23.4.中位線

第23章圖形的相似

駛向勝利的彼岸

怎樣將一張三角形硬紙片剪成兩部分,使分成的兩部分能拼成一個(gè)平行四邊形?請(qǐng)動(dòng)手試一試!做一做復(fù)習(xí)：ABCEF..D.中位線中線什么是三角形的中線？（連結(jié)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線段）設(shè)疑：如果連結(jié)兩邊中點(diǎn)的線段呢？ABCDEDE是三角形ABC的中位線

什么叫三角形的中位線呢？三角形的中位線

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。ABC畫(huà)出△ABC中所有的中位線畫(huà)出三角形的所有中線并說(shuō)出中位線和中線的區(qū)別.DEF中位線是兩條邊中點(diǎn)的連線，而中線是一個(gè)頂點(diǎn)與其對(duì)邊中點(diǎn)的連線．友情提醒：

理解三角形的中位線定義的兩層含義:②如果DE為△ABC的中位線，那么D、E分別為AB、AC的

。①如果D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，那么DE為△ABC的

；CBAED中位線中點(diǎn)觀察猜想

在△ABC中，中位線DE和邊BC什么關(guān)系?DE和邊BC關(guān)系數(shù)量關(guān)系：位置關(guān)系：DE∥BCABCDE平行DE是BC的一半結(jié)論：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.DABCE

如圖：在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)。則有：DE∥BC,DE=BC.21能說(shuō)出理由嗎?

如圖：在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)。則有：DE∥BC,DE=BC.21說(shuō)一說(shuō)DABCE三角形的中位線的性質(zhì)

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半用符號(hào)語(yǔ)言表示DABCE∵DE是△ABC的中位線∴DE∥BC，DE=BC.21例1 求證三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．已知：如圖24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，

BE＝EC，AF＝FC．求證：AE、DF互相平分．證明 連結(jié)DE、EF．∵

AD＝DB，BE＝EC，∴

DE∥AC（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）．同理EF∥AB．∴四邊形ADEF是平行四邊形．∴

AE、DF互相平分（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）．

例2

如圖，△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，AD、CE相交于G．求證：證明 :連結(jié)ED，

∵

D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，∴

DE∥AC，∴△ACG∽△DEG，∴

∴

如果在上圖中，?。粒玫闹悬c(diǎn)Ｆ，假設(shè)ＢＦ與ＡＤ交于Ｇ`，如下圖，那么我們同理有所以有，即兩圖中的點(diǎn)G與G`是重合的。于是我們有以下結(jié)論：三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三形的重心。重心與一邊中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的ABCDG`數(shù)學(xué)上的重心與物理上的重心是一致的F

順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)所得的四邊形是什么圖形？

已知：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).

猜想：四邊形EFGH是什么圖形.

已知：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).

求證：四邊形EFGH是平行四邊形.證明：連結(jié)AC.∵AH=HD，CG=GD∴HG∥AC,HG=AC

同理EF∥ACEF=AC∴HG∥EFHG=EF∴四邊形EFGH是平行四邊形.④順次連結(jié)對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是—————一些重要結(jié)論:②順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是————③順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是————①順次連結(jié)四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是———————平行四邊形.矩形.菱形.正方形.下小結(jié)1.三角形的中位線定義.2.三角形的中位線定理.3.三角形的中位線定理不僅給出了中位線與第三邊的