）已知總體方差σ2=16；（2）未知σ2

，但已知樣本方差S2=18.45。 解(1)樣本函數(shù)=P(|u|<1.5)=Φ(1.5)--Φ(--1.5)=2Φ(1.5)–1=0.8664

(2)樣本函數(shù)=P(|t|<1.397)=1–P(|t|≥1.397)=1–2P(t≥1.397)=0.80第15頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.設(shè)X1,…,Xn1~N(μ1,σ12)，Y1,…,Yn2~N(μ2,σ22)，且相互獨(dú)立，則iidiid第16頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)一、單總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)1、2已知的情形---U檢驗(yàn)

對(duì)于假設(shè)H0：=0；H1：0

構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量查表,計(jì)算,比較大小,得出結(jié)論第17頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四說(shuō)明：H0：=0；H1：m0稱為雙側(cè)HT問(wèn)題；而H0：=0；H1：>0(或<0),則稱為單側(cè)HT問(wèn)題。H0：=0；H1：>0,H0：=0；H1：<0,第18頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.112).某日測(cè)得5爐鐵水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果標(biāo)準(zhǔn)差不變,該日鐵水的平均含碳量是否顯著偏低?(取=0.05)解:計(jì)算：拒絕H0查表：第19頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、2未知的情形·雙側(cè)檢驗(yàn):對(duì)于假設(shè)H0：=0；H1：0由p{|T|＞t/2(n1)}=,得水平為的拒絕域?yàn)閨T|＞t/2(n1)第20頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四·右側(cè)HT問(wèn)題H0：=0

；H1：>0由p{T＞t(n1)}=,得水平為的拒絕域?yàn)門(mén)＞t(n1)·左側(cè)HT問(wèn)題H0：=0

；H1：<0由p{T＜－t(n1)}=,得水平為的拒絕域?yàn)門(mén)＜－t(n1)第21頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例某廠生產(chǎn)鎳合金線，其抗拉強(qiáng)度的均值為10620(kg/mm2)今改進(jìn)工藝后生產(chǎn)一批鎳合金線，抽取10根,測(cè)得抗拉強(qiáng)度(kg/mm2)為:10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.認(rèn)為抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布,取=0.05,問(wèn)新生產(chǎn)的鎳合金線的抗拉強(qiáng)度是否比過(guò)去生產(chǎn)的合金線抗拉強(qiáng)度要高?解:H0：=10620；H1：>10620查表：t0.05(9)=1.833計(jì)算：接受H0第22頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、單總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)假定未知雙側(cè)檢驗(yàn)得水平為的拒絕域?yàn)榈?3頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四單側(cè)檢驗(yàn)：假定=0

已知備擇假設(shè)H1拒絕域

σ2≠σ02

χ2

＜χ21-α/2(n)或χ2

＞χ2α/2(n)

σ2＞σ02

χ2

＞χ2α(n)

σ2＜σ02

χ2

＜χ21-α(n)第24頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例電工器材廠生產(chǎn)一批保險(xiǎn)絲，取10根測(cè)得其熔化時(shí)間（min）為42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.問(wèn)是否可以認(rèn)為整批保險(xiǎn)絲的熔化時(shí)間的方差小于等于80?(=0.05),熔化時(shí)間為正態(tài)變量.)接受H0查表：計(jì)算：解：第25頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.3兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)一、均值差的假設(shè)檢驗(yàn)1.σ1、σ2已知2.σ1=σ2未知檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量?jī)蓸颖惊?dú)立,給定檢驗(yàn)水平,由觀測(cè)值其中第26頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四備擇假設(shè)H1σ1、σ2已知拒絕域σ1=σ2未知拒絕域μ1

≠μ2｜U｜＞uα/2｜T｜＞tα/2(n1+n2－2)μ1

＞μ2

U＞uαT＞tα(n1+n2－2)μ1

＜μ2U＜－uαT＜－tα(n1+n2－2)第27頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例.比較甲,乙兩種安眠藥的療效。將20名患者分成兩組,每組10人.其中10人服用甲藥后延長(zhǎng)睡眠的時(shí)數(shù)分別為1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,5.5,1.6,4.6,3.4;另10人服用乙藥后延長(zhǎng)睡眠的時(shí)數(shù)分別為0.7,-1.6,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,3.7,0.8,0.0,2.0.若服用兩種安眠藥后增加的睡眠時(shí)數(shù)服從方差相同的正態(tài)分布.試問(wèn)兩種安眠藥的療效有無(wú)顯著性差異?(=0.10)解:查表：第28頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四計(jì)算:拒絕H0,認(rèn)為兩種安眠藥的療效有顯著性差異.解:查表：第29頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例上題中,試檢驗(yàn)是否甲安眠藥比乙安眠藥療效顯著?這里:t=1.86>1.3304,故拒絕H0,認(rèn)為甲安眠藥比乙安眠藥療效顯著例上題中,試檢驗(yàn)是否乙安眠藥比甲安眠藥療效顯著?查表：解第30頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四兩樣本獨(dú)立,給定檢驗(yàn)水平,由觀測(cè)值1,2已知1,2未知二、方差比的假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量第31頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四備擇假設(shè)H11,2已知拒絕域1,2未知拒絕域σ12≠σ22

F＜F1-α/2(n1,n2)或F＞Fα/2(n1,n2)

F＜F1-α/2(n1-1,n2-1)或F＞Fα/2(n1-1,n2-)σ12＞σ22

F＞Fα(n1,n2)

F＞Fα(n1–1,n2–1)σ12＜σ22

F＜Fα(n1,n2)

F＜F1-α(n1–1,n2–1)F1/2F/2第32頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例有甲乙兩種機(jī)床,加工同樣產(chǎn)品,從這兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取產(chǎn)品,測(cè)得產(chǎn)品直徑為:甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.9,19.6,19.9.乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2.假定甲,乙兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品直徑都服從正態(tài)分布,試比較甲,乙兩臺(tái)機(jī)床加工的精度有無(wú)顯著差異?(=0.05)解:拒絕域?yàn)镕＜F10.025(7,6)=1/5.12=0.1953

或F＞F0.025(7,6)=5.7計(jì)算:接受H0第33頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.5總體分布的假設(shè)檢驗(yàn)原假設(shè)H0：總體X服從某一理論分布檢驗(yàn)方法：皮爾遜(Pearson)χ2擬合檢驗(yàn)準(zhǔn)則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：其中：k是所分子區(qū)間的個(gè)數(shù)，r是理論分布中需要利用樣本觀測(cè)值估計(jì)的未知參數(shù)的個(gè)數(shù)。拒絕域：第34頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例在n=2608段時(shí)間內(nèi)觀察某一放射性物質(zhì)，觀察得到每段時(shí)間內(nèi)放射粒子數(shù)記錄如下表，驗(yàn)證放射粒子數(shù)X服從泊松分布的假設(shè)。(=0.05)放射粒子X(jué)I觀察頻數(shù)mI0123456789≥1057203383525532408273139452716總計(jì)2608解：H0：X~P(λ)

∴接受H0放射粒子X(jué)I觀察頻數(shù)mI概率pinpi(mi－npi)2/npi0123456789≥10572033835255324082731394527160.0210.0810.1560.2010.1950.1510.0970.0540.0260.0110.007總計(jì)26081.000放射粒子X(jué)I觀察頻數(shù)mI概率pinpi(mi－npi)2/npi0123456789≥10572033835255324082731394527160.0210.0810.1560.2010.1950.1510.0970.0540.0260.0110.00754.8211.2406.8524.2508.6393.8253.0140.867.828.718.3總計(jì)26081.0002608放射粒子X(jué)I觀察頻數(shù)mI概率pinpi(mi－npi)2/npi0123456789≥10572033835255324082731394527160.0210.0810.1560.2010.1950.1510.0970.0540.0260.0110.00754.8211.2406.8524.2508.6393.8253.0140.867.828.718.30.0880.3181.3920.0011.0770.5121.5810.0237.6670.1010.289總計(jì)26081.000260813.049第35頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4均值向量的檢驗(yàn)4.1一個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體X~Nm(μ,Σ)，現(xiàn)從總體中隨機(jī)抽取n個(gè)樣本(X1,X2,…,Xn)(其中協(xié)方差陣Σ未知)(1)H0:μ=μ0

(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和當(dāng)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量F服從自由度為m和n－m的F分布.(3)選擇顯著性水平α，查F分布表得臨界值Fα(m,n－m).(4)計(jì)算F值，比較。若F＞Fα(m,n－m)，則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)。第36頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.2兩個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體X~Nm(μ1,Σ)、Y~Nm(μ2,Σ)

，現(xiàn)從兩總體中分別隨機(jī)抽取n1個(gè)樣本(X1,X2,…,Xn1)和n2個(gè)樣本(Y1,Y2,…,Yn2)(1)H0:μ1=μ2

(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中當(dāng)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量F服從自由度為m和n1+n2－m－1的F分布.(3)選擇顯著性水平α，查F分布表得臨界值Fα(m,n1+n2－m－1).(4)計(jì)算F值，比較。若F＞Fα(m,n1+n2－m-1)，則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)。第37頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.3多個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)有k個(gè)協(xié)方差相等的m元正態(tài)總體總體X(i)~Nm(μ(i),Σ)(i=1,…,k)，現(xiàn)從中分別隨機(jī)抽取容量為n1、…、nk的樣本:

X1(1),X2(1),…,Xn1(1)

~Nm(μ(1),Σ)

…………

X1(k),X2(k),…,Xnk(k)~Nm(μ(k),Σ)(1)H0:μ(1)=μ(2)=…=μ(k)

(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Λ=|E|/|E+B|~Λ(m,n—k,k—1)

其中第38頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四mn2統(tǒng)計(jì)量FF的自由度任意1(n1-m+1)(1-Λ)/mΛm,n1–m+1任意2(n1-m)(1-Λ1/2)/mΛ1/22m,2(n1-m)1任意n1(1-Λ)/n2Λn2,n12任意(n1-1)(1-Λ1/2)/n2Λ1/22n2,2(n1-1)Λ分布與F分布的關(guān)系(n1>m)當(dāng)m、n2不屬于表中情形時(shí)，可計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

χ2=-[n1+n2–(m+n2+1)/2]/lnΛ其近似服從自由度為m×n2的分布。第39頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§5協(xié)方差陣的檢驗(yàn)5.1一個(gè)正態(tài)總體的協(xié)方差陣檢驗(yàn)設(shè)總體X~Nm(μ,Σ)，現(xiàn)從總體中隨機(jī)抽取n個(gè)樣本(X1,X2,…,Xn)(1)H0:Σ=Σ

0

(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量其中樣本協(xié)方差陣注：關(guān)于L分布請(qǐng)見(jiàn)《多元統(tǒng)計(jì)分析引論》第40頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5.2多個(gè)正態(tài)總體的協(xié)方差陣檢驗(yàn)設(shè)有k個(gè)協(xié)方差相等的m元正態(tài)總體總體X(i)~Nm(μi,Σi)(i=1,…,k)，現(xiàn)從中分別隨機(jī)抽取容量為n1、…、nk的樣本:

X1(1),X2(1),…,Xn1(1)

~Nm(μ1,Σ1)

…………

X1(k),X2(k),…,Xnk(k)~Nm(μk,Σk)(1)H0:Σ1

=Σ2

=…=Σk

(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量其中第41頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四mn2統(tǒng)計(jì)量FF的自由度任意1(n1-m+1)(1-Λ)/mΛm,n1–m+1任意2(n1-m)(1-Λ1/2)/mΛ1/22m,2(n1-m)1任意n1(1-Λ)/n2Λn2,n12任意(n1-1)(1-Λ1/2)/n2Λ1/22n2,2(n1-1)Λ分布與F分布的關(guān)系(n1>m)當(dāng)m、n2不屬于表中情形時(shí)，可計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

χ2=-[n1+n2–(m+n2+1)/2]/lnΛ其近似服從自由度為m×n2的分布。第42頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§6方差分析什么是方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析雙因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析第43頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四表該飲料在五家超市的銷售情況超市無(wú)色粉色橘黃色綠色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8例某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料。飲料的顏色共有四種，分別為橘黃色、粉色、綠色和無(wú)色透明。這四種飲料的營(yíng)養(yǎng)含量、味道、價(jià)格、包裝等可能影響銷售量的因素全部相同?，F(xiàn)從地理位置相似、經(jīng)營(yíng)規(guī)模相仿的五家超級(jí)市場(chǎng)上收集了前一時(shí)期該飲料的銷售情況，見(jiàn)下表。試分析飲料的顏色是否對(duì)銷售量產(chǎn)生影響。什么是方差分析？第44頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四檢驗(yàn)飲料的顏色對(duì)銷售量是否有影響，也就是檢驗(yàn)四種顏色飲料的平均銷售量是否相同設(shè)1為無(wú)色飲料的平均銷售量，2粉色飲料的平均銷售量，3為橘黃色飲料的平均銷售量，4為綠色飲料的平均銷售量，也就是檢驗(yàn)下面的假設(shè)H0:1234

H1:1,2,3,4

不全相等檢驗(yàn)上述假設(shè)所采用的方法就是方差分析第45頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基本概念1.因素或因子所要檢驗(yàn)的對(duì)象稱為因子要分析飲料的顏色對(duì)銷售量是否有影響，顏色是要檢驗(yàn)的因素或因子2.水平因素的具體表現(xiàn)稱為水平A1、A2、A3、A4四種顏色就是因素的水平3.觀察值在每個(gè)因素水平下得到的樣本值每種顏色飲料的銷售量就是觀察值4.試驗(yàn)這里只涉及一個(gè)因素，因此稱為單因素四水平的試驗(yàn)5.總體因素的每一個(gè)水平可以看作是一個(gè)總體比如A1、A2、A3、A4四種顏色可以看作是四個(gè)總體第46頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四兩類誤差1.隨機(jī)誤差在因素的同一水平(同一個(gè)總體)下，樣本的各觀察值之間的差異，可認(rèn)為由于抽樣的隨機(jī)性所造成的。比如，同一種顏色的飲料在不同超市上的銷售量是不同的2.系統(tǒng)誤差在因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間的差異.比如，同一家超市，不同顏色飲料的銷售量也是不同的第47頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基本假設(shè)1.正態(tài)－－每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布對(duì)于因素的每一個(gè)水平，其觀察值是來(lái)自服從正態(tài)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本比如，每種顏色飲料的銷售量必需服從正態(tài)分布2.方差齊性－－各個(gè)總體的方差必須相同對(duì)于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的比如，四種顏色飲料的銷售量的方差都相同3.獨(dú)立－－觀察值是獨(dú)立的比如，每個(gè)超市的銷售量都與其他超市的銷售量獨(dú)立第48頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四6.1單因素試驗(yàn)的方差分析水平

A1A2

…

Ak樣本觀測(cè)值

x11x21…

xk1x12x22…

xk2::::::::x1n1

x2n2…

xknk設(shè)因素A有k個(gè)水平：A1，A2，…，Ak，在水平Ai下總體Xi~N(μi,σ2),i=1,2,…,k。樣本Xij~N(μi,σ2),i=1,2,…,k;j=1,2,…,nk

。第49頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四超市無(wú)色粉色橘黃色綠色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8水平A4A1A2A3樣本觀測(cè)值第50頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四H0:m1=m2=…=

mk

H1:m1

，m2

，…

，mk不全相等記號(hào)：第51頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：拒絕域：第52頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方差分析計(jì)算步驟：1列表計(jì)算平均值水平

A1A2

…

Ak樣本觀測(cè)值

x11x21…

xk1x12x22…

xk2::::::::x1n1

x2n2…

xknk

第53頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方差分析計(jì)算步驟：1列表計(jì)算平均值水平

A1A2

…

Ak樣本觀測(cè)值

x11x21…

xk1x12x22…

xk2::::::::x1n1

x2n2…

xknk平均值

第54頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四手工計(jì)算：當(dāng)樣本觀測(cè)值較大時(shí)，可將每個(gè)數(shù)都減去同一常數(shù)C，然后再進(jìn)行計(jì)算。方差分析計(jì)算步驟：1列表計(jì)算平均值水平

A1A2

…

Ak樣本觀測(cè)值

x11x21…

xk1x12x22…

xk2::::::::x1n1

x2n2…

xknk平均值

x1

x2…

xk－－－第55頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方差來(lái)源平方和自由度F值臨界值顯著性組間誤差SASek-1n-kF0.05(k-1,n-k)F0.01(k-1,n-k)***總和STn-13單因素試驗(yàn)方差分析表2計(jì)算平方和第56頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四表該飲料在五家超市的銷售情況超市無(wú)色粉色橘黃色綠色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8例解第57頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四表四種顏色飲料的銷售量及均值超市(j)水平A(i)無(wú)色(A1)粉色(A2)橘黃色(A3)綠色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8例解第58頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四表四種顏色飲料的銷售量及均值超市(j)水平A(i)無(wú)色(A1)粉色(A2)橘黃色(A3)綠色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8水平均值xi27.3229.5626.4431.46x=28.695例解第59頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ST

=SA

=

Se

=F=方差來(lái)源平方和自由度F值臨界值顯著性組間誤差總和單因素試驗(yàn)方差分析表結(jié)論：(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39.084/16)=10.486第60頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ST

=SA

=

Se

=F=方差來(lái)源平方和自由度F值臨界值顯著性組間誤差76.845539.084總和115.9295單因素試驗(yàn)方差分析表結(jié)論：(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39.084/16)=10.486第61頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ST

=SA

=

Se

=F=方差來(lái)源平方和自由度F值臨界值顯著性組間誤差76.845539.084316總和115.929519單因素試驗(yàn)方差分析表結(jié)論：(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39.084/16)=10.486第62頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ST

=SA

=

Se

=F=方差來(lái)源平方和自由度F值臨界值顯著性組間誤差76.845539.08431610.486F0.05(3,16)=3.24F0.01(3,16)=5.29總和115.929519單因素試驗(yàn)方差分析表結(jié)論：(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39.084/16)=10.486第63頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ST

=SA

=

Se

=F=方差來(lái)源平方和自由度F值臨界值顯著性組間誤差76.845539.08431610.486F0.05(3,16)=3.24F0.01(3,16)=5.29**總和115.929519單因素試驗(yàn)方差分析表結(jié)論：飲料的顏色是對(duì)銷售量有非常顯著影響。(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39.084/16)=10.486第64頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四6.2雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析Xij~N(μij,σ2),

μij=μ+αi+βji=1,2,…,k;j=1,2,…,m。因素B因素A

B1B2…

BmA1A2::Ak

x11x12…

x1mx21x22…

x2m::::::::xk1

xk2…

xkm第65頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四6.2雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析Xij~N(μij,σ2),

μij=μ+αi+βji=1,2,…,k;j=1,2,…,m。因素B因素A

B1B2…

Bm平均值

A1A2::Ak

x11x12…

x1mx21x22…

x2m::::::::xk1

xk2…

xkmx1.x2.

::xk.平均值

x.1

x.2…

x.mx－－－－第66頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四H01:α1=α2=…

=αk=0H11:α1,α2,…,αk不全等于0記號(hào)：H02:β1=β2=…

=βm=0H12:β1,β2,…,βm不全等于0第67頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第68頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四拒絕域檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量第69頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方差來(lái)源平方和自由度F值臨界值顯著性因素A因素BSASBk-1m-1FAFBF0.05、F0.01F0.05、F0.01誤差Se(k-1)(m-1)總和STkm-13.雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)方差分析表計(jì)算步驟：1.列表計(jì)算水平平均值（當(dāng)樣本觀測(cè)值較大時(shí)，可將每個(gè)數(shù)都減去同一常數(shù)C）。2.第70頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四機(jī)器工人B1B2B3A1A2A3A4504748536055525755424449例四個(gè)工人分別操作三臺(tái)機(jī)器各一天，日產(chǎn)量如下表。試檢驗(yàn)工人和機(jī)器對(duì)產(chǎn)品產(chǎn)量是否有顯著影響？第71頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四機(jī)器工人B1B2B3A1A2A3A4504748536055525755424449解第72頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期四機(jī)器工人B1B2B3xi.A1A2A3A4