本文格式為Word版，下載可任意編輯——初中數(shù)學破題致勝微方法（等腰直角三角形中的手拉手模型）等腰直等腰直角三角形與正方形手拉手

例：已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,點D在直線BC上一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作正方形ADEF，連接CF，

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：①CF=BD;②CF⊥BD;

（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，線段CF與BD的上述關

系是否還成立？請直接寫出結論即可（不必證明）；

（3）如圖3，當點D在線段的反向延長線上，且點A、F在直線BC的兩端，其他條件不

變，線段CF與BD的上述關系是否還成立？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明理由.

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC=∠ACB=45°，正方形的性質(zhì)可得AD=AF,∠DAF=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，再利用“邊角邊〞證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF=BD，全等三角形的對應角相等可得∠ACF=∠ABD，然后求出∠BCF==90°,再根據(jù)垂直的定義證明即可；（2）結論依舊成立；

（3）同（1）可證△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF=BD，全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠ABD=135°，然后求出∠BCF=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可.

解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°,

1

∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF,∠DAF==90°，

∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°，∠CAF+∠CAD=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF,

?AB?AC?在△ABD和△ACF中，??BAD??CAF，∴△ABD≌△ACF，所以①CF=BD，∠ACF=∠ABD,

?AD?AF?∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，∴②CF⊥BD;

（2）當點D在線段延長線上時，線段CF與BD的上述關系依舊成立；

（3）當點D在線段BC的反向延長線上，且點A、F在直線BC的兩側(cè)，線段CF與BD的上述關系依舊成立.

理由：同理可證，△ABD≌△ACF，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，∵∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°，∴CF⊥BD.

總結：兩個等腰直角三角形共直角頂點為手拉手模型之一，如圖，其中有等腰直角三角形和正方形共直角頂點，相當于兩個等腰直角三角形“手拉手〞，由于正方形其中一個對角線與兩邊就可形成等腰直角三角形，所以有全等三角形及其性質(zhì)的應用

練習：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90?，點D在射線BC上（與B、C兩點不重合），以

AD為邊作正方形ADEF，使點E與點B在直線AD的異側(cè)，射線BA與射線CF相交于點G．

（1）若點D在線段BC上，如圖1.

①依題意補全圖1；

②判斷BC與CG的數(shù)量關系與位置關系，并加以證明；

（2）若點D在線段BC的延長線上，且G為CF中點，連接GE，AB=2，則GE的

長為_______，并簡述求GE長的思路．

2

圖1備用圖解:(1)①補全圖形，如圖1所示．

圖1

②BC和CG的數(shù)量關系：BC?CG，位置關系：BC?CG．

證明:如圖1．

∵AB?AC,?BAC?90?，∴?B??ACB?45?，?1??2?90?．∵射線BA、CF的延長線相交于點G，∴?CAG??BAC?90?．∵四邊形ADEF為正方形，∴?DAF??2??3?90?，AD?AF．∴?1??3．∴△ABD≌△ACF．∴?B??ACF?45?．∴?B??G?45?，?BCG?90?．∴BC?CG，BC?CG．(2)GE?10．

思路如下：a.由G為CF中點畫出圖形，如圖2所示．

3

b.與②同理，可得BD=CF，BC?CG，BC?CG；

c.由AB?2，G為CF中點，可得BC?CG?FG?CD?2；

d.過點A作AM?BD于M，過點E作EN?FG于N，可證△AMD≌△FNE，