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【考點(diǎn)6］導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

2009年考題

【解析】選C.可得x=a,x-b為y-(x-a)2(x-b)=0的兩個(gè)零解.

當(dāng)x<a時(shí)，則x</>.-./(x)<0

當(dāng)a<x<6時(shí)，則f(x)<0,當(dāng)x>b時(shí)，則/(x)>0.選C。

2.(2009廣東高考)函數(shù)/(x)=(x-3)/的單調(diào)遞增區(qū)間是

A.(-oo,2)B.(0,3)C.(l,4)D.(2,+<x>)

【解析】選D.尸(x)=(x—3)'e*+(x—3乂")'=(x—2)/,令/(x)>0，解得r>2，故選D

3.(2009湖南高考)設(shè)函數(shù)y=/(x)在(-oo,+oo)內(nèi)有定義。對(duì)于給定的正數(shù)K,定義函數(shù)

取函數(shù)/(犬)=2-犬-1。若對(duì)任意的xe(—oo,+oo),恒有A(x)=f(x),則

K,/(x)〉K

A.K的最大值為2B.K的最小值為2

C.K的最大值為1D.K的最小值為1

【解析】選D.由尸(乃二/'一1=0,知x=0,所以xe(—8,0)時(shí)，f\x)>0,當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，

f\x)<0,所以/(X)max=/(0)=1,即/(X)的值域是(一8,1］，而要使/(X)=/(X)在R上恒成立，結(jié)

合條件分別取不同的K值，可得D符合，此時(shí)=故選D項(xiàng)。

4.(2009湖南高考)若函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)圖藜在區(qū)間［應(yīng)切上是增函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間口向上

的圖象可能是()

A.B.D.

【解析】選A因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)的號(hào)單")，'=/'(x)在區(qū)間［凡句上是增函數(shù)，即在區(qū)間［a,加上各點(diǎn)處

的斜率k是遞增的，由圖易知選A.注意C中y'=k為常數(shù)

5.(2009天津高考)設(shè)函數(shù)/(x)=；x—lnx(x>0)MJy=/(x)

A在區(qū)間d,1),(1,e)內(nèi)均有零點(diǎn)。

e

B在區(qū)間1),(1,e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)。

e

C在區(qū)間(一,1)內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(l,e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)。

e

D在區(qū)間(一,1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(l,e)內(nèi)有零點(diǎn)。

e

【考點(diǎn)定位】本小考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，基礎(chǔ)題。

11x-3

【解析】選D.由題得_f(x)=——=——，令/、(x)>0得x>3;令/、(x)<0得0<x<3;

3x3x

/'(x)=0得x=3,故知函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,3)上為減函數(shù)，在區(qū)間(3,+8)為增函數(shù)，在點(diǎn)x=3處

有極小值l—hi3<0;又/(1)=,，/(e)=￡-1<0,/(!)='+i>o。

33e3e

6.(2009江蘇高考)函數(shù)/(工)=/一15/-33%+6的單調(diào)減區(qū)間為.

【解析】考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。

/'(%)=3x2-30%-33=3(x-ll)(x+1),

由(%—11)(%+1)<0得單調(diào)減區(qū)間為(-1,11)。亦可填寫(xiě)閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間.

【答案】

7.(2009遼寧高考)若函數(shù)/(x)=x^^4-Cl^在x=l處取極值，則4=___________

x+1

r稅拉】M2x(x+l)—，+a)

［解析］f(x)-------------------

(x+1)

3—a

f(l)=----=0=a=3

4

【答案】3

2

8.(2009安徽高考)已知函數(shù)/(x)=x--+?(2-lnx),(a>0),討論/(x)的單調(diào)性.

x

本小題主要考查函數(shù)的定義域、利用導(dǎo)數(shù)等知識(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想方法和運(yùn)算求解

的能力。本小題滿分12分。

2

【解析】/(%)的定義域是(0,+oo),r(x)=i+4--T-.

xxx

設(shè)g(x)=f-ar+2,二次方程g(x)=0的判別式△=/-8.

①當(dāng)A=a2-8<0,即0<。<2近時(shí)，對(duì)一切x〉0都有/'(x)〉0,此時(shí)/(X)在(0,+8)上是增函數(shù)。

②當(dāng)△="-8=0,即。=2正時(shí)，僅對(duì)x=g有/'(x)=0,對(duì)其余的x>0都有1(x)〉0,此時(shí)/(x)

在(0,+8)上也是增函數(shù).

(3)當(dāng)△=8>0,即a>2時(shí)，

a+

方程g(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根％----——-,x2=——-,0<^<x2.

X(0,玉)玉(王㈤X2(》2，+00)

/'a)十0-0+

/(X)單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增

此時(shí)/(x)在(0「*—8)上單調(diào)遞增，在(絲岑三,空當(dāng)三8)是上單調(diào)遞減，在

(a+Jj—8,+8)上單調(diào)遞增.

2

/8=*---+l-alnx

9.(2009安徽高考)已知函數(shù)X,a>0,

(i)討論的單調(diào)性；

(II)設(shè)a=3,求在區(qū)間［1,爐|上的值域。其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

【解析】(1)由于//(x)=l+---(x>0)

XrX

令f=—得y=2『—at+l(f>0)

x

①當(dāng)A=a2-8W0,即0<aW141時(shí)，/(%)>0恒成立.

二/(x)在(0,+8)上都是增函數(shù).

②當(dāng)△=/—8>0,即a〉25/2時(shí)

,■>a—yjci~—8ci+\ci2—8

由2廠―0?+］>0得0<f<---------或t>----------

44

a—'x/ct~—8a+qa2-8

0<x<---------或x〉-----------

22

,7,o4i—Jq-_8a+—8a—-8ci+y］ci~-8

又由2廠—at+］<0得-----------<t<----------------------<x<----------

4422

綜上①當(dāng)0<aW28時(shí)，/(x)在(0,+8)上是增函數(shù).

②當(dāng)a〉2a時(shí)，f(x)在(a-Jj-8,a+12—8)上是減函數(shù)，

在(0,"及(a+&/Y,上都是增函數(shù).

22

(II)當(dāng)a=3時(shí),由⑴知f(x)在［1,2］上是減函數(shù).

在［2*2］上是增函數(shù).

2

又/(1)=0,/(2)=2—3/〃2<0/(02)=『一二一5>0

e~

函數(shù)/(x)在［1］］上的值域?yàn)?—31n2,e2—2―5

10.(2009福建高考)已知函數(shù)/*)=；/+￡^2+以,且/,(一］)=()

(1)試用含a的代數(shù)式表示b,并求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)令。=-1,設(shè)函數(shù)/(x)在玉,々(玉＜》2)處取得極值，記點(diǎn)M(%,,/(X,)),N(x,,/(x2)),P(),

X<〃?<》2,請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線/(X)在點(diǎn)P處的切線與線段MP的位置變化趨勢(shì)，并解釋以下問(wèn)題:

(I)若對(duì)任意的me(x,,x2),線段MP與曲線.然均有異于M,P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證

明你的結(jié)論；

(II)若存在點(diǎn)Q(〃加〃)),xW”〈也使得線段PQ與曲線的有異于P、Q的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出,”的取

值范圍(不必給出求解過(guò)程)

【解析】解法一：

(I)依題意，得/'(X)=x2+20r+b

由八-1)=1-2°+。=0得方=2"1.

從而/(x)=；J+ax2+(2a-l)x,故/\x)=(x+l)(x+2a-l).

令f'(x)=0,得x=-1或x=1-2a.

①當(dāng)a>l時(shí)，\-2a<-\

當(dāng)x變化時(shí)，f\x)與f(x)的變化情況如下表：

X(-00,1-26/)(l-2a,-l)(-l,+oo)

尸(x)+-十

/(X)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

由此得，函數(shù),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8』-2a)和(-1,+oo),單調(diào)減區(qū)間為(1-2%一1)。

②當(dāng)”=1時(shí)，l-2a=—1此時(shí)有/'(幻>0恒成立，且僅在x=—1處/'(x)=0,故函數(shù)/(x)的單調(diào)增

區(qū)間為R

③當(dāng)。<1時(shí)，1一2?！狄?同理可得，函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(―8,—1)和(1—2出+8),單調(diào)減區(qū)間為

(-1,1-20)

綜上：

當(dāng)a>l時(shí),函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,1—2。)和(一1,+00),單調(diào)減區(qū)間為(1一2%一1);

當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R;

當(dāng)。<1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(一8,-1)和(l—2a,+oo),單調(diào)減區(qū)間為(一1,1一2。).

(H)由"T得=-3x令八x)=—

由(1)得/(幻增區(qū)間為(—8,—1)和(3,+8),單調(diào)減區(qū)間為(—1,3),所以函數(shù)/(X)在處占=-1,赴=3

取得極值，故M(-1,-)N(3,-9)。

3

觀察/(x)的圖象，有如下現(xiàn)象：

①當(dāng)m從-1(不含-1)變化到3時(shí)，線段MP的斜率與曲線/(x)在點(diǎn)P處切線的斜率f(x)之差

KMP-/'(m)的值由正連續(xù)變?yōu)樨?fù)。

②線段MP與曲線是否有異于M,P的公共點(diǎn)與KMP-f'(加)的m正負(fù)有著密切的關(guān)聯(lián)；

③KMP-f\m)=O對(duì)應(yīng)的位置可能是臨界點(diǎn)，故推測(cè)：滿足KMP-/'(zn)=O的m就是所求的t最小值,

下面給出證明并確定的t最小值.曲線/(x)在點(diǎn)P("2,/("?))處的切線斜率f\m)=加？一2m-3;

.j.m~-4m—5

線段MP的斜率KMP=-------------------

3

當(dāng)Kmp-f'(〃2)=0時(shí)，解得加=-1(舍去)或機(jī)=2

m2-4m-5m2-4m

直線MP的方程為y----------x+

33

人,、”、，〃,一4〃?一5tn2-4m

令g(x)=/(x)—(---------x+

3

當(dāng)根=2時(shí)，g'(x)=X?-2x在(-1,2)上只有一個(gè)零點(diǎn)x=0,可判斷g(x)函數(shù)在(-1,0)上單調(diào)遞增，

在(0,2)上單調(diào)遞減，又g(-l)=g(2)=0,所以g(x)在(-1,2)上沒(méi)有零點(diǎn)，即線段MP與曲線/(x)沒(méi)

有異于M,P的公共點(diǎn).

當(dāng)me(2,3］時(shí)，g(0)=-m2~4，W>0.g(2)=—(〃?-2><0

所以存在m6(0,2］使得g0)=0

即當(dāng)加e(2,3］時(shí),MP與曲線/(X)有異于M,P的公共點(diǎn)

綜上，t的最小值為2.

(2)類似(1)中的觀察，可得m的取值范圍為(1,3］

解法二：

(1)同解法一.

(2)由Q=_］得/(x)=g/_x2_3x,4"f*(^)=x2-2x-3=0,得玉=—1,12=3

由(1)得的/(x)單調(diào)增區(qū)間為(-8,-1)和(3,+00),單調(diào)減區(qū)間為(一1,3),所以函數(shù)在Xl=-1,X2=3處

取得極值。故M(-l1).N(3,-9)

nr-4m-5nr-4m

(I)直線MP的方程為＞=----------x+-------

33

m2-4/72-5m2-4m

y二----------x+

由，33

132，

)’=-x-x~-3x

3

得x3-3x2-(m2-+4)x-/w2+4/n=0

線段MP與曲線/(x)有異于M,P的公共點(diǎn)等價(jià)于上述方程在(-l,m)上有根，即函數(shù)

g(x)=x3-3x2一(〃J-4m+4)x-m2+4〃?在(-1,m)上有零點(diǎn).

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為三次函數(shù)，所以g(x)至多有三個(gè)零點(diǎn),兩個(gè)極值點(diǎn).

又g(-1)=g(加)=0.因此，g(x)在(-1,加)上有零點(diǎn)等價(jià)于g(x)在內(nèi)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小

值點(diǎn)和g=3x2-6x-(m2-4m+4)=0在(-1,m)內(nèi)有兩不相等的實(shí)數(shù)根.

△=36+12(機(jī)2-47+4)>0

-1</n<5

3(-l)2+6-(/n2-4^4-4)>0

等價(jià)于＜即,加>2或m<—1,解得2<m<5

37712—6m-(m2—4m+4)>0

m>-1

m>-\

又因?yàn)?1＜用工3,所以m的取值范圍為Q,3)

從而滿足題設(shè)條件的t的最小值為2.

11.(2009福建高考)已知函數(shù)/(幻=；/+公2+以,且/'(—1)=0

(I)試用含。的代數(shù)式表示》；

(II)求/(X)的單調(diào)區(qū)間;

(山)令。=一1,設(shè)函數(shù)/(x)在玉/2(王＜/)處取得極值，記點(diǎn)Majaj),)?,/。)),證明:

線段MN與曲線/(x)存在異于M、N的公共點(diǎn)；

【解析】解法一：(I)依題意，^f\x)=x2+2ax+b

由/，(—1)=1—2a+匕=0得b=2a—1

(II)由(I)得/(%)=；/+。/+(2?！圻?/p>

故fV)=x2+lax+2q-1=(x+l)(x+2a-l)

令/'(x)=0,則x=-l或x=l-2a

①當(dāng)a>1時(shí)，1—2a<—1

當(dāng)X變化時(shí)，/'(x)與“X)的變化情況如下表:

(-1+00)

X(-ooj-2a)(-2a,-1)

f\x)+-4-

/(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)“X)的單調(diào)增區(qū)間為(一00,1-2a)和(一1,+。。),單調(diào)減區(qū)間為(1-2氏一1)

②由a=l時(shí)，l-2a=—1,此時(shí)，/'(x)N0恒成立，且僅在x=-l處/'(x)=0,故函數(shù)/(x)的單調(diào)

增區(qū)間為R

③當(dāng)。<1時(shí)，1一2?！狄?,同理可得函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(―8,-1)和(l—2a,+oo),單調(diào)減區(qū)間為

(-1,1-2a)

綜上：

當(dāng)a〉l時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(—oo,l—2a)和(一1,+8),單調(diào)減區(qū)間為(1一2見(jiàn)一1);

當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R;

當(dāng)a<l時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,-1)和(l-2a,+oo),單調(diào)減區(qū)間為(-1,1-2。)

(III)當(dāng)。=一1時(shí)，得/(x)=5%3—f—3x

由f'(x)=%3—2x-3=0,得X]=T,%?=3

由(II)得/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(—oo,—1)和(3,+。。)，單調(diào)減區(qū)間為(—1,3)

所以函數(shù)/(%)在玉=-1=3處取得極值.

故M(—l,g).N(3,—9)

Q

所以直線MN的方程為y=—?x—1

3

y-X2-X2-3X

3

由v得丁―3/—x+3=0

y

令F(x)=x3-3x2—x+3

易得F(0)=3>0,F(2)=-3<0,而F[x}的圖像在(0,2)內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線,

故F(x)在(0,2)內(nèi)存在零點(diǎn)5,這表明線段與曲線/(x)有異于M,N的公共點(diǎn)

解法二：(I)同解法一(n)同解法一.

32

(III)當(dāng)4=—1時(shí)，</(X)=1X-X-3X,由/'(幻=爐_2》_3=0,^X}=-1,X2=3

由(II)得/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-叫一1)和(3,+。。)，單調(diào)減區(qū)間為(一1,3),所以函數(shù)/(x)在

x}--1,x2=3處取得極值,

故M(—l[),N(3,—9)

Q

所以直線MN的方程為y=——x-1

-3

1,2。

y—x—x-3x

由V'41.r3-3x2-x+3=0

81

y—x-1

3

解得Xx=-1,X2=1?%3=3

所以線段MN與曲線/(x)有異于M,N的公共點(diǎn)

12.(2009廣東高考)已知二次函數(shù)y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線y=2x平行，且y=g(x)在》=-1處

取得極小值W0).設(shè)/(X)=g").

X

(1)若曲線y=/(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)。(0,2)的距離的最小值為行，求〃?的值；

(2)女伙eR)如何取值時(shí)，函數(shù)y=/(x)-履存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn).

【解析】(1)依題可設(shè)g(x)=。(1+1)2+加一1(。工0),則g，(x)=2〃(x+1)=2ox+2。；

又g'(x)的圖像與直線y=2x平行/.2a=2a=\

22mc

g(x)=(x+1)+m-l=x+2x+m,/(x)=§'=Xd---F29

xX

設(shè)p(%y。)，則IPQ/=北+(凡—2)2=X；+(x°+%)2

XQ

2x；++2m>2d2m，+2m-2^2|m\+2m

x。

7772i—

當(dāng)且僅當(dāng)2只=丁時(shí)，|PQ/取得最小值，即|PQ|取得最小值及

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，yj(2V2+2)m=V2解得m=V2—1

當(dāng)機(jī)<0時(shí)，-J(-2A/2+2)m=V2解得m=-V2-1

(2)由y=/(x)—履=(l-&)x+3+2=0(xW0),得(1一攵)尤2+21+加=0(*)

tn

當(dāng)左=1時(shí)，方程(*)有一解x=，函數(shù)y=/(x)-kx有一零點(diǎn)x=---

2

當(dāng)攵Hl時(shí)，方程(*)有二解=4=4-4〃2(1—女)>0,

x_-2±14-4m(l-k)即

若〃2>0,k>1---,函數(shù)y=/(x)-履有兩個(gè)零點(diǎn)

m2(1-Q

/=■；

k-l

x「2±j4i(I)即

若機(jī)<0,k<1一--,函數(shù)y=/(x)-履有兩個(gè)零點(diǎn)

m2(1-k)

x=：；

J

當(dāng)左wl時(shí)，方程(*)有一解=A=4—4m(1一攵)=0,^=1-—

m

函數(shù)y=f(x\-kx有一零點(diǎn)x=----=-m

k-1

綜上，當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)y=/(x)-乙有一零點(diǎn)x=-三；

當(dāng)4>1-工(加〉0),或k<l一!(m<0)時(shí)，

mm

函數(shù)y=f(x)一區(qū)有兩個(gè)零點(diǎn)x=；

""Ik--"\"-

當(dāng)k=1-----時(shí)，函數(shù)v=/(x)-區(qū)有一零點(diǎn)x=---=-m.

mk-1

13.(2009廣東高考)已知曲線?！埃?一2加+/=0(〃=1,2”..).從點(diǎn)P(-l,0)向曲線Q引斜率為

心(￡>0)的切線/“，切點(diǎn)為以%%).

(1)求數(shù)列｛x“｝與｛為｝的通項(xiàng)公式；

【解析】（1）設(shè)直線小y=h（x+1）,聯(lián)立——2〃x+丁=o得0+匕）x2+Qk：-2n）x+%=0，

2

則△=（2%-2n）-4（1+k：）k：=0,kn=.（--7------舍去）

V2〃+1V2〃+1

k??2n2cn+1

X

------F=--------F，即n二----------???尤=（X”+1）=

1+片（〃+l）2〃〃+1n+1

(2)證明：

由于cos冗，令/（x）=0,

5

得cosx=芋，給定區(qū)間(0,5),則有f\x)<0,則函數(shù)/(x)在(0,()上單調(diào)遞減,/(x)</(0)=0,

71

即x<、歷sinx在(0,三)恒成立，又<一,

44

14.(2009山東高考)已知函數(shù)/(外=；0?+6：2+左+3,其中4。0

(1)當(dāng)。，。滿足什么條件時(shí),/(x)取得極值?

（2）已知。〉0,且/3）在區(qū)間（0,1］上單調(diào)遞增，試用a表示出b的取值范圍.

【解析】（1）由已知得/'（X）=ax2+2"+1,令/（工）=0ax2+2bx+1=0,

/（x）要取得極值，方程ax2++1=0必須有解，

所以△=4/一4。>0,即/>a,此時(shí)方程a-+2bx+1=0的根為

_-2b-V4/72-4?_-b-y]b2-a_-2b+>j4b2-4a_-b+ylb2-a

X\='X2=Z=

2aa2aa

所以f'(x)=a(x-x1)(x-x2)

當(dāng)a>0時(shí)，

X(@,Xi)Xl(X1,X2)M0,+8)

，(x)+0-0+

/(X)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)

所以/（X）在Xi,X2處分別取得極大值和極小值.

當(dāng)a<0時(shí)，

X(@,X2)(X2,X1)Xl(X],+8)

X2

/'(X)-0+0-

f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)

所以/（X）在X1,X2處分別取得極大值和極小值.

綜上，當(dāng)a,。滿足/>a時(shí)，/*）取得極值.

（2便使/（x）在區(qū)間（0,1］上單調(diào)遞增，需使/'（X）="+2旅+120在（0,1］上恒成立.

即》2(0,1]恒成立，所以(-?-；)max

22x22x

2

axJa]-?U--)

設(shè)g(x)=_竺」,g⑺=--+-L=------

22x22x22x2

令g'(x)=0得x=或x=--(舍去),

7ay!a

當(dāng)a>l時(shí),0<L<l,當(dāng)xe(0,4=)時(shí)g'(x)>0,g(x)=----為單調(diào)增函數(shù);

ayja22x

當(dāng)X€(Jr/］時(shí)g'(x)<0,g(x)=L為單調(diào)減函數(shù)，

yja22x

所以當(dāng)x=)

時(shí),g(x)取得最大，最大值為g(-y=)=-.

yJa

所以b>-4a

當(dāng)0<aWl時(shí),一此時(shí)g<x)20在區(qū)間(0,1］恒成立，所以g(x)=—竺一己-在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞增,

yja22x

當(dāng)x=1時(shí)g(x)最大，最大值為g⑴=—芋，所以b>——

綜上，當(dāng)。>1時(shí)，b>-4a;當(dāng)0<aWl時(shí)，/?>--

2

15.(2009海南寧夏高考)已知函數(shù)/(x)=x3—3以2—

(1)設(shè)4=1,求函數(shù)/(X)的極值；

(2)若a>；,且當(dāng)xe［l,4a］時(shí)，2a恒成立，試確定a的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)a=l時(shí)，對(duì)函數(shù)/a)求導(dǎo)數(shù)，得

f\x)=3x2-6x-9.

令f(x)=0,解得玉=—I,%2=3.

列表討論/(x)J(x)的變化情況：

X(-00,-1)-1(-1,3)3(3,+8)

r(x)+0—0+

/(x)極大值6極小值-26

所以，/(X)的極大值是/(—1)=6,極小值是/(3)=—26.

(2)f'(x)=3/一6ax-9/的圖像是一條開(kāi)口向上的拋物線，關(guān)于x=a對(duì)稱.

若』<a41,則/'(X)在［1,4a］上是增函數(shù)，從而

4

/'(X)在［1,4a］上的最小值是/'⑴=3-6。一9。2,最大值是/'(40)=15/.

由|/(1)區(qū)12。,得一12〃<3x2-6ax-9a2<12。,于是有

/(l)=3-6a-9a2>-12a,H/'(4?)=15a2<12?.

i4

由/'(I)>-12aW--<a<1,由f(4。)<12a得0<a<-.

11414

所以ae(—,1]A[0,—],BPtze

若a>l,則|f'(a)\=12a2>12a.故當(dāng)xe[1,4a]時(shí)|/'(x)|<12a不恒成立.

I4

所以使|/'(x)區(qū)12a(xe[1,4a])恒成立的a的取值范圍是(一,一].

45

16.(2009海南寧夏高考)已知函數(shù)/*)=(丁+31+。X+匕)6-*

(1)如。=匕=一3,求/")的單調(diào)區(qū)間；

(11)若/(外在(-00,。),(2,2)單調(diào)增加，在(a,2),(夕,+oo)單調(diào)減少，證明

(3-a>6.

【解析】(I)當(dāng)。=6=—3時(shí),f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x,故

2x2x

f\x)=-(I+3X-3x-3)e-+(3x+6x-3)e-

=-e~x(x3-9x)

=-x(x-3)(x+3)e~x

當(dāng)x<—3或0<x<3時(shí)，f'(x)>0;

當(dāng)一3<x<0或x>3時(shí),f'(x)<0.

從而/(x)在(-00,-3),(0,3)單調(diào)增加，在(―3,0),⑶+8)單調(diào)減少.

(II)f'(x)=-(x3+3x2+ax+b)e~x+(3x2+6x+a)e"x=-e~s[xi+(a-())x+b-d].

由條件得：/'(2)=0,即23+2(a-6)+b—a=0,故b=4-a,從而

f\x)=-e~x[x3+(a-6)x+4-2a].

因?yàn)槭?a)=/5)=0,所以

x3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-a)(x-￡)

=(x-2)(x2—(a+B)x+a。).

將右邊展開(kāi)，與左邊比較系數(shù)得，。+夕=一2,幼=。-2.故

p-a=J(/?+a)2-4a/3=J12-4q.

又(尸-2)(°-2)<0,即a/?-2(a+/?)+4<0.由此可得。<-6.

于是萬(wàn)一a>6.

22

17.(2009浙江高考)已知函數(shù)/(%)=/一(/一上+])/+5%-2,g(x)=kx+kx+19

其中左EK.

(I)設(shè)函數(shù)p(x)=/(x)+g(x).若p(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào),求一的取值范圍;

(II)設(shè)函數(shù)q(x)=是否存在k,對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)玉，存在惟一的非零實(shí)數(shù)超

f(x\x<Q.

(馬。/)，使得/(￡)=/(%)成立？若存在，求攵的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(I)因尸(x)=/(x)+g(x)=d+(攵-l)x2+(Z+5)]一1,p'(x)=3x2+2(攵-1)/+(2+5),

因p(x)在區(qū)間(0,3)上下單那.所以〃'(x)=0在(0,3)恒成立，

由p\x)=0#k(2x+1)=-(3x2-2x+5),

:.k=-1*22；+5)=_[[(2X+I)+29[一?,令/=2無(wú)+1,有/w(l,7),彳己=r+2,則

a

在(1,3]上單調(diào)遞減，在[3,7)上單調(diào)遞增，所以有/?(f)e[6,10),于是(2x+l)+六^€[6,10),得

ke(—5,-2]，而當(dāng)k=-2時(shí)有p'(x)=0在(0,3)上有兩個(gè)相等的實(shí)根x=1,故舍去，所以ke(-5,-2);

(II)當(dāng)x<0時(shí)有，(x)=/'(x)=3x2-2(二一左+<幻+5；

當(dāng)x〉0時(shí)有q'(x)=g'(x)=2女與+左，因?yàn)楫?dāng)Z=0時(shí)不合題意，因此女工0,

下面討論的情形，記A=(k,+oo),B=(5,+oo)(i)當(dāng)王>0時(shí)，q'(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

所以要使(7'(々)=q'(xj成立，只能彳2<0且因此有左25,(過(guò))當(dāng)事<0時(shí)，q'(x)在(0,+oo)

上單調(diào)遞減，所以要使/(々)=/(%)成立，只能々>0且因此kW5,綜合(i)(ii)k=5;

當(dāng)火=5時(shí)A=B,則VX|<O,q'(xJe8=A，即3x2>0,使得/(乙)=/(玉)成立，因?yàn)閝'(x)在(0,+℃)

上單調(diào)遞增，所以々的值是唯一的；

所以VX[<0,即存在唯一的非零實(shí)數(shù)々(%2=』)，要使，(》2)=q'(xj成立，所以％=5滿足題意.

18.(2009浙江高考)已知函數(shù)八>)=/+(1—a)》？—a(a+2)x+/?(a,b€R).

(I)若函數(shù)/(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是-3,求凡6的值；

(II)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào)，求。的取值范圍.

【解析】(I)由題意得/'(x)=3X2+2(1—a)x—a(a+2)

又嚴(yán))…。

解得b-0,a=—3或。=1

[f'(0)=-a(a+2)=-3

(II)函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,1)不單調(diào)，等價(jià)于

導(dǎo)函數(shù)/(x)在(-1,1)既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)

即函數(shù)尸(x)在(-1,1)上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有

尸(一1)/(1)<0，即：[3+2(l-a)-a(?+2)][3-2(l-?)-a(a+2)]<0

整理得：(a+5)(a+l)(a—1產(chǎn)<0,解得—5<a<—1

19.(2009天津高考)已知函數(shù)/(外=，+初一2/+3。)/(苫€/?),其中4€/?

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線的斜率；

(2)當(dāng)“力(時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。

【解析】(I)當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=x2ev,/'(x)=(x2+2x>\阿()=3e.

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線的斜率為3e.

(n)/'(x)=[x)+(a+2)x-2a2+4a]e;

2

=0,解彳導(dǎo)x=—2a,=a—2.由a5t§知,一2a工a—2.

以下分兩種情況討論。

2

(1)若a>-,則一2a<a-2.當(dāng)x變化時(shí)，f'(x),/(x)的變化情況如下表：

X(-8,-2〃)一2。(-2a,a-2)a-2(4-2,+8)

/(X)+0—0+

/(X)7極大值極小值7

所以/(x)在(-8,-2a),(a-2,+8)內(nèi)是增函數(shù)，在(-2a,a-2)內(nèi)是減函數(shù)

函數(shù)/'(x)在x=-2a處取得極大值/X-2a),Uf(-2a)=Sae'21'.

函婀(x)在x=a-2處取得極小值/(a-2),月/伍-2)=(4-3a)ea-2.

2

(2)若則一2。>。一2,當(dāng)工變化時(shí)，/*(%),/(x)的變化情況如下表:

X(-co,a-2)a—2(a-2,-2a)-2。(-2a,+oo)

八X)+0—0+

/(X)7極大值極小值7

所以/'(x)在(-00,。-2),(-2〃,+00)內(nèi)是增函數(shù)，在2,-2a)內(nèi)是減函數(shù)。

函數(shù)f(x)在x=。一2處取得極大值f(a-2),月/伍一2)=(4—3a)ea-2.

函數(shù)/'(x)在x=-2〃處取得極小值/'(-2a),且/(-2a)=3四口.

20.(2009天津高考)設(shè)函數(shù)/(工)=一；/+/+(加2一］)兒(％€&)其中〃?＞0

(I)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求曲線＞，=/(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率

(II)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(HI)已知函數(shù)/")有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0,x,,x2,且為＜》2。若對(duì)任意的工€［七,々］，

/(x)〉/(l)恒成立，求m的取值范圍。

【解析】當(dāng)，〃=1時(shí)，f(x)=-^xi+x2,f'(x)=-x2+2x,^f'(1)=l

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為1.

(2)解：f(X)=-X24-2x4-/7?2-1,令/(1)=0,得到x=l-m或x=l+m

因?yàn)闄C(jī)＞0,所以1+根〉1一〃2

當(dāng)X變化時(shí)，f(x),/'(x)的變化情況如下表：

X(-oo,l-m)1-m(1-m,l+m)1+機(jī)(1+〃7,+00)

f'M-0+0-

/(x)極小值Z極大值\

/(X)在(一8,1-m)和(1+〃2,+8)內(nèi)減函數(shù)，在(1一九1+4)內(nèi)增函數(shù)。

21

函數(shù)/*)在x=l+m處取得極大值/(I+m),且/(I+m)=—my+m2--

2i

函數(shù)/(x)在x=1一機(jī)處取得極小值/(I一m),JL/(1-m)=-y/?23+m1--

⑶解:由題設(shè)，m)=?#+X+/_l)=_$(f)(…2)

14

所以方程——x?+x+-1=0由兩個(gè)相異的實(shí)根X],￡9又X]+工2=3，且A—1+—~—1)〉0,

解得加<一,(舍)，m>—

22

3

因?yàn)閄]v4，所以2/>占+々=3,故Z—>1

若再41<々,貝葉⑴=—；(l—xJ(l—X2)Z0,而/但)=0,不合題意

若1<玉<12,則對(duì)任意的xe［不，々］有工一^0,x-x2<0,

則/(x)=-31(工一七)(工一工2)20又一(為)=0.所以函數(shù)/(%)在的最小值為°，于

是對(duì)任意的xe次”X2］,f(x)>/⑴恒成立的充要條件是/(1)=?22--<0，解得—，<機(jī)<g

綜上，m的取值范圍是(；,，)

21.(2009遼寧高考)已知函數(shù)f(x)='x2—ax+(a—l)lnx,a>1?

2

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：若a<5,則對(duì)任意X"x,w(0,+oo),x產(chǎn)X2,有/(、)一/(々)>一1。

須-x2

【解析】⑴/⑴的定義域?yàn)?0,+8)。

/'(X)=x-a+-=X--+"T=&T)(x+j).......2分

XXX

(i)若。—1=1即。=2,則

故/(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增。

(ii)若〃一1<1,而a〉1,故則當(dāng)x￡(a-l,l)時(shí)，/(x)<0;

當(dāng)x￡(0,〃一1)及X￡(l,4-oo)時(shí)，/(x)>0

故/*)在(a-1,1)單調(diào)遞減，在(0,。一1),(1,+8)單調(diào)增加。

(iii)若a-1>1,即a>2,同理可得/*)在(1,a-1)單調(diào)遞減，在(0,l),(a-l,+oo)單調(diào)增加.

(H)考慮函數(shù)g(x)=f(x)+x

1.

=—x-ax4-(ci-1)Inx4-x

則g'(x)=x-(a-l)+-~~->2Jx尚---(a-l)=l-(L-l-1)2

x

由于l〈a<5,故g'(x)>0,即g(x)在(4,+8)單調(diào)增加，從而當(dāng)%>》2〉0時(shí)有g(shù)(xJ-g(X2)>0,即

/(%,)-/(x2)+%]-x2>0，故"*)~>_],當(dāng)0<玉<苫2時(shí)，有

'&-々

/(玉)-/(々)入1.........]2分

玉-x2x2-X1

22.(2009遼寧高考)設(shè)/(x)="("2+x+l),且曲線y=f(x)在x=1處的切線與x軸平行。

(I)求a的值，并討論f(x)的單調(diào)性；

(II)證明：當(dāng)6w[0,自時(shí),|f(cos6)-f(sin創(chuàng)<2

【解析】(I)/'(x)="(ax2+x+l+2ax+l)由條件知，

/⑴=0,故a+3+2a=0na=-l......2分

于是/(x)=e'(—Y-x+2)=-e'(x+2)(x-l)