2021年中考數(shù)學(xué)真題分項匯編【全國通用】（第01期）專題16三角形及全等三角形（共40題）姓名：__________________班級：______________得分：_________________一、單選題1．（2021·湖南岳陽市·中考真題）下列命題是真命題的是（）A．五邊形的內(nèi)角和是 B．三角形的任意兩邊之和大于第三邊C．內(nèi)錯角相等 D．三角形的重心是這個三角形的三條角平分線的交點【答案】B【分析】根據(jù)相關(guān)概念逐項分析即可．【詳解】A、五邊形的內(nèi)角和是，故原命題為假命題，不符合題意；B、三角形的任意兩邊之和大于第三邊，原命題是真命題，符合題意；C、兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故原命題為假命題，不符合題意；D、三角形的重心是這個三角形的三條中線的交點，故原命題為假命題，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查命題判斷，涉及多邊形的內(nèi)角和，三角形的三邊關(guān)系，平行線的性質(zhì)，以及三角形的重心等，熟記基本性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．2．（2021·山東臨沂市·中考真題）如圖，在中，，平分，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC=∠BCD，再根據(jù)角平分線的定義得到∠ABC=∠BCD，再利用三角形外角的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，∵CB平分∠DCE，∴∠BCE=∠BCD，∴∠BCE=∠ABC，∵∠AEC=∠BCE+∠ABC=40°，∴∠ABC=20°，故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．3．（2021·陜西中考真題）如圖，點D、E分別在線段、上，連接、．若，，，則的大小為（）A．60° B．70° C．75° D．85°【答案】B【分析】由題意易得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進行求解．【詳解】解：∵，，∴在Rt△BEC中，由三角形內(nèi)角和可得，∵，∴；故選B．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·四川樂山市·中考真題）如圖，已知直線、、兩兩相交，且．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由垂直的定義可得∠2=90°；根據(jù)對頂角相等可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得．【詳解】∵，∴∠2=90°；∵，∴．故選C．【點睛】本題考查了垂直的定義、對頂角的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練運用三角形外角的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．5．（2021·安徽中考真題）兩個直角三角板如圖擺放，其中，，，AB與DF交于點M．若，則的大小為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】由圖可得∵，∴∴故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，掌握平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇揚州市·中考真題）如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．【詳解】解：連接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故選D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形和四邊形．7．（2021·河北中考真題）定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．已知：如圖，是的外角．求證：．下列說法正確的是（）A．證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整B．證法1用嚴(yán)謹?shù)耐评碜C明了該定理C．證法2用特殊到一般法證明了該定理D．證法2只要測量夠一百個三角形進行驗證，就能證明該定理【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理與平角的定義可判斷A與B，利用理論與實踐相結(jié)合可判斷C與D．【詳解】解：A.證法1給出的證明過程是完整正確的，不需要分情況討論，故A不符合題意；B.證法1給出的證明過程是完整正確的，不需要分情況討論，故選項B符合題意；C.證法2用量角器度量兩個內(nèi)角和外角，只能驗證該定理的正確性，用特殊到一般法證明了該定理缺少理論證明過程，故選項C不符合題意；D.證法2只要測量夠一百個三角形進行驗證，驗證的正確性更高，就能證明該定理還需用理論證明，故選項D不符合題意．故選擇：【點睛】本題考查三角形外角的證明問題，命題的正確性需要嚴(yán)密推理證明，三角形外角分三種情形，銳角、直角、和鈍角，證明中應(yīng)分類才嚴(yán)謹．8．（2021·四川瀘州市·中考真題）在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，有以下結(jié)論：（其中R為ABC的外接圓半徑）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，則ABC的外接圓面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：先求出∠C，根據(jù)題目所給的定理，,利用圓的面積公式S圓=．方法二：設(shè)△ABC的外心為O，連結(jié)OA，OB，過O作OD⊥AB于D，由三角形內(nèi)角和可求∠C=60°，由圓周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性質(zhì)，∠OAB=∠OBA=，由垂徑定理可求AD=BD=，利用三角函數(shù)可求OA=，利用圓的面積公式S圓=．【詳解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，有題意可知，∴，∴S圓=．方法二：設(shè)△ABC的外心為O，連結(jié)OA，OB，過O作OD⊥AB于D，∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=，∵OD⊥AB，AB為弦，∴AD=BD=，∴AD=OAcos30°，∴OA=，∴S圓=．故答案為A．【點睛】本題考查三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，圓的面積公式，掌握三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，圓的面積公式是解題關(guān)鍵．9．（2021·重慶中考真題）如圖，在和中，，添加一個條件，不能證明和全等的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件和添加條件，結(jié)合全等三角形的判斷方法即可解答．【詳解】選項A，添加，在和中，，∴≌（ASA），選項B，添加，在和中，，，，無法證明≌；選項C，添加，在和中，，∴≌（SAS）；選項D，添加，在和中，，∴≌（AAS）；綜上，只有選項B符合題意．故選B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．10．（2021·重慶中考真題）如圖，點B，F(xiàn)，C，E共線，∠B=∠E，BF=EC，添加一個條件，不等判斷△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)逐一分析即可解題．【詳解】解：BF=EC，A.添加一個條件AB=DE，又故A不符合題意；B.添加一個條件∠A=∠D又故B不符合題意；C.添加一個條件AC=DF，不能判斷△ABC≌△DEF，故C符合題意；D.添加一個條件AC∥FD又故D不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查添加條件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．11．（2021·浙江嘉興市·中考真題）將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形【答案】D【分析】此題是有關(guān)剪紙的問題，此類問題應(yīng)親自動手折一折，剪一剪．【詳解】解：由題可知，AD平分,折疊后與重合，故全等，所以EO=OF;又作了AD的垂直平分線，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD；由平行四邊形的判定：對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，所以AEDF為平行四邊形；又AD⊥EF，所以平行四邊形AEDF為菱形．故選：【點睛】本題主要考察學(xué)生對于立體圖形與平面展開圖形之間的轉(zhuǎn)換能力，與課程標(biāo)準(zhǔn)中“能以實物的形狀想象出幾何圖形，有幾何圖形想象出實物的圖形”的要求相一致，充分體現(xiàn)了實踐操作性原則．12．（2021·四川遂寧市·中考真題）下列說法正確的是（）A．角平分線上的點到角兩邊的距離相等B．平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C．在代數(shù)式，，，，，中，，，是分式D．若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的對稱性，分式的定義，平均數(shù)，中位數(shù)的性質(zhì)分別進行判斷即可．【詳解】解：A.角平分線上的點到角兩邊的距離相等，故選項正確；B.平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項錯誤；C.在代數(shù)式，，，，，中，，是分式，故選項錯誤；D.若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3，故選項錯誤；故選：A．【點睛】本題綜合考查了角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的對稱性，分式的定義，平均數(shù)，中位數(shù)等知識點，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2021·湖南婁底市·中考真題）是某三角形三邊的長，則等于（）A． B． C．10 D．4【答案】D【分析】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出的取值范圍，再把二次根式進行化解，得出結(jié)論．【詳解】解：是三角形的三邊，，解得：，，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡，解題的關(guān)鍵是：先根據(jù)題意求出的范圍，再對二次根式化簡．14．（2021·山東泰安市·中考真題）如圖，直線，三角尺的直角頂點在直線m上，且三角尺的直角被直線m平分，若，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義求出∠6和∠7的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和求出∠3，∠8，∠2的度數(shù)，最后利用鄰補角互補求出∠4和∠5的度數(shù)．【詳解】首先根據(jù)三角尺的直角被直線m平分，∴∠6=∠7=45°；A、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n，∴∠2=∠8=75°結(jié)論正確，選項不合題意；B、∵∠7=45°，m∥n，∴∠3=∠7=45°，結(jié)論正確，選項不合題意；C、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，結(jié)論正確，選項不合題意；D、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，結(jié)論錯誤，選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，鄰補角互補，解答本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補．15．（2021·四川資陽市·中考真題）如圖，已知直線，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，由題意易得∠4=∠1=40°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進行求解．【詳解】解：如圖，∵，∴∠4=∠1=40°，∵，∴；故選B．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2021·海南中考真題）如圖，已知，直線與直線分別交于點，分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，作直線，交直線b于點C，連接，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得直線是線段AB的垂直平分線，進而可得，利用平行線的性質(zhì)及等腰三角形中等邊對等角，可得，所以可求得．【詳解】∵已知分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，作直線，交直線b于點C，連接，∴直線垂直平分線段AB，∴，∵，，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】題目主要考查線段垂直平分線的作法及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，根據(jù)題意得出直線垂直平分線段AB是解題關(guān)鍵．17．（2021·四川廣元市·中考真題）觀察下列作圖痕跡，所作線段為的角平分線的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角平分線畫法逐一進行判斷即可．【詳解】：所作線段為AB邊上的高，選項錯誤；B：做圖痕跡為AB邊上的中垂線，CD為AB邊上的中線，選項錯誤；C：CD為的角平分線，滿足題意。D：所作線段為AB邊上的高，選項錯誤故選：Ｃ.【點睛】本題考查點到直線距離的畫法，角平分線的畫法，中垂線的畫法，能夠區(qū)別彼此之間的不同是解題切入點．二、填空題18．（2021·河北中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)___________（填“增加”或“減少”）___________度．【答案】減少10【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關(guān)系，進行計算即可判斷．【詳解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調(diào)整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此應(yīng)將∠D減少10度；故答案為：①減少；②10．

【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時涉及到了三角形的內(nèi)角和與對頂角相等的知識；解決本題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．19．（2021·江蘇蘇州市·中考真題）如圖．在中，，．若，則______．【答案】54°【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠AEF，再根據(jù)三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)即可．【詳解】∵AF=EF，∴∠A=∠AEF，∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，∴∠A=36°，∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．故答案為：54°．【點睛】本題考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2021·浙江中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個如圖所示的正五角星（是正五邊形的五個頂點），則圖中的度數(shù)是_______度．【答案】36【分析】根據(jù)題意，得五邊形（是正五邊形的五個頂點）為正五邊形，且；根據(jù)多邊形內(nèi)角和性質(zhì)，得正五邊形內(nèi)角和，從而得；再根據(jù)補角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】∵正五角星（是正五邊形的五個頂點）∴五邊形（是正五邊形的五個頂點）為正五邊形，且∴正五邊形內(nèi)角和為：∴∴∵∴∴故答案為：36．【點睛】本題考查了正多邊形、多邊形內(nèi)角和、補角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形、多邊形內(nèi)角和、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解．21．（2021·江蘇連云港市·中考真題）如圖，是的中線，點F在上，延長交于點D．若，則______．【答案】【分析】連接ED，由是的中線，得到，，由，得到，設(shè)，由面積的等量關(guān)系解得，最后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)解得，據(jù)此解題即可．【詳解】解：連接ED是的中線，，設(shè)，與是等高三角形，，故答案為：．【點睛】本題考查三角形的中線、三角形的面積等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．22．（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直線DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點D，則△ABD的周長是_____．【答案】12．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式計算即可．【詳解】解：∵直線DE垂直平分BC，∴，∴△ABD的周長，故答案為：12．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．23．（2021·云南中考真題）已知的三個頂點都是同一個正方形的頂點，的平分線與線段交于點D．若的一條邊長為6，則點D到直線的距離為__________．【答案】3或或或【分析】將△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分別分AB=BC=6，AC=6，進行解答．【詳解】解：∵△ABC三個頂點都是同一個正方形的頂點，如圖，若∠ABC=90°，則∠ABC的平分線為正方形ABCD的對角線，D為對角線交點，過點D作DF⊥AB，垂足為F，當(dāng)AB=BC=6，則DF=BC=3；當(dāng)AC=6，則AB=BC==，∴DF=BC=；如圖，若∠BAC=90°，過點D作DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，AD=DF，又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD，∴△BAD≌△BFD（AAS），∴AB=BF，當(dāng)AB=AC=6，則BC=，∴BF=6，CF=，在正方形ABEC中，∠ACB=45°，∴△CDF是等腰直角三角形，則CF=DF=AD=；當(dāng)BC=6，則AB=AC==，同理可得：，綜上：點D到直線AB的距離為：3或或或，故答案為：3或或或．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，知識點較多，解題時要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，分情況解答．24．（2021·廣西柳州市·中考真題）若長度分別為3，4，a的三條線段能組成一個三角形，則整數(shù)a的值可以是________．（寫出一個即可）【答案】5（答案不唯一）【分析】根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊進行求解即可．【詳解】解：由題意知：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，整數(shù)a可取2、3、4、5、6中的一個，故答案為：5（答案不唯一）．【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，能根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出第三邊a的取值范圍是解答的關(guān)鍵．25．（2021·四川成都市·中考真題）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交于點M，N；②分別以M，N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點O；③作射線，交于點D．若點D到的距離為1，則的長為_______．【答案】【分析】過點D作于點E，由尺規(guī)作圖AD平分，可求，然后證明∠EDB=∠B，可得DE=BE=1，在Rt△DEB中，由勾股定理得出，即可得出答案．【詳解】解:過點D作于點E，由作圖步驟知，AD平分，，點D到的距離為1，∵∴∠B=∠CAB=45°，∴∠EDB=180°-∠DEB-∠B=45°=∠B，∴DE=BE=1，在Rt△DEB中，由勾股定理∴BC=DC+BD=1+．故答案為1+．【點睛】本題考查角平分線尺規(guī)作圖，角平分線性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握角平分線尺規(guī)作圖，角平分線性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理是解題關(guān)鍵．三、解答題26．（2021·陜西中考真題）如圖，，，點在上，且．求證：．【答案】見解析【分析】由題意易得，進而可證，然后問題可求證．【詳解】證明：∵，∴．∵，，∴．∴．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．27．（2021·湖南衡陽市·中考真題）如圖，點A、B、D、E在同一條直線上，．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)，可以得到，然后根據(jù)題目中的條件，利用ASA證明△ABC≌△DEF即可．【詳解】證明：點A，B，C，D，E在一條直線上∵∴在與中∴【點睛】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目．28．（2021·四川樂山市·中考真題）如圖，已知，，與相交于點，求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過證明，得，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】∵，∴（AAS），∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形、等腰三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解．29．（2021·四川瀘州市·中考真題）如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證：BD=CE【答案】證明見詳解．【分析】根據(jù)“ASA”證明△ABE≌△ACD，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到結(jié)論.【詳解】證明：在△ABE和△ACD中，∵,△ABE≌△ACD(ASA)，∴AE=AD，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．30．（2021·云南中考真題）如圖，在四邊形中，與相交于點E．求證：．【答案】見解析【分析】直接利用SSS證明△ACD≌△BDC，即可證明．【詳解】解：在△ACD和△BDC中，，∴△ACD≌△BDC（SSS），∴∠DAC=∠CBD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意靈活運用SSS的方法．31．（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O的直線EF與BA、DC的延長線分別交于點E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）請再添加一個條件，使四邊形BFDE是菱形，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明，則可得到AE＝CF；（2）連接BF，DE，由，得到OE=OF，又AO=CO，所以四邊形AECF是平行四邊形，則根據(jù)EF⊥BD可得四邊形BFDE是菱形．【詳解】證明：（1）∵四邊形是平行四邊形∴OA＝OC，BE∥DF∴∠E＝∠F在△AOE和△COF中∴∴AE＝CF（2）當(dāng)EF⊥BD時，四邊形BFDE是菱形，理由如下：如圖：連結(jié)BF，DE∵四邊形是平行四邊形∴OB＝OD∵∴∴四邊形是平行四邊形∵EF⊥BD，∴四邊形是菱形【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定等知識點，熟悉相關(guān)性質(zhì)，能全等三角形的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．32．（2021·江蘇連云港市·中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學(xué)探究活動．（1）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一點，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1，求的長；（2）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2，在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長；（3）是邊長為3的等邊三角形，M是高上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3，在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長；（4）正方形的邊長為3，E是邊上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形，其中點F、G都在直線上，如圖4，當(dāng)點E到達點B時，點F、G、H與點B重合．則點H所經(jīng)過的路徑長為______，點G所經(jīng)過的路徑長為______．【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）；【分析】（1）由、是等邊三角形，，，，可證即可；（2）連接，、是等邊三角形，可證，可得，又點在處時，，點在A處時，點與重合．可得點運動的路徑的長；（3）取中點，連接，由、是等邊三角形，可證，可得．又點在處時，，點在處時，點與重合．可求點所經(jīng)過的路徑的長；（4）連接CG,AC，OB，由∠CGA=90°，點G在以AC中點為圓心，AC為直徑的上運動，由四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，設(shè)OC=x，由勾股定理即，可求，點G所經(jīng)過的路徑長為長=，點H所經(jīng)過的路徑長為的長．【詳解】解:（1）∵、是等邊三角形，∴，，．∴，∴，∴，∴；（2）連接，∵、是等邊三角形，∴，，．∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，又點在處時，，點在A處時，點與重合．∴點運動的路徑的長；（3）取中點，連接，∴，∴，∵，∴，∴，∵、是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，又點在處時，，點在處時，點與重合，∴點所經(jīng)過的路徑的長；（4）連接CG,AC，OB，∵∠CGA=90°，∴點G在以AC中點為圓心，AC為直徑的上運動，∵四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，∴∠COB=90°，設(shè)OC=x，由勾股定理即，∴，點G所經(jīng)過的路徑長為長=，點H在以BC中點為圓心，BC長為直徑的弧上運動，點H所經(jīng)過的路徑長為的長度，∵點G運動圓周的四分之一，∴點H也運動圓周的四分一，點H所經(jīng)過的路徑長為的長=，故答案為；．【點睛本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90°圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90°圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式是解題關(guān)鍵．33．（2021·四川樂山市·中考真題）在等腰中，，點是邊上一點（不與點、重合），連結(jié)．（1）如圖1，若，點關(guān)于直線的對稱點為點，結(jié)，，則________；（2）若，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．①在圖2中補全圖形；②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）30°；（2）①見解析；②；見解析；（3），見解析【分析】（1）先根據(jù)題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計算即可（2）①按要求補全圖即可②先根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明，即可得出（3）先證明，再證明，得出，從而證明，得出，從而證明【詳解】解：（1）∵，∴△ABC是等邊三角形∴∠B=60°∵點關(guān)于直線的對稱點為點∴AB⊥DE，∴故答案為：；（2）①補全圖如圖2所示；②與的數(shù)量關(guān)系為：；證明：∵，．∴為正三角形，又∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)，∴，，∵，，∴，∴，∴．（3）連接．∵，，∴．∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴．【點睛】本題考查相似三角形的證明及性質(zhì)、全等三角形的證明及性質(zhì)、三角形的外角、軸對稱，熟練進行角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，相似三角形的證明是重點34．（2021·安徽中考真題）如圖1，在四邊形ABCD中，，點E在邊BC上，且，，作交線段AE于點F，連接BF．（1）求證：；（2）如圖2，若，，，求BE的長；（3）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點M，求的值．

【答案】（1）見解析；（2）6；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及已知條件易證，，即可得，；再證四邊形AFCD是平行四邊形即可得，所以，根據(jù)SAS即可證得；（2）證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）延長BM、ED交于點G．易證，可得；設(shè)，，，由此可得，；再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得．證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即，解方程求得x的值，繼而求得的值．【詳解】（1）證明：，；，，，，，，，，，，四邊形AFCD是平行四邊形在與中．，（2），，在中，，，，又，，，在與中．，；；，；，；，，或（舍）；（3）延長BM、ED交于點G．

與均為等腰三角形，，，，設(shè)，，，則，，，，；在與中，，；．；，，，，，，，，（舍），，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形的性質(zhì)及判定，熟練判定三角形全等及相似是解決問題的關(guān)鍵．35．（2021·重慶中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC，且．請用尺規(guī)完成基本作圖：作出的角平分線與BC交于點E．連接BD交AE于點F，交AC于點O，猜想線段BF和線段DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（尺規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】作圖見解析，猜想：DF=3BF，證明見解析．【分析】根據(jù)角平分線的作法作出的角平分線即可；由平行四邊形的性質(zhì)可得出.,由AC=2AB得出AO=AB，由等腰三角形的性質(zhì)得出，從而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，AE即為的角平分線，猜想：DF=3BF證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO=CO，BO=DO∴∵AC=2AB∴AO=AB∵AE是的角平分線∴∴∴．【點睛】此題主要考查了基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．36．（2021·浙江溫州市·中考真題）如圖，是的角平分線，在上取點，使．（1）求證：．（2）若，，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）35°【分析】（1）直接利用角平分線的定義和等邊對等角求出，即可完成求證；

（2）先求出∠ADE，再利用平行線的性質(zhì)求出∠ABC，最后利用角平分線的定義即可完成求解．

【詳解】解：（1）平分，．，，，．（2），，．．．平分，