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Matlab求解金屬槽槽內(nèi)電位分布

摘要

運(yùn)用有限差分法將場域離散為大量小網(wǎng)格，將求解連續(xù)函數(shù)?的泊松方程的問題換為求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上?的差分方程組的問題。用matlab程序計(jì)算出槽內(nèi)電位分

布的結(jié)果。通過數(shù)值解和確切解的比較來驗(yàn)證有限差分法的可行性。

關(guān)鍵詞:有限差分法;Matlab；金屬槽槽內(nèi)電位

SolvingthemetalslotspotentialwithMatlab

Abstract:Usingthefinitedifferencemethod(FDM)fieldisdiscretedintomany

smallgrid,transformingtheproblemsolvingpoissonequationwithcontinuousfunction?forsolvingthedifferentialequationsofgridnode?.WeuseMatlabprogramtocalculatethepotentialdistributioninslotresults.Thevaluesgotfromthesetwomethodsarecompared,whichwouldbeavalidationofthefeasibilityoftheFiniteDifferenceMethod.

1引言

如圖1所示，尺寸為a×a的正方形金屬導(dǎo)體槽三面接地，上方是一塊密實(shí)的但與之絕緣的金屬蓋板，其電位??100V，求槽內(nèi)電位的分布狀況。這是二維靜態(tài)場域的邊值問題，在直角坐標(biāo)系中，接地導(dǎo)體矩形槽中的電位函數(shù)p滿足拉

?2??2?普拉斯方程2?2?0。

?x?y

Yaa圖1正方形金屬槽

其邊界條件滿足第一類邊界條件問題

X

?(x,y)x?0?0?(x,y)

x?a?0

?(x,y)y?0?0?(x,yy)?a?100我們由此可求出矩形導(dǎo)體槽內(nèi)電位的分布數(shù)值解．

將金屬槽內(nèi)場域D用正方形網(wǎng)格進(jìn)行粗略劃分，其網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)分布如圖2所示網(wǎng)格間距為h=a/4,各邊的節(jié)點(diǎn)數(shù)為L+1=5.

543212345

圖2網(wǎng)格劃分

2求解2.1數(shù)值解求解過程

由于本文采用的是超松弛迭代法的差分方程形式，現(xiàn)給出公式

?(n?1)i,j??(n)i,j?w(4?(n)i?1,j??(n)i,j?1??(n?1)i?1,j??(n?1)i,j?1?hfi,j?42?(n)i,j)（2.1）

進(jìn)行迭代，由于滿足拉普拉斯方程故f=0。對于正方形長于的第一類邊值問題，最正確的?值可選為

?0=2/[1+sin(?/L)],（2.2）

故本文中?0=1.17。對槽內(nèi)的電位初值設(shè)置為0，規(guī)定當(dāng)各網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)相鄰兩次迭代近似值小于10。

對于以上探討可編寫如下程序作為參考：%May27thmyarmy

%NumericalresultsforMetalslotpotentialclearclc

L=4;%L為分的段數(shù)fori=2:L+1forj=1:L+1d1(i,j)=0;

-6

endend

d1(1,L+1)=0;d1(L+1,L+1)=0;d1(1,2:L)=100;d2=d1;

w=2/(1+sin(pi/L));wc=1;k=0;t=0;whilewc>1e-6k=k+1;fori=2:Lforj=2:L

d2(i,j)=d1(i,j)+(d1(i+1,j)+d1(i,j+1)+d2(