第三講

隨機(jī)變量的數(shù)字特征－－以統(tǒng)計(jì)的眼光看問(wèn)題1你們喜歡那個(gè)圖？21隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望矩相關(guān)理論特征函數(shù)一維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量n維隨機(jī)變量隨機(jī)矢量的函數(shù)條件數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量關(guān)于某個(gè)給定值的條件數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量關(guān)于另一個(gè)隨機(jī)變量的條件數(shù)學(xué)期望離散型連續(xù)型數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)23新3§1.5隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.5.1隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望一、一維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望4例1.22隨機(jī)變量X在區(qū)間(a,b)上均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望。解：由于X服從均勻分布，概率密度為無(wú)論g(·)是單值還是多值變換，函數(shù)g(X)的期望為：函數(shù)的期望5三、二維隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1、二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)二維隨機(jī)變量(X1,X2)的聯(lián)合概率密度已知，其二維概率質(zhì)量分布的“重心坐標(biāo)”應(yīng)該為62、二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望當(dāng)(X,Y)是離散隨機(jī)變量時(shí)，函數(shù)的期望為7例1.23設(shè)n維隨機(jī)變量X1,…,Xn

的函數(shù)其中權(quán)重ai

是常數(shù)。求函數(shù)的期望即，隨機(jī)變量和的期望＝隨機(jī)變量期望的和8例1.24設(shè)n維隨機(jī)變量X1,…,Xn的函數(shù)其中n個(gè)變量獨(dú)立。求函數(shù)的期望即，獨(dú)立隨機(jī)變量積的期望＝獨(dú)立隨機(jī)變量期望的積9六、數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)(1)

若a≤X≤b,(a,b為常數(shù)),則a≤E[X]≤b(2)

常數(shù)C的期望

E[C]=C(3)

(ai，b為任意常數(shù))(4)若X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，則(5)若X與Y互不相關(guān)，則101.5.2條件數(shù)學(xué)期望設(shè)(X,Y)是定義在同一概率空間上的二維連續(xù)型隨機(jī)變量。若已知Y關(guān)于X的條件概率密度，則由期望的定義可得Y關(guān)于X的條件期望。一、隨機(jī)變量關(guān)于某給定值的條件期望11同理有：12二、一個(gè)隨機(jī)變量關(guān)于另一個(gè)隨機(jī)變量的條件期望13例1.25已知隨機(jī)變量X服從(0,1)的均勻分布，隨機(jī)變量Y服從(X,1)上的均勻分布。求：條件期望①，②解：①根據(jù)已知條件，在給定條件下，隨機(jī)變量Y的條件概率密度由上可以看出，是關(guān)于給定值的函數(shù)。條件期望②用隨機(jī)變量X替換給定值，則條件期望是隨機(jī)變量X的函數(shù)，也是個(gè)隨機(jī)變量。因?yàn)殡S機(jī)變量X服從(0,1)的均勻分布，函數(shù)1＋X服從(1,2)的均勻分布，則函數(shù)(1＋X)/2服從(1/2，1)的均勻分布，即服從(1/2，1)的均勻分布。141.5.3隨機(jī)變量的矩和方差一、隨機(jī)變量的矩1)k階原點(diǎn)矩2)k階中心矩3)n＋k階聯(lián)合原點(diǎn)矩4)n＋k階聯(lián)合中心矩153、方差的性質(zhì)

D[C]=0C為常數(shù)時(shí)

D[X]≥0

D[CX]=C2

D[X]僅當(dāng)X1,…,Xn互不相關(guān)時(shí)，

D[X1±X2±……±Xn]=D[X1]+D[X2]+…+D[Xn](5)對(duì)于一切實(shí)數(shù)μ

，有16四、隨機(jī)矢量的方差171.5.4相關(guān)、正交、獨(dú)立

一、相關(guān)系數(shù)1、兩個(gè)隨機(jī)變量相互關(guān)系的描述①若X與Y獨(dú)立，X的取值與Y的取值沒(méi)有任何關(guān)系，則X與Y在xy平面上沒(méi)有樣本點(diǎn)(x,y)存在。②若X與Y相關(guān)，對(duì)于X取的每一個(gè)值都有Y取的值與其對(duì)應(yīng)。因此，X與

Y在xy平面上有樣本點(diǎn)(x,y)存在。18相關(guān)系數(shù)的引入在實(shí)際中，描述X和Y的相互關(guān)系最簡(jiǎn)單的方法散布圖相關(guān)線性相關(guān)非線性相關(guān)找到逼近其散布點(diǎn)密集分布的一條回歸線（某種曲線）

直線曲線19線性回歸法20a，b參數(shù)的確定極小點(diǎn)

212、X與Y之間線性相關(guān)系數(shù)的定義：3、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：22二、不相關(guān)、獨(dú)立、正交232、不相關(guān)、獨(dú)立和正交的關(guān)系24不相關(guān)、獨(dú)立和正交的關(guān)系：獨(dú)立互不相關(guān)一定不能得出正交不存在必然關(guān)系由計(jì)算推出關(guān)系25例1.27261.5.5隨機(jī)變量的特征函數(shù)一、特征函數(shù)定義27二、特征函數(shù)的性質(zhì)1.有界性：

︱QX(u)︱≤QX(0)=12、連續(xù)性：特征函數(shù)QX(u)是實(shí)變量u在上的連續(xù)函數(shù)。3、特征函數(shù)是實(shí)變量u的復(fù)值函數(shù)證明：285、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和的特征函數(shù)等于各個(gè)變量特征函數(shù)的乘積4、函數(shù)的特征函數(shù)當(dāng)X的特征函數(shù)QX(u)已知時(shí)，函數(shù)Y=aX+b的特征函數(shù)QY(u)獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的期望＝期望的乘積29特征函數(shù)性質(zhì)6(1)若X的n階絕對(duì)矩存在，則它的特征函數(shù)QX(u)有n階導(dǎo)數(shù)存在(2)且當(dāng)1≤k≤n時(shí)，有證明（1）：

X的n階絕對(duì)矩存在指30特征函數(shù)性質(zhì)731例1.30求高斯變量的特征函數(shù)=復(fù)變函數(shù)積分的應(yīng)用公式32例1.31求二項(xiàng)分布的特征函數(shù)、期望、方差。二項(xiàng)分布Y代表n重貝努利試驗(yàn)(n次重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn))中某隨機(jī)事件A發(fā)生的次數(shù)。設(shè)：p－每次試驗(yàn)中A事件發(fā)生的概率。

q=(1-p)－每次試驗(yàn)中A事件不發(fā)生的概率。33三、特征函數(shù)與概率密度的關(guān)系34標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布1.一般正態(tài)分布§1.6高斯分布一、一維高斯分布352、高斯變量的n階矩標(biāo)準(zhǔn)高斯變量X的n階矩一般高斯變量Y的n階中心矩36二、n維高斯分布若在同一個(gè)概率空間上的n個(gè)隨機(jī)變量(X1,…,Xn)均為高斯變量，則稱其為n維高斯變量。n個(gè)隨機(jī)變量的取值也可以用矢量表示為：1.聯(lián)合概率密度其中372、聯(lián)合特征函數(shù)其中38三、n維高斯變量的特點(diǎn)1.不相關(guān)(線性不相關(guān))＝獨(dú)立

證明：設(shè)n維高斯變量X1,…,Xn,“互不相關(guān)”Cij=0(i≠j)，且設(shè)

Xk~N(mk

,σk2),k=1,2,…,n，即有39n維聯(lián)合特征函數(shù)：402.n維高斯變量經(jīng)過(guò)線性變換后仍然服從高斯分布證明：設(shè)n維高斯變量(X1,…,Xn)，用矢量表示，作一線性變換，其中為系數(shù)矩陣Y是m維隨機(jī)變量41Y的均值Y的方差Y的特征函數(shù)令U1=AT

U則42因?yàn)閄~N(Mx,Cx)線性變換后的新的m維隨機(jī)變量Y~N(MY,CY)仍是高斯分布433、高斯矢量的邊緣