中國(guó)教育出版網(wǎng)六、圖形與圖形的變換徐輝【近四年江蘇省十三大市中考圖形與圖形的變換的分值與比率】(僅供參考)2006年2007年2008年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市75．8321．6786．67蘇州市1512．0097．20107．69無(wú)錫市1310．00118．46107．69常州市54．1775．8397．50鎮(zhèn)江市54．17108．3375．83揚(yáng)州市138．672013．3364．00泰州市106．671812．0074．67南通市75．3864．0096．00鹽城市1510．001912．672315．33淮安市96．921912．672114．00宿遷市138．671510．001711．33徐州市64．0096．00117．33連云港市32．00117．3364．00合計(jì)121156144平均10．087．37139．12128．50【09年江蘇省中考數(shù)學(xué)為全省統(tǒng)一命題，分值為16分，比率為10．7℅】【課標(biāo)要求】1．圖形的初步認(rèn)識(shí)①掌握畫(huà)基本幾何體(直棱柱、圓柱、圓錐、球)的三視圖，會(huì)判斷簡(jiǎn)單物體的三視圖，能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌停诹私庵崩庵?、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，能根據(jù)展開(kāi)圖判斷立體模型．③了解幾何體與其三視圖、展開(kāi)圖(球除外)之間的關(guān)系．④掌握比較角的大小，估計(jì)一個(gè)角的大小，計(jì)算角度的和與差，進(jìn)行度、分、秒簡(jiǎn)單換算．⑤了解角平分線及其性質(zhì)，了解補(bǔ)角、余角、對(duì)頂角；理解等角的余角相等、等角的補(bǔ)角相等、對(duì)頂角相等．⑥了解兩點(diǎn)之間，線段最短；了解經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線．⑦了解垂線、垂線段等概念，垂線段最短的性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離的意義；了解過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線垂直于已知直線．⑧掌握用三角尺或量角器過(guò)一點(diǎn)畫(huà)一條直線的垂線；了解線段垂直平分線及其性質(zhì)．⑨理解平行線的特征和平行線的識(shí)別；了解過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線平行于已知直線；掌握用三角尺和直尺過(guò)已知直線外一點(diǎn)畫(huà)這條直線的平行線．⑩理解平行線之間距離的意義；掌握度量?jī)蓷l平行線之間的距離的方法．2．軸對(duì)稱(chēng)①認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱(chēng)．②理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分的性質(zhì)．③掌握能按要求作簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)過(guò)一次或兩次軸對(duì)稱(chēng)后的圖形．④掌握簡(jiǎn)單圖形之間的軸對(duì)稱(chēng)關(guān)系，并指出對(duì)稱(chēng)軸．⑤掌握基本圖形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓)的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)及相關(guān)性質(zhì)．⑥掌握利用軸對(duì)稱(chēng)進(jìn)行圖案的設(shè)計(jì)．3．平移和旋轉(zhuǎn)①認(rèn)識(shí)平移，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等的性質(zhì)；掌握按要求作簡(jiǎn)單平面圖形平移后的圖形；掌握選用平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)．②認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)(含中心對(duì)稱(chēng))；理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)．③了解平行四邊形、圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形．④掌握按要求作簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形．⑤掌握?qǐng)D形之間的軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合四種關(guān)系形式．⑥掌握運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)．⑦在觀察、操作、推理、歸納等探索過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)說(shuō)理的習(xí)慣與能力．【課時(shí)分布】圖形與圖形的變換在第一輪復(fù)習(xí)時(shí)大約需要3個(gè)課時(shí)，下表為內(nèi)容及課時(shí)安排(僅供參考)課時(shí)數(shù)內(nèi)容1基本圖形的認(rèn)識(shí)1軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形1平移與旋轉(zhuǎn)1圖形與圖形的變換單元測(cè)試與評(píng)析【知識(shí)回顧】1．知識(shí)脈絡(luò)圖形的初步認(rèn)識(shí)圖形的初步認(rèn)識(shí)立體圖形平面圖形視圖平面展開(kāi)圖點(diǎn)和線角相交線平行線圖形之間的變換關(guān)系圖形之間的變換關(guān)系軸對(duì)稱(chēng)平移旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)2．基礎(chǔ)知識(shí)(1)兩點(diǎn)之間線段最短；連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．(2)視圖有正視圖、俯視圖、側(cè)視圖(左視圖、右視圖)．(3)平行線間的距離處處相等．(4)平移是由移動(dòng)的方向和距離決定的．(5)平移的特征：①對(duì)應(yīng)線段平行(或共線)且相等；連結(jié)對(duì)應(yīng)的線段平行(或共線)且相等；②對(duì)應(yīng)角分別相等；③平移后的圖形與原圖形全等．(6)圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度和旋轉(zhuǎn)方向決定．(7)旋轉(zhuǎn)的特征：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；②每一點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了相同的角度；③旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等．圖6-圖6例1如圖6-1-1所示，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1(1)畫(huà)出四邊形OABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的四邊形OA1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn)B1的坐標(biāo)是(2)畫(huà)出四邊形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

90°后得到的四邊形OA2B2C2，并求出點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C2經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)度．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)變化圖形的特征在網(wǎng)格線內(nèi)作圖并寫(xiě)出坐標(biāo)；C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓心角為90o，半徑為3的?。?-1-2【答案】(1)如圖6-1-2，B16(2)如圖L＝＝．【說(shuō)明】這是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)變化與坐標(biāo)結(jié)合的題目，重點(diǎn)考察學(xué)生的動(dòng)手操作能力和坐標(biāo)的知識(shí)．在圖形中獲得已知條件，考察學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力．例2正方形綠化場(chǎng)地?cái)M種植兩種不同顏色的花卉，要求種植的花卉能組成軸對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)圖案．如圖6－2－1中有三種不同設(shè)計(jì)方案中的一部分，請(qǐng)把圖6－2－1中的圖①、圖②補(bǔ)成既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，并畫(huà)出一條對(duì)稱(chēng)軸；把圖③補(bǔ)成只是中心對(duì)稱(chēng)圖形，并把中心標(biāo)上字母P．(在你所設(shè)計(jì)的圖案中用陰影部分和非陰影部分表示兩種不同顏色的花卉．)圖圖6圖①圖②圖③【分析】可先確定好對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心來(lái)作圖．圖圖6【解】如圖所示【說(shuō)明】本題考察學(xué)生運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)的能力．也讓學(xué)生感悟?qū)ΨQ(chēng)的美．這是中考一種新題型，在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起重視．例3如圖6-3，直線l1⊥l2，垂足為，是直線l1上兩點(diǎn)，且，，直線繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為(0＜＜180)圖6-3．．．．．．ABBAEO(1)當(dāng)＝60圖6-3．．．．．．ABBAEO(2)當(dāng)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，直線l2上存在點(diǎn)，使得是以點(diǎn)為底的等腰三角形，請(qǐng)用不等式表示的取值范圍．【分析】(1)本小題有兩種情況：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥l2，當(dāng)＝60時(shí)，BE＝1，，所以的值應(yīng)該有兩解．(2)由于AB＝eq\r(2)，若l2上存在點(diǎn)P，使得△BPA是以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的等腰三角形，那么點(diǎn)B到l2的最大距離為，即0＜BE≤eq\r(2)，從而的最小值為45，最大值為135，且AB與l2不重合．【答案】(1)或；(2)45≤≤135且≠90【說(shuō)明】本題是圖形的旋轉(zhuǎn)與解直角三角形相結(jié)合的問(wèn)題，在變化過(guò)程中的長(zhǎng)是不變量，通過(guò)兩個(gè)特殊的位置，從變化中尋找不變的情形，化復(fù)雜圖形為基本圖形，通過(guò)解直角三角形解得最終結(jié)果．例4如圖6－4，將正方形沿圖中虛線(其中x＜y)剪成①②③④四塊圖形，用這四塊圖形恰能拼成一個(gè)矩形(非正方形)．(1)畫(huà)出拼成的矩形的簡(jiǎn)圖；(2)若拼成后的矩形周長(zhǎng)為4，求的值．yyxxyy①x+yx+y②③④圖6-4【分析】yyxxyy①x+yx+y②③④圖6-4【解】(1)(2)由題設(shè)：整理得：①整理得：②把②代入①整理得：解得：因?yàn)?＜x＜y，所以．【說(shuō)明】根據(jù)圖形的基本特征把圖形進(jìn)行重組，要求學(xué)生有較強(qiáng)的動(dòng)手能力；從圖形中尋找等量關(guān)系，用方程思想解決問(wèn)題，這是我們常用的解題方法之一．例5在我們學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)教科書(shū)中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過(guò)程是：第一步：對(duì)折矩形紙片ABCD與BC合，得到折痕EF把紙片展開(kāi)(如圖6-56-5-16-5-2第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A在EF66請(qǐng)解答以下問(wèn)題：(1)如圖6-5-2，若延長(zhǎng)MN于P(2)在圖6-5-2中，若，，,滿(mǎn)足什么關(guān)系，才能在矩形紙片上剪出符合(1)中結(jié)論的三角形紙片BMP？【分析】利用中垂線的特征和翻折后圖形全等得到AN＝BN＝AB,由等邊三角形可知相關(guān)的角的度數(shù),從而得出結(jié)論．【解】(1)是等邊三角形．證明：連結(jié)AN∵垂直平分，∴，由折疊知，∴．∴為等邊三角形，∴ABN＝60，∴PBN＝30．又∵ABM＝NBM＝30，BNM＝A＝90∴BPN＝60，＝60，∴MBP＝60，∴＝60，∴△BMP為等邊三角形．(2)要在矩形紙片ABCD上剪出等邊△BMP，則BC≥BP在Rt△BNP中，，PBN＝30∴BP＝eq\s\do(\f(a,cos30))∴b≥eq\s\do(\f(a,cos30))∴a≤eq\s\do(\f(\r(3),2))b∴當(dāng)a≤eq\s\do(\f(\r(3),2))b時(shí)，在矩形上能剪出這樣的等邊△BMP．【說(shuō)明】在動(dòng)手操作的過(guò)程中，會(huì)產(chǎn)生很多的已知條件如：垂直平分，全等并利用這些已知條件解決問(wèn)題．在學(xué)習(xí)的過(guò)程中我們要注意培養(yǎng)學(xué)生從“形”到“數(shù)”，從“動(dòng)手操作”到“建模解題”的能力．例6已知一個(gè)直角三角形OBC，其中∠AOB＝90，OA＝2，OB＝4．如圖6－6－1，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．(1)若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B，設(shè)OB＝x，OC＝y(tǒng)，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍；(3)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，且使B′D∥OB，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．BOACBOACDy【解】(1)如圖6－6－1，折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，則△ACD≌△BCD．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，m)(m＞0)．則BC＝OB－OC＝4－m．于是AC＝BC＝4－m．在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2＝OC2＋OA2，即(4－m)2＝m2＋22，解得m＝eq\s\do(\f(3,2))．x圖6-6-1∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，eq\s\do(\f(3x圖6xyBOADCB/圖6-6-2(2)xyBOADCB/圖6則△BCD≌△BCD．由題設(shè)OB＝x，OC＝y(tǒng)，則B’C＝BC＝OB－OC＝4－y在Rt△BOC中，由勾股定理，得BC2＝OC2＋OB2．∴(4－y)2＝y(tǒng)2＋x2，即y＝－eq\s\do(\f(1,8))x2＋2由點(diǎn)B′在邊OA上，有0≤x≤2，∴解析式y(tǒng)＝－eq\s\do(\f(1,8))x2＋2(0≤x≤2)為所求．當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，∴y的取值范圍為eq\s\do(\f(3,2))≤y≤2．(3)如圖6－6－3，折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B?，且B?D∥OB則∠OCB?＝∠CB?D．又∵∠CBD＝∠CB?D,∴∠OCB?＝∠CBD，有CB?∥BA．∴Rt△COB?∽R(shí)t△BOA．有，得OC＝2OB?在Rt△B?OC中，圖6-6-3xyBOACDB”設(shè)OB?圖6xyBOACDB”由(2)的結(jié)論，得2＝－＋2，解得．∵x0＞0,∴．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，8－16)．【說(shuō)明】(1)利用圖形的翻折前后的全等關(guān)系，以及相似三角形、直角三角形的相關(guān)于知識(shí)，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，要求學(xué)生會(huì)用變換的觀點(diǎn)了看待問(wèn)題，并能找出變化過(guò)程中的相等的量以及等量關(guān)系，通過(guò)函數(shù)、方程知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題．(2)將圖形變換與坐標(biāo)系相結(jié)合是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的題型，我們?cè)趶?fù)習(xí)中(特別是綜合訓(xùn)練時(shí))要適當(dāng)進(jìn)行強(qiáng)化．例7如圖6-7-1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．我們探究下列圖中線段(1)①猜想如圖6-7-1中線段②將圖6-7-1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到圖6-7-2、圖6-7-3情形．請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖6-7圖6-7-1圖6-7-3圖6-7-2(2)將原題中正方形改為矩形(如圖6-7-4)，且AB＝a，圖6圖6圖6(3)在第(2)題圖6-7-5中，連結(jié)，，且a＝3，b＝2，k＝eq\s\do(\f(1,2))，求BE2＋DG2的值．圖圖6圖6圖6【分析】第(1)題是一道正方形與旋轉(zhuǎn)變換相結(jié)合的問(wèn)題，常與勾股定理、全等三角形相聯(lián)系．第(2)題是把正方形改成了長(zhǎng)方形．,其研究的方法沒(méi)變．6-7-2【解】(1)①6在圖6-∵四邊形、四邊形都是正方形，，，∴∴(SAS)．∴．又∵，∴．∴DOH＝90∴．(2)成立，不成立．簡(jiǎn)要說(shuō)明如下∵四邊形、四邊形都是矩形，且，，，(，)，∴，．∴，∴∽，∴．又∵．∴．∴．∴．(3)∵∴．又∵，，，∴．∴．【說(shuō)明】在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的變與不變，變化的僅是圖形的位置，變中有不變．我們只要選取其中的一種情形來(lái)證明就可以．另外要加強(qiáng)變式與引申訓(xùn)練，讓學(xué)生舉一反三、觸類(lèi)旁通．【復(fù)習(xí)建議】1．立足教材，理清概念，通過(guò)復(fù)習(xí)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握?qǐng)D形與圖形變換的基本知識(shí)、基本方法和基本技能．2．重視平移、旋轉(zhuǎn)、折疊、