第1講空間幾何體考情解讀1.以三視圖為載體，考查空間幾何體面積、體積的計算.2.考查空間幾何體的側(cè)面展開圖及簡單的組合體問題．1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關(guān)系2．空間幾何體的三視圖(1)三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影形成的平面圖形．(2)三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖一樣；側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度和正視圖一樣，寬度與俯視圖一樣．(3)畫三視圖的基本要求：正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬，正側(cè)一樣高．看不到的線畫虛線．3．直觀圖的斜二測畫法空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．空間幾何體的兩組常用公式(1)柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式：①S柱側(cè)＝ch(c為底面周長，h為高)；②S錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′(c為底面周長，h′為斜高)；③S臺側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c′，c分別為上，下底面的周長，h′為斜高)；④S球表＝4πR2(R為球的半徑)．(2)柱體、錐體和球的體積公式：①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；②V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；③V臺＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h(不要求記憶)；④V球＝eq\f(4,3)πR3.熱點一三視圖與直觀圖例1某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(8,3) B．8C.eq\f(32,3) D．16(2)(2013·四川)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()思維啟迪(1)根據(jù)三視圖確定幾何體的直觀圖；(2)分析幾何體的特征，從俯視圖突破．答案(1)B(2)D解析(1)由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖：則該幾何體的體積V＝eq\f(1,2)×2×2×4＝8.(2)由俯視圖易知答案為D.思維升華空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果．(1)(2013·課標(biāo)全國Ⅱ)一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為()(2)將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()答案(1)A(2)D解析(1)根據(jù)已知條件作出圖形：四面體C1－A1DB，標(biāo)出各個點的坐標(biāo)如圖(1)所示，可以看出正視圖為正方形，如圖(2)所示．故選A.(2)如圖所示，點D1的投影為C1，點D的投影為C，點A的投影為B，故選D.熱點二幾何體的表面積與體積例2(1)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．(2)如圖，在棱長為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在C1D1與C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，連接EF，F(xiàn)B，DE，則幾何體EFC1－DBC的體積為()A．66 B．68C．70 D．72思維啟迪(1)由三視圖確定幾何體形狀；(2)對幾何體進(jìn)行分割．答案(1)eq\f(π,6)(2)A解析(1)由三視圖可知，該幾何體是一個半圓錐，底面半圓半徑是1，半圓錐的高為1.由圓錐的體積公式，可以得該半圓錐的體積V＝eq\f(1,2)·eq\f(1,3)π·12·1＝eq\f(π,6).

(2)如圖，連接DF，DC1，那么幾何體EFC1－DBC被分割成三棱錐D－EFC1及四棱錐D－CBFC1，那么幾何體EFC1－DBC的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×6＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求幾何體EFC1－DBC的體積為66.思維升華(1)利用三視圖求解幾何體的表面積、體積，關(guān)鍵是確定幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)，掌握應(yīng)用三視圖的“長對正、高平齊、寬相等”；(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用“割補(bǔ)”的思想．多面體MN－ABCD的底面ABCD為矩形，其正視圖和側(cè)視圖如圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則該多面體的體積是()A.eq\f(16＋\r(3),3) B.eq\f(8＋6\r(3),3)C.eq\f(16,3) D.eq\f(20,3)答案D解析過M，N分別作兩個垂直于底面的截面，將多面體分割成一個三棱柱和兩個四棱錐，由正視圖知三棱柱底面是等腰直角三角形，面積為S1＝eq\f(1,2)×2×2＝2，高為2，所以體積為V1＝4，兩個四棱錐為全等四棱錐，棱錐的體積為V1＝2×eq\f(1,3)×2×1×2＝eq\f(8,3)，所以多面體的體積為V＝eq\f(8,3)＋4＝eq\f(20,3)，選D.熱點三多面體與球例3如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的頂點在同一個球面上，則該球的體積為()A.eq\f(\r(3),2)πB．3πC.eq\f(\r(2),3)πD．2π思維啟迪要求出球的體積就要求出球的半徑，需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)和空間位置關(guān)系確定球心的位置，由于△BCD是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：斜邊的中點到三角形各個頂點的距離相等，只要再證明這個點到點A的距離等于這個點到B，C，D的距離即可確定球心，進(jìn)而求出球的半徑，根據(jù)體積公式求解即可．答案A解析如圖，取BD的中點E，BC的中點O，連接AE，OD，EO，AO.由題意，知AB＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD，所以AE⊥平面BCD.因為AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，所以AE＝eq\f(\r(2),2)，EO＝eq\f(1,2).所以O(shè)A＝eq\f(\r(3),2).在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(3),2)，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為eq\f(\r(3),2).所以該球的體積V＝eq\f(4,3)π(eq\f(\r(3),2))3＝eq\f(\r(3),2)π.故選A.思維升華多面體與球接、切問題求解策略(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，則4R2＝a2＋b2＋c2求解．(1)(2014·湖南)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示．將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于()A．1 B．2C．3 D．4(2)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，則該幾何體的體積是________；若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則球的表面積是________．答案(1)B(2)eq\f(1,3)3π解析(1)由三視圖可知該幾何體是一個直三棱柱，如圖所示．由題意知，當(dāng)打磨成的球的大圓恰好與三棱柱底面直角三角形的內(nèi)切圓相同時，該球的半徑最大，故其半徑r＝eq\f(1,2)×(6＋8－10)＝2.因此選B.(2)由三視圖可知，該幾何體是四棱錐P－ABCD(如圖)，其中底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝1，∴該四棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)×1×1×1＝eq\f(1,3).又PC為其外接球的直徑，∴2R＝PC＝eq\r(3)，則球的表面積為S＝4πR2＝3π.1．空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計算時要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”．多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和．2．在體積計算中都離不開空間幾何體的“高”這個幾何量(球除外)，因此體積計算中的關(guān)鍵一環(huán)就是求出這個量．在計算這個幾何量時要注意多面體中的“特征圖”和旋轉(zhuǎn)體中的軸截面．3．一些不規(guī)則的幾何體，求其體積多采用分割或補(bǔ)形的方法，從而轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體，而補(bǔ)形又分為對稱補(bǔ)形(即某些不規(guī)則的幾何體，若存在對稱性，則可考慮用對稱的方法進(jìn)行補(bǔ)形)、還原補(bǔ)形(即還臺為錐)和聯(lián)系補(bǔ)形(某些空間幾何體雖然也是規(guī)則幾何體，不過幾何量不易求解，可根據(jù)其所具有的特征，聯(lián)系其他常見幾何體，作為這個規(guī)則幾何體的一部分來求解)．4．長方體的外接球(1)長、寬、高分別為a、b、c的長方體的體對角線長等于外接球的直徑，即eq\r(a2＋b2＋c2)＝2R；(2)棱長為a的正方體的體對角線長等于外接球的直徑，即eq\r(3)a＝2R.真題感悟1．(2014·北京)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，eq\r(2))．若S1，S2，S3分別是三棱錐D－ABC在xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則()A．S1＝S2＝S3 B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2 D．S3＝S2且S3≠S1答案D解析如圖所示，△ABC為三棱錐在坐標(biāo)平面xOy上的正投影，所以S1＝eq\f(1,2)×2×2＝2.三棱錐在坐標(biāo)平面yOz上的正投影與△DEF(E，F(xiàn)分別為OA，BC的中點)全等，所以S2＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2).三棱錐在坐標(biāo)平面xOz上的正投影與△DGH(G，H分別為AB，OC的中點)全等，所以S3＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2).所以S2＝S3且S1≠S3.故選D.2．(2014·江蘇)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________．答案eq\f(3,2)解析設(shè)兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，則eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，則eq\f(h1,h2)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(3,2).押題精練1．把邊長為eq\r(2)的正方形ABCD沿對角線BD折起，連接AC，得到三棱錐C－ABD，其正視圖、俯視圖均為全等的等腰直角三角形(如圖所示)，則其側(cè)視圖的面積為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\f(\r(2),2)答案B解析在三棱錐C－ABD中，C在平面ABD上的投影為BD的中點O，∵正方形邊長為eq\r(2)，∴AO＝OC＝1，∴側(cè)視圖的面積為S△AOC＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2).2．在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面積分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，則三棱錐A－BCD的外接球體積為()A.eq\r(6)πB．2eq\r(6)πC．3eq\r(6)πD．4eq\r(6)π答案A解析如圖，以AB，AC，AD為棱把該三棱錐擴(kuò)充成長方體，則該長方體的外接球恰為三棱錐的外接球，∴三棱錐的外接球的直徑是長方體的體對角線長．據(jù)題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB·AC＝\r(2)，,AC·AD＝\r(3)，,AB·AD＝\r(6)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝\r(2)，,AC＝1，,AD＝\r(3)，))∴長方體的體對角線長為eq\r(AB2＋AC2＋AD2)＝eq\r(6)，∴三棱錐外接球的半徑為eq\f(\r(6),2).∴三棱錐外接球的體積為V＝eq\f(4,3)π·(eq\f(\r(6),2))3＝eq\r(6)π.(推薦時間：50分鐘)一、選擇題1．已知正三棱錐V－ABC的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖的面積為()A．2 B．4C．6 D．8答案C解析如圖，作出正三棱錐V－ABC的直觀圖，取BC邊的中點D，連接VD，AD，作VO⊥AD于O.結(jié)合題意，可知正視圖實際上就是△VAD，于是三棱錐的棱長VA＝4，從俯視圖中可以得到底面邊長為2eq\r(3)，側(cè)視圖是一個等腰三角形，此三角形的底邊長為2eq\r(3)，高為棱錐的高VO.由于VO＝eq\r(42－\f(2,3)×2\r(3)×\f(\r(3),2)2)＝2eq\r(3).于是側(cè)視圖的面積為eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6，故選C.2．右圖是棱長為2的正方體的表面展開圖，則多面體ABCDE的體積為()A．2 B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(8,3)答案D解析多面體ABCDE為四棱錐，利用割補(bǔ)法可得其體積V＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，選D.3．如圖，某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，側(cè)視圖是平行四邊形，則該幾何體的體積為()A．15＋3eq\r(3) B．9eq\r(3)C．30＋6eq\r(3) D．18eq\r(3)答案B解析由三視圖知幾何體是一個底面為3的正方形，高為eq\r(3)的斜四棱柱，所以V＝Sh＝3×3×eq\r(3)＝9eq\r(3).4．已知正四棱錐的底面邊長為2a，其側(cè)(左)視圖如圖所示．當(dāng)正(主)視圖的面積最大時，該正四棱錐的表面積為()A．8 B．8＋8eq\r(2)C．8eq\r(2) D．4＋8eq\r(2)答案B解析由題意可知該正四棱錐的直觀圖如圖所示，其主視圖與左視圖相同，設(shè)棱錐的高為h，則a2＋h2＝4.故其主視圖的面積為S＝eq\f(1,2)·2a·h＝ah≤eq\f(a2＋h2,2)＝2，即當(dāng)a＝h＝eq\r(2)時，S最大，此時該正四棱錐的表面積S表＝(2a)2＋4×eq\f(1,2)×2a×2＝8＋8eq\r(2)，故選B.5．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，側(cè)視圖是半徑為1的半圓，該幾何體的體積為()A.eq\f(\r(3),3)πB.eq\f(\r(3),6)πC.eq\f(\r(3),2)πD.eq\r(3)π答案A解析三視圖復(fù)原的幾何體是圓錐沿軸截面截成兩部分，然后把截面放在平面上，底面相對接的圖形，圓錐的底面半徑為1，母線長為2，故圓錐的高為h＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).易知該幾何體的體積就是整個圓錐的體積，即V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.故選A.6．(2014·大綱全國)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為()A.eq\f(81π,4)B．16πC．9πD.eq\f(27π,4)答案A解析如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，則Rt△AOF中，(4－r)2＋(eq\r(2))2＝r2，解得r＝eq\f(9,4)，∴該球的表面積為4πr2＝4π×(eq\f(9,4))2＝eq\f(81,4)π.二、填空題7．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________．答案2＋eq\f(\r(2),2)解析如圖，在直觀圖中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).而四邊形AECD為矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可還原原圖形如圖．在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴這塊菜地的面積為S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×(1＋1＋eq\f(\r(2),2))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).8．如圖，側(cè)棱長為2eq\r(3)的正三棱錐V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，過A作截面△AEF，則截面△AEF的周長的最小值為____________．答案6解析沿著側(cè)棱VA把正三棱錐V－ABC展開在一個平面內(nèi)，如圖．則AA′即為截面△AEF周長的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°.在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6，故答案為6.9．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1－EDF的體積為______．答案eq\f(1,6)解析＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).10．已知矩形ABCD的面積為8，當(dāng)矩形周長最小時，沿對角線AC把△ACD折起，則三棱錐D－ABC的外接球的表面積等于________．答案16π解析設(shè)矩形的兩鄰邊長度分別為a，b，則ab＝8，此時2a＋2b≥4eq\r(ab)＝8eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2eq\r(2)時等號成立，此時四邊形ABCD為正方形，其中心到四個頂點的距離相等，均為2，無論怎樣折疊，其四個頂點都在一個半徑為2的球面上，這個球的表面積是4π×22＝16π.三、解答題11．已知某幾何體的