《空間與圖形》綜合測試卷一、選擇題(每小題3分，共30分)1．下列圖案是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是(A)eq\a\vs4\ac\hs10\co4(,,,,A.,B.,C.,D.)2．如圖所示的工件是由兩個長方體構(gòu)成的組合體，則它的主視圖是(A),(第2題))(第3題)3．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在AB邊上的點(diǎn)B′處，此時，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC的延長線上，下列結(jié)論錯誤的是(C)A.∠BCB′＝∠ACA′B.∠ACB＝2∠BC.∠B′CA＝∠B′ACD.B′C平分∠BB′A′【解析】由旋轉(zhuǎn)可知，∠BCB′＝∠ACA′，BC＝B′C，∠B＝∠A′B′C，∴∠B＝∠BB′C，∴∠ACB＝∠A′CB′＝2∠B，∠BB′C＝∠A′B′C，故A，B，D選項均正確，故選C.(第4題)4．如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四邊形DBFE是菱形，還需要添加的條件是(D)A.AB＝ACB.AD＝BDC.BE⊥ACD.BE平分∠ABC【解析】∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形．當(dāng)BE平分∠ABC時，∠FBE＝∠DBE.∵DE∥BF，∴∠DEB＝∠FBE，∴∠DBE＝∠DEB，∴BD＝DE，∴?DBFE是菱形．(第5題)5．如圖，已知⊙O的半徑為1，銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點(diǎn)D，OM⊥AB于點(diǎn)M.若OM＝eq\f(1,3)，則sin∠CBD的值等于(B)A.eq\f(\r(,3),2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(,2),3)D.eq\f(1,2)【解析】連結(jié)AO.∵⊙O的半徑為1，∴OB＝1.∵銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∴∠C＝eq\f(1,2)∠AOB.∵OM⊥AB，∴∠BMO＝90°，∠BOM＝eq\f(1,2)∠AOB，∴∠C＝∠BOM.∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°＝∠BMO，∴∠CBD＝∠OBM.∵OM＝eq\f(1,3)，∴sin∠CBD＝sin∠OBM＝eq\f(OM,OB)＝eq\f(1,3).(第6題)6．如圖，AB是⊙O的直徑，BT是⊙O的切線，若∠ATB＝45°，AB＝2，則陰影部分的面積是(C)A.2B.eq\f(3,2)－eq\f(1,4)πC.1D.eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)π【解析】設(shè)AT交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)BD.∵BT是⊙O的切線，∴∠ABT＝90°.又∵∠ATB＝45°，∴∠A＝45°.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDT＝90°，∴△ADB，△BDT都是等腰直角三角形，∴AD＝BD＝TD＝eq\f(\r(,2),2)AB＝eq\r(,2)，∴弓形AD的面積等于弓形BD的面積，∴陰影部分的面積＝S△BTD＝eq\f(1,2)×eq\r(,2)×eq\r(,2)＝1.(第7題)7．如圖，在正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，ME⊥AM交AD的延長線于點(diǎn)E.若AB＝12，BM＝5，則DE的長為(B)A.18B.eq\f(109,5)C.eq\f(96,5)D.eq\f(25,3)【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝12，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠EAM＝∠AMB.∵AM⊥ME，∴∠B＝∠AME＝90°，∴△ABM∽△EMA，∴eq\f(AM,BM)＝eq\f(EA,MA).∵AB＝12，BM＝5，∴AM＝eq\r(AB2＋BM2)＝13，∴eq\f(13,5)＝eq\f(EA,13)，∴EA＝eq\f(169,5)，∴DE＝EA－AD＝eq\f(169,5)－12＝eq\f(109,5).(第8題)8．如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BA的延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)是CE上一點(diǎn)，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠E.若∠ACB＝21°，則∠ECD的度數(shù)是(C)A.7°B.21°C.23°D.24°【解析】設(shè)∠ECD＝x.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠E＝∠ECD＝x.∵∠E＝∠FAE＝x，∴∠AFC＝∠E＋∠FAE＝2x＝∠ACF，∴∠BCD＝90°＝21°＋2x＋x，解得x＝23°，即∠ECD＝23°.9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，eq\r(,3))，點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，P為斜邊OB上一動點(diǎn)，則PA＋PC的最小值為(B)A.eq\f(\r(13),2)B.eq\f(\r(31),2)C.eq\f(3＋\r(19),2)D．2eq\r(,7),(第9題)),(第9題解))【解析】如解圖，作點(diǎn)A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D，連結(jié)AD交OB于點(diǎn)M，連結(jié)CD交OB于點(diǎn)P，連結(jié)AP，過點(diǎn)D作DN⊥OA于點(diǎn)N，則此時PA＋PC的值最小．∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD.∵點(diǎn)B(3，eq\r(,3))，∴AB＝eq\r(,3)，OA＝3，∴OB＝2eq\r(,3)，tanB＝eq\r(,3)，∴∠B＝60°，∴AM＝AB·sin60°＝eq\f(3,2)，∴AD＝2×eq\f(3,2)＝3.∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°.∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°.∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(3,2)，∴DN＝eq\f(3,2)eq\r(,3).∵點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，∴CN＝3－eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＝1.在Rt△DNC中，由勾股定理，得DC＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\r(,3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(31),2)，即PA＋PC的最小值是eq\f(\r(31),2).10．觀察圖①，它是把一個三角形分別連結(jié)這個三角形三邊的中點(diǎn)，構(gòu)成4個小三角形，挖去中間的一個小三角形；對剩下的三個小三角形再分別重復(fù)以上做法……將這種做法繼續(xù)下去，則圖⑥中挖去三角形的個數(shù)為(C),(第10題))A.121B.362C.364D.729【解析】由做法可知，圖①挖去三角形的個數(shù)為1，圖②挖去三角形的個數(shù)為1＋31＝4，圖③挖去三角形的個數(shù)為1＋31＋32＝13……∴圖⑥挖去三角形的個數(shù)為1＋31＋32＋33＋34＋35＝364.二、填空題(每小題4分，共24分)(第11題)11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，請任意寫出一組相等的線段：__BC＝BE或DC＝DE__．【解析】∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴BC＝BE，DC＝DE.(第12題)12．如圖，將?ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處．若∠1＝∠2＝50°，則∠A′的度數(shù)為__105°__．【解析】由折疊的性質(zhì)知，∠A′BD＝∠2＝50°，∠A′DB＝∠ADB.∵AD∥BC，∴∠ADA′＝∠1＝50°，∴∠A′DB＝25°，∴∠A′＝180°－∠A′BD－∠A′DB＝105°.13．已知圓錐形工件的底面直徑是40cm，母線長為30cm，則其側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為__240°__．【解析】∵r＝eq\f(1,2)d＝20cm，l＝30cm，∴θ＝eq\f(r,l)·360°＝eq\f(2,3)×360°＝240°.14．如圖，將等邊三角形ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1.若BC＝3，S△PB1C＝eq\r(3)，則BB1＝__1__．【解析】由等邊三角形ABC中BC＝3，可求得S△ABC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(,3),2)＝eq\f(9\r(,3),4).由平移的性質(zhì)，得△ABC∽△PB1C，∴△PB1C與△ABC的面積之比＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(B1C,BC)))eq\s\up12(2)，即eq\f(\r(3),\f(9\r(,3),4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(B1C,3)))eq\s\up12(2)，∴B1C＝2，∴BB1＝BC－B1C＝1.,(第14題)),(第15題))15．如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為1，它的6條對角線又圍成一個正六邊形A2B2C2D2E2F2，如此繼續(xù)下去，則六邊形A4B4C4D4E4F4的面積是__eq\f(\r(,3),18)__．【解析】易得∠B1A1F2＝90°，∠A1B1F2＝30°，∴A1F2＝A1B1·tan30°＝eq\f(\r(,3),3).易得△A1A2F2是等邊三角形，∴A2B2＝A2F2＝A1F2＝eq\f(\r(,3),3)，∴eq\f(A1B1,A2B2)＝eq\r(,3).同理可得eq\f(A1B1,A4B4)＝(eq\r(,3))3.∵正六邊形A1B1C1D1E1F1∽正六邊形A4B4C4D4E4F4，∴eq\f(S正六邊形A1B1C1D1E1F1,S正六邊形A4B4C4D4E4F4)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,（\r(,3)）3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,27).∵S正六邊形A1B1C1D1E1F1＝6×eq\f(\r(,3),4)×12＝eq\f(3\r(,3),2)，∴S正六邊形A4B4C4D4E4F4＝eq\f(\r(,3),18).(第16題)16．如圖，在Rt△ACB中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜邊AB的兩個端點(diǎn)分別在互相垂直的射線OM，ON上滑動．有下列結(jié)論：①若C，O兩點(diǎn)關(guān)于AB對稱，則AO＝2eq\r(,3)；②C，O兩點(diǎn)距離的最大值為4；③若AB平分CO，則AB⊥CO；④斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動的路徑長為eq\f(π,2).其中正確結(jié)論的序號是__①②③__．【解析】在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，∴AB＝4，AC＝2eq\r(,3).若C，O兩點(diǎn)關(guān)于AB對稱，則AB是OC的垂直平分線，∴AO＝AC＝2eq\r(,3)，故①正確．取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)OD，CD.∵∠AOB＝∠ACB＝90°，∴OD＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，∴當(dāng)OC經(jīng)過點(diǎn)D時，OC最大，OC的最大值為4，故②正確．若AB平分CO，設(shè)CO與AB相交于點(diǎn)F，則CF＝OF.∵OD＝CD，∴DF⊥CO，∴AB⊥CO，故③正確．斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動的路徑是以點(diǎn)O為圓心，2為半徑的90°的圓弧，∴l(xiāng)＝eq\f(90π×2,180)＝π，故④錯誤．綜上所述，正確的結(jié)論是①②③.三、解答題(共66分)17．(6分)如圖，已知正七邊形ABCDEFG，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．(1)在圖①中，畫出一個以AB為邊的平行四邊形．(2)在圖②中，畫出一個以AF為邊的菱形．,(第17題))【解析】(1)如解圖①，平行四邊形ABHF即為所求．,(第17題解))(2)如解圖②，菱形ACIF即為所求．(第18題)18．(6分)如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝AD，DG＝DC，E，F(xiàn)分別是BG，AC的中點(diǎn)．求證：DE＝DF且DE⊥DF.【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△BDG和△ADC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝AD，,∠BDG＝∠ADC，,DG＝DC，))∴△BDG≌△ADC(SAS)，∴BG＝AC，∠BGD＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BG，AC的中點(diǎn)，∴DE＝eq\f(1,2)BG＝EG，DF＝eq\f(1,2)AC＝AF，∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD，∴∠EDG＋∠FDA＝∠EGD＋∠FAD＝∠C＋∠FAD＝90°，∴DE⊥DF.綜上所述，DE＝DF且DE⊥DF.19．(8分)為了維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理，如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以50nmile/h的速度向正東方航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1h到達(dá)B處，此時測得燈塔P在北偏東30°方向上．(1)求∠APB的度數(shù)．(2)已知在燈塔P的周圍25nmile內(nèi)有暗礁，問：海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？請說明理由．,(第19題))【解析】(1)∵∠PAB＝90°－60°＝30°，∠ABP＝90°＋30°＝120°，∴∠APB＝180°－120°－30°＝30°.(2)安全．理由如下：過點(diǎn)P作PH⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)H.∵∠PAB＝∠APB＝30°，∴BP＝AP＝50×1＝50(nmile)．在Rt△BPH中，∵∠PBH＝60°，BP＝50nmile，∴PH＝BP·sin60°＝50×eq\f(\r(,3),2)＝25eq\r(,3)(nmile)>25nmile，∴繼續(xù)航行仍然安全．(第20題)20．(8分)如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F，且AF＝BD，連結(jié)BF.(1)求證：D是BC的中點(diǎn)．(2)若AB＝AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論．【解析】(1)∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，∴△EAF≌△EDC(AAS)，∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中點(diǎn)．(2)四邊形AFBD是矩形．證明如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形．∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴?AFBD是矩形．(第21題)21．(8分)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在邊BC上，且AF＝AD，過點(diǎn)D作DE⊥AF，垂足為E.(1)求證：DE＝AB.(2)以點(diǎn)D為圓心，DE長為半徑作圓弧交AD于點(diǎn)G.若BF＝FC＝1，試求eq\o(EG,\s\up8(︵))的長．【解析】(1)∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAE＝∠AFB，∠AED＝∠B.又∵AD＝FA，∴△ADE≌△FAB(AAS)．∴DE＝AB.(2)∵BF＝FC＝1，∴AD＝BC＝BF＋FC＝2.∵△ADE≌△FAB，∴AE＝FB＝1，∴在Rt△ADE中，AE＝eq\f(1,2)AD，∴∠ADE＝30°.又∵DE＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，∴eq\o(EG,\s\up8(︵))的長＝eq\f(nπR,180)＝eq\f(30×π×\r(3),180)＝eq\f(\r(3),6)π.(第22題)22．(8分)如圖，已知AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)O作OP⊥AB，交弦AC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，且使∠PCA＝∠ABC.(1)求證：PC是⊙O的切線．(2)若∠P＝60°，PC＝2，求PE的長．【解析】(1)連結(jié)OC.∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB.又∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA＝∠OCB.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠ACO＋∠PCA＝90°，即∠OCP＝90°.又∵OC為⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線．(2)在Rt△PCO中，∵∠P＝60°，PC＝2，∴OP＝4，OC＝2eq\r(,3)，∴PE＝OP－OE＝OP－OC＝4－2eq\r(,3).23．(10分)我們知道，三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)，過三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交，兩交點(diǎn)之間的線段把這個三角形分成兩個圖形，若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“內(nèi)似線”．(1)等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為__3__．(2)如圖①，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，求證：BD是△ABC的“內(nèi)似線”．(3)如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，且EF是△ABC的“內(nèi)似線”，求EF的長．,(第23題))【解析】(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD＝BC＝AD，∴∠BAD＝∠ABD，∠BDC＝∠C.設(shè)∠A＝x，則∠ABD＝x，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∠C＝2x，∠ABC＝2x，∠CBD＝x.又∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝∠DBC＝36°，∠C＝∠BDC＝72°，∴△ABC∽△BCD.∵∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∴BD過△ABC的內(nèi)心，∴BD是△ABC的“內(nèi)似線”．(3)∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5.作△ABC的內(nèi)接圓⊙O.設(shè)⊙O的半徑為r，則S△ABC＝eq\f(1,2)r·(3＋4＋5)．又∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)×3×4＝6，∴r＝1.分兩種情況討論：①當(dāng)△CEF∽△CAB時，如解圖①，過點(diǎn)O作直線EF∥AB分別交邊AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則EF是△ABC的“內(nèi)似線”，過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，作ON⊥BC于點(diǎn)N，則OM＝ON＝1，且ON∥AC，OM∥BC.易證△EOM∽△ABC∽△OFN，∴eq\f(OE,OM)＝eq\f(BA,BC)＝eq\f(5,3)，eq\f(OF,ON)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(5,4)，∴OE＝eq\f(5,3)，OF＝eq\f(5,4)，∴EF＝eq\f(5,3)＋eq\f(5,4)＝eq\f(35,12).,(第23題解))②當(dāng)△CEF∽△CBA時，如解圖②.同理可得OE＝eq\f(5,4)，OF＝eq\f(5,3)，∴EF＝eq\f(35,12).綜上所述，EF的長為eq\f(35,12).24．(12分)如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6cm，點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，沿OM方向以1cm/s的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時，將