第五章連續(xù)系統(tǒng)的建模設(shè)計(jì)

與仿真基于微分方程的建模方法狀態(tài)空間模型的建模方法面向結(jié)構(gòu)圖的模型數(shù)值積分法離散相似法轉(zhuǎn)移矩陣法按系統(tǒng)模型的特征分類(lèi)，可以有連續(xù)系統(tǒng)仿真及離散事件系統(tǒng)仿真兩大類(lèi)。過(guò)程控制系統(tǒng)、調(diào)速系統(tǒng)、隨動(dòng)系統(tǒng)等這類(lèi)系統(tǒng)稱(chēng)作連續(xù)系統(tǒng)，它們共同之處是系統(tǒng)狀態(tài)變化在時(shí)間上是連續(xù)的，可以用方程式或結(jié)構(gòu)圖來(lái)描述系統(tǒng)模型。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真的一般過(guò)程如圖5—1所示。利用系統(tǒng)建模技術(shù)可以建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。如何把建立起來(lái)的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)仿真模型，以便為分析解決實(shí)際問(wèn)題服務(wù)，是計(jì)算機(jī)仿真的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容，即仿真算法。由仿真算法可以得到連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真方法，如圖5—2所示。圖5-15.1基于微分方程的建模方法5.1.1建模步驟一個(gè)系統(tǒng)是由許多具有不同功用的元件所構(gòu)成的。同時(shí)，這些元件的動(dòng)態(tài)性能又各不相同。在對(duì)元件和系統(tǒng)進(jìn)行研究時(shí)，由于研究的內(nèi)容不同，出發(fā)點(diǎn)也不一樣。例如，對(duì)控制系統(tǒng)的元件大都以下列兩種觀點(diǎn)加以討論。所謂環(huán)節(jié)，就是指可以組成獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方程式的那一部分。環(huán)節(jié)可以是一個(gè)元件，也可以是一個(gè)元件的一部分或幾個(gè)元件。環(huán)節(jié)方程中的系數(shù)只取決于本環(huán)節(jié)中元件的參數(shù)，與其他環(huán)節(jié)無(wú)關(guān)。劃分環(huán)節(jié)時(shí)應(yīng)注意相鄰兩個(gè)元件間的相互影響。元件前后連接時(shí)，前一元件的輸出信號(hào)就變成后一元件的輸入信號(hào)，后一元件就變成前一元件的負(fù)載了。元件承受負(fù)載后，其運(yùn)動(dòng)方程可能改變，即稱(chēng)后一元件對(duì)前一元件產(chǎn)生了負(fù)載效應(yīng)。這樣，前一元件就不能單獨(dú)作為一個(gè)環(huán)節(jié)，必須與后一元件同時(shí)考慮。在環(huán)節(jié)劃分時(shí)必須注意到這一點(diǎn)。建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟如下：(1)將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，確定每一環(huán)節(jié)的輸入及輸出信號(hào)，此時(shí)應(yīng)注意前一環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)是后一環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)。(2)根據(jù)物理學(xué)基本定律，寫(xiě)出每一環(huán)節(jié)輸出量與輸入量間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，即環(huán)節(jié)的原始方程。(3)對(duì)每一環(huán)節(jié)的原始方程進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化(如非線(xiàn)性因素的線(xiàn)性化處理)及數(shù)學(xué)處理。(4)消去中間變量，最后得到只包含系統(tǒng)輸入量和輸出量的方程，這就是系統(tǒng)的微分方程。圖5-2例5-1圖5-2（5-1）記系統(tǒng)的輸入量為外力x，輸出量為質(zhì)量m的位移y。我們的目標(biāo)是求系統(tǒng)輸出量y與輸入量z之間所滿(mǎn)足的關(guān)系式，即系統(tǒng)的微分方程。取質(zhì)量m為分離體，根據(jù)牛頓第二定律有：（5-2）（5-3）以上推出的各種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程(數(shù)學(xué)模型)，盡管它們的物理模型不同，但卻可能具有相同的數(shù)學(xué)模型，這種具有相同的微分形式的系統(tǒng)稱(chēng)為相似系統(tǒng)。在微分方程中占據(jù)相同位置的物理量稱(chēng)為相似量，比較方程式(5—1)和方程式(5—3)可以看出它們具有相同的數(shù)學(xué)模型，是相似系統(tǒng)。另外，盡管各種物理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不一樣，輸入量、輸出量以及中間變量可以是各種不同的物理量，但它們的運(yùn)動(dòng)方程卻有下列幾點(diǎn)共同之處。(1)常參量線(xiàn)性元件和線(xiàn)性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程都是常系數(shù)線(xiàn)性微分方程。(2)運(yùn)動(dòng)方程的系數(shù)由元件或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身的參量組合而成，因而都是實(shí)數(shù)。(3)運(yùn)動(dòng)方程式的形式取決于元件或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及在其中進(jìn)行的物理過(guò)程，即取決于元件或系統(tǒng)本身的特殊矛盾。因此，運(yùn)動(dòng)微分方程是揭示系統(tǒng)內(nèi)部特殊矛盾的工具，它的解反映了元件或系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。(4)對(duì)于統(tǒng)一元件或系統(tǒng)，由于所取的輸出量不同，其運(yùn)動(dòng)方程式的形式也就不同。（5-4）5.2.1根據(jù)物理學(xué)定律直接建立狀態(tài)空間模型

基于物理學(xué)定律的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的建模步驟如下。5.2狀態(tài)空間模型的建模方法5.2.2由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型1．狀態(tài)變量圖系統(tǒng)傳遞函數(shù)是描述線(xiàn)性定常(時(shí)不變)系統(tǒng)輸入與輸出間微分關(guān)系的另一種方法。為便于實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)數(shù)字仿真，應(yīng)將傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型。由系統(tǒng)傳遞函數(shù)導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的方法是先將傳遞函數(shù)用狀態(tài)變量圖描述，然后根據(jù)狀態(tài)變量圖中積分器的輸出確定系統(tǒng)狀態(tài)變量及狀態(tài)方程。

圖5-5圖5-5(a)(圖5-5(b))2.由方塊圖求狀態(tài)空間模型1.串聯(lián)法圖5-6式（5-7）圖5-6圖5-7如圖5-7(5-8)（5-10）（5-9）（5-9）（5-11）（5-12）（5-10）（5-13）（5-14）（5-13）（5-14）5.3面向結(jié)構(gòu)圖的模型工程上常常將系統(tǒng)描述為結(jié)構(gòu)圖的形式，因?yàn)楣こ碳夹g(shù)人員更習(xí)慣面向結(jié)構(gòu)圖的仿真方法。本節(jié)介紹面向結(jié)構(gòu)圖的線(xiàn)性系統(tǒng)模型。5.3.1典型環(huán)節(jié)的選擇利用系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)圖，選擇積分環(huán)節(jié)作為典型模塊在程序?qū)崿F(xiàn)上固然十分簡(jiǎn)便，但是當(dāng)系數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，要將系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)都變成由積分模塊組成的仿真模型需要一定的時(shí)間和技巧。所以，目前許多面向結(jié)構(gòu)圖的線(xiàn)性系統(tǒng)都采用更復(fù)雜一些的環(huán)節(jié)，如一階超前、滯后環(huán)節(jié)(圖5-8)來(lái)作為典型模塊，這一典型模塊可以十分方便地表示上述一些常用的典型環(huán)節(jié)。圖5-8圖5-9圖5-95.4數(shù)值積分法數(shù)值積分法可分為兩大類(lèi)：?jiǎn)尾椒ā⒍嗖椒ā?、單步法（1）歐拉法（一階龍格-庫(kù)塔法）（2）改進(jìn)的歐拉法（二階龍格-庫(kù)塔法）（3）龍格-庫(kù)塔法（4）四階Runge-Kutta法的向量公式2、多步法（5-15）（5-15）多步法特點(diǎn)如下。①不能自動(dòng)啟動(dòng)，需用單步法計(jì)算才能啟動(dòng)。②存儲(chǔ)量大。③計(jì)算工作量小(達(dá)到相同的精度)，與其他法相比，f的計(jì)算次數(shù)減少2次。積分方法的選擇主要從以下幾方面加以考慮：(1)精度要求。影響數(shù)值積分精度的因素包括截?cái)嗾`差(同積分方法、方法階次、步長(zhǎng)大小等因素有關(guān))、舍入誤差(同計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)、步長(zhǎng)大小、程序編碼質(zhì)量等因素有關(guān))、初始誤差(由初始值準(zhǔn)確度確定)。當(dāng)步長(zhǎng)h取定時(shí)，算法階次越高，截?cái)嗾`差越??；當(dāng)算法階次取定后，多步法精度比單步法高，隱式精度比顯式高。當(dāng)要求高精度仿真時(shí)，可采用高階的隱式多步法，并取較小的步長(zhǎng)。但步長(zhǎng)h不能太小，因?yàn)椴介L(zhǎng)太小會(huì)增加迭代次數(shù)，增加計(jì)算量，同時(shí)也會(huì)加大舍入誤差和積累誤差?？傊瑢?shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)視仿真精度要求合理地選擇方法和階次，并非階次越高、步長(zhǎng)越小越好。(2)計(jì)算速度。計(jì)算速度只要取決于每步積分運(yùn)算所花費(fèi)的時(shí)間以及積分的總次數(shù)，每步運(yùn)算量同具體的積分方法有關(guān)，它主要取決于導(dǎo)函數(shù)復(fù)雜程度以及每步積分應(yīng)計(jì)算導(dǎo)函數(shù)的次數(shù)。在數(shù)值求解中，最費(fèi)時(shí)間的部分往往就是積分變量導(dǎo)函數(shù)的計(jì)算。對(duì)相同的步長(zhǎng)h，RK4比四階Adams預(yù)估一校正法慢。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于系統(tǒng)階次高、導(dǎo)函數(shù)復(fù)雜、精度要求高的復(fù)雜仿真問(wèn)題宜采用Adams預(yù)估一校正法。為了提高仿真速度，在積分方法選定的前提下，應(yīng)在保證精度的前提下盡可能加大仿真步長(zhǎng)，以縮短仿真總時(shí)間。對(duì)于那些對(duì)速度要求特別要求苛刻的仿真問(wèn)題，如實(shí)時(shí)仿真，則宜采用實(shí)時(shí)仿真算法。(3)數(shù)值解的穩(wěn)定性。保證數(shù)值解的穩(wěn)定性是進(jìn)行仿真的先決條件，否則計(jì)算結(jié)果將失去實(shí)際意義，導(dǎo)致仿真失敗。從前面穩(wěn)定性的分析可知，小于四階時(shí)，同階的RK法的穩(wěn)定性比顯式Adams法好，但不如同階次的隱式Adams法好，因此從數(shù)值解穩(wěn)定性角度考慮，應(yīng)盡量避免采用使用顯式Adams法?？傊?，積分方法的選擇具有較大的靈活性，要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題而定。當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不是十分復(fù)雜而且要求精度不是很高時(shí)，RK法是合適的選擇；如果導(dǎo)函數(shù)復(fù)雜、計(jì)算量大，則最好采用Adams預(yù)估一校正法；對(duì)于那些實(shí)5.5離散相似法用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行仿真時(shí)，必須將這個(gè)系統(tǒng)看作一個(gè)時(shí)間離散系統(tǒng)。也就是說(shuō)，只能計(jì)算到各狀態(tài)量在各計(jì)算步距點(diǎn)上的數(shù)值，它們是一些時(shí)間離散點(diǎn)的數(shù)值。前面主要從數(shù)值積分法的角度討論數(shù)字仿真問(wèn)題，沒(méi)有顯式地涉及到“離散”這個(gè)概念。史密斯從控制和工程的概念出發(fā)提出離散相似問(wèn)題，并導(dǎo)出離散相似法?；驹韺⑦B續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理，得到一個(gè)與該連續(xù)系統(tǒng)等價(jià)的離散模型。以后的每一步計(jì)算均在這個(gè)模型基礎(chǔ)上進(jìn)行，而原來(lái)的連續(xù)模型不再參與計(jì)算。對(duì)比數(shù)值積分法，雖然也進(jìn)行了離散化處理，但在離散化過(guò)程中每一步都用到連續(xù)系統(tǒng)的模型(導(dǎo)函數(shù)力，離散一步計(jì)算一步。用周期為T(mén)的采樣開(kāi)關(guān)(虛擬的)將連續(xù)模型的輸入、輸出分別離散化，要求離散化后的輸出y'(t)在采樣時(shí)刻的值等同于原輸出在同一時(shí)刻的值。離散相似法的步驟(1)畫(huà)出連續(xù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。(2)在適當(dāng)?shù)牡胤揭胩摂M采樣開(kāi)關(guān)，選擇合適的信號(hào)保持器。