本文格式為Word版，下載可任意編輯——近世代數(shù)習(xí)題解答（張禾瑞）二章近世代數(shù)習(xí)題解答

其次章群論

1群論

1.全體整數(shù)的集合對(duì)于普通減法來說是不是一個(gè)群?

證不是一個(gè)群,由于不適合結(jié)合律.

2.舉一個(gè)有兩個(gè)元的群的例子.

證G?{1,?1}對(duì)于普通乘法來說是一個(gè)群.

3.證明,我們也可以用條件1,2以及下面的條件

'4.G至少存在一個(gè)右單位元e,能讓ae?a對(duì)于G的任何元a都成立

4',5'來作群的定義:

5.對(duì)于G的每一個(gè)元a,在G里至少存在一個(gè)右逆元a?1,能讓aa?e證(1)一個(gè)右逆元一定是一個(gè)左逆元,意思是由aa?e得aa?e

'?1''由于由4G有元a能使aa?e

'?1?1?1所以(aa)e?(aa)(aa)

?[a?1(aa?1)]a'?[a?1e]a'?a?1a'?e即aa?e

(2)一個(gè)右恒等元e一定也是一個(gè)左恒等元,意即由ae?a得ea?aea?(aa)a?a(aa)?ae?a即ea?a

這樣就得到群的其次定義.(3)證ax?b可解取x?aba(ab)?(aa)b?be?b這就得到群的第一定義.

反過來有群的定義得到4,5是不困難的.

''?1?1?1?1?1?1?1'?1?12單位元,逆元,消去律

1.若群G的每一個(gè)元都適合方程x?e,那么G就是交換群.

2證由條件知G中的任一元等于它的逆元,因此對(duì)a,b?G有ab?(ab)?1?b?1a?1?ba.

2.在一個(gè)有限群里階大于2的元的個(gè)數(shù)是偶數(shù).

證(1)先證a的階是n則a的階也是n.an?e?(a?1)n?(an)?1?e?1?e

若有m?n使(a?1)m?e即(am)?1?e因而a?e?a?e這與a的階是n矛盾.?a的階等于a的階(2)

?1m?1m?1a的階大于2,則a?a?1若a?a?1?a2?e這與a的階大于2矛盾

a?1雙雙出現(xiàn),因此有限群里階大于2的元的個(gè)數(shù)一

?1?1(3)a?b則a?b

總起來可知階大于2的元a與定是偶數(shù)

3.假定G是個(gè)數(shù)一個(gè)階是偶數(shù)的有限群,在G里階等于2的元的

個(gè)數(shù)一定是奇數(shù).

證根據(jù)上題知,有限群G里的元大于2的個(gè)數(shù)是偶數(shù);因此階

?2的元的個(gè)數(shù)仍是偶數(shù),但階是1的元只有單位元,所以階?2的元的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù).

4.一個(gè)有限群的每一個(gè)元的階都是有限的.

證a?G

故a,a2,?,am,?,an,??G

由于G是有限群,所以這些元中至少有兩個(gè)元相等:a?a(m?n)故amnn?m?e

n?m是整數(shù),因而a的階不超過它.

4群的同態(tài)

假定在兩個(gè)群G和G的一個(gè)同態(tài)映射之下,a?a，a和a的階是不是一定一致?證不一定一致例如G?{1,G?{1}

?????1?i3?1?i3,}22?對(duì)普通乘法G,G都作成群,且?(x)?1(這里x是

G的任意元,1是G的元)

由?可知G∽G但

???1?i3?1?i3,的階都是3.22而1的階是1.

5變換群

1.假定?是集合的一個(gè)非一一變換,?會(huì)不會(huì)有一個(gè)左逆元?證我們的回復(fù)是回有的A?{1,2,3,?}

?1,使得?????

?1?1:1→1?21→1

2→12→33→23→44→34→5……

?顯然是一個(gè)非一一變換但??1???

2.假定A是所有實(shí)數(shù)作成的集合.證明.所有A的可以寫成x?ax?b,a,b是有理

數(shù),a?0形式的變換作成一個(gè)變換群.這個(gè)群是不是一個(gè)交換群?證(1)?:x?ax?b?:x?cx?d

??:x?c(ax?b)?d?cax?cb?dca,cb?d是有理數(shù)ca?0?是關(guān)閉的.

(2)顯然時(shí)候結(jié)合律(3)a?1b?0則(4)

?:x?x

?:ax?b

?1??1:x?而????所以構(gòu)成變換群.

又?1:x?x?1?2:x?2x?1?2:x?2(x?1)?2?1:x?2x?1故?1?2??2?1因而不是交換群.

3.假定S是一個(gè)集合A的所有變換作成的集合,我們暫時(shí)仍用舊符號(hào)?:a?a??(a)

來說明一個(gè)變換?.證明,我們可以用?1?2:a??1[?2(a)]??1?2(a)來規(guī)定一個(gè)S的乘法,這個(gè)乘法也適合結(jié)合律,并且對(duì)于這個(gè)乘法來說?還是S的單位元.證?1:a??1(a)

'1bx?(?)aa?2:a??2(a)

那么?1?2:a??1[?2(a)]??1?2(a)

顯然也是A的一個(gè)變換.現(xiàn)在證這個(gè)乘法適合結(jié)合律:

(?1?2)?3:a?(?1?2)[?3(a)]??1[?2[?3(a)]]?1(?2?3):a??1[?2?3(a)]??1[?2[?3(a)]]故(?1?2)?3??1(?2?3)再證?還是S的單位元

?:a?a??(a)

???:a??[?(a)]??(a)

??:a??[?(a)]??(a)?

?????

4．證明一個(gè)變換群的單位元一定是恒等變換。證設(shè)?是是變換群G的單位元

??G，G是變換群，故?是一一變換，因此對(duì)集合A的任意元a，有A的元b，?:b?a??(b)

?(a)??(?(a))=??(b)??(b)?a??(a)?a另證

?(x)???1?(x)

根據(jù)1.7.習(xí)題3知??1?(x)?x??(x)?x

5.證明實(shí)數(shù)域上一切有逆的n?n矩陣乘法來說，作成一個(gè)群。

證G={實(shí)數(shù)域上一切有逆的n?n矩陣}

A,B?G則B?1A?1是AB的逆

從而A,B?G

對(duì)矩陣乘法來說，G當(dāng)然適合結(jié)合律且E（n階的單位陣）是G的單位元。故G作成群。

6置換群

1.找出所有S3的不能和(123231)交換的元.

123123123證S3不能和(123231)交換的元有(132),(213),(321)這是難驗(yàn)證的.

2.把S3的所有的元寫成不相連的循環(huán)置換的乘積

解:S3的所有元用不相連的循環(huán)置換寫出來是:(1),(12),(13),(23),(123),(132).3.證明:

(1)兩個(gè)不相連的循環(huán)置換可以交換(2)(i1i2?ik)?1?(ikik?1?i1)證(1)(i1i2?ik)(ik?1?im)=(ikik?1ik?2imim?1?in=((ii1ii2?)?23i1ik?2ik?3?ik?1im?1?in2kk?1mm?1n又(ik?1ik?2?im)(i1i2?ik)=(i1i2?ikik?2ik?3?ik?1im?1?in)(i1)2i3?i1ik?1?imim?1?in2kk?1k?2mm?1n=(i1),故(i1i2?ik)(ik?1?im)?(ik?1?im)(i1i2?ik)2i3?i1ik?2ik?3?ik?1im?1?ini1i2?ikik?1?imim?1?ini2i3?ik?1?imim?1?in)(i1i2?ikik?2?ik?3?ik?1im?1?in)

ii?ii?ii?ii1i2?ikik?1ik?2?imim?1?ini1i2?ikik?1ik?2?imim?1?inii?iii?ii?i(2)(i1i2?ik)(ikik?1?i1)?(i1),故(i1i2?ik)?1?(ikik?1?i1).

3.證明一個(gè)K一循環(huán)置換的階是K.

2k證設(shè)??(i1i2?ik)?(i1)2i3?i1ii?i

i?2?(ii??i)

1k32…………

i?k?1?(ii??i)

11kk?1i?k?(ii??i)?(i1)

11kk設(shè)h?k,那么

i?h?(ii??i)?(i1)

1kh?1h５．證明Sn的每一個(gè)元都可以寫成(12),(13),?,(1n)這n?1個(gè)２－循環(huán)置換中的若干個(gè)乘積。

證根據(jù)2.6.定理２。Sn的每一個(gè)元都可以寫成若干不相干循環(huán)置換的乘積而我們又能證明

(i1i2?ik)?(i1i2)(i1i3)?(i1ik)