本文格式為Word版，下載可任意編輯——量子力學(xué)曾謹(jǐn)言習(xí)題解答第九章第九章：定態(tài)微擾論

[1]設(shè)非簡諧振子的哈密頓量為：

???hd取H02?dx22???H?2d222?dx?12??0x22（?為常數(shù)）

?12??0x22，H???x2，試用定態(tài)微擾論求其能量及能量本征函

?1?k數(shù)。

（解）一級(jí)能量本征值修正量：此題是一維、無簡并的，按本章§9.1公式?從§3.3知道一維諧振子波函數(shù)是：

?Wkk，

?k?x?????*k??2?k!ke??x222Hk??x?，

但???1?（1）

3Ek???x??x??x??3kdx??k（2）

??x22?2k!x?????xeHk??x?dx22但根據(jù)§3.3，一維諧振子波函數(shù)中的厄密多項(xiàng)式是有宇稱的（或奇或偶），因而Hn??x?必

定是個(gè)偶函數(shù)。（2）式中被積函數(shù)就應(yīng)是奇函數(shù)，又因積分限等值異號(hào)，結(jié)果有：

Ek?1??0

一級(jí)波函數(shù)修正值：據(jù)§9.1公式[12b]???0kk??12/HnkE(0)k/?E(0)n?(0)n（3）

Ek(0)?(k?)??(3)

(0)k//微擾矩陣元Hnk??Wnk要涉及厄密多項(xiàng)式相乘積的積分，為此利用關(guān)于?的一個(gè)遞推公

式（p.90，問題2）：

1n2n?12x?(0)n??(?(0)n?1??(0)n?1)（4）

將此式遍乘x，再重復(fù)使用（4）

x?2(0)n??1?1([n2x?n2((0)n?1?n?12x?(0)n?1)(0)nn?12(2??2?(0)n?2??n2?)

?n?122n?1?(0)nn?2212)??(0)n(0)n?2)

1??{n(n?1)44?(0)n?2?(n?(0)n?2(n?1)(n?2)?}(5)再將此式遍乘x，重復(fù)使用（4）式

x?3(0)n?1?2{n(n?1)412)x?x??(0)n?2

(0)n?(n?(n?1)(n?2)4(0)n?3?(0)n?2}1=?38{n(n?1)(n?2)?(0)n?1?3nn?(0)n?1

(0)n?3?3(n?1)n?1??(n?1)(n?2)(n?3)?}（6）利用公式（6）來計(jì)算微擾矩陣元Wnk：Wnk?????*2?n(x)?x?kdx

將（6）式中的n換成k代入前一式，并注意?

(0)n是正交歸一化的，即

??0*n(x)?(0)n(0)k(x)dx??nk18a3Wnk?????????k?0k?1{k(k?1)(k?2)?0k?1(0)n?3?3k??3(k?1)k?1?(0)k?3

(k?1)(k?2)(k?3)?}dx??8?2{k(k?1)(k?2)?n,k?3?3kk?n,k?1

?3(k?1)k?1?n,k?1?(k?1)(k?2)(k?3)?n,k?2}(7)

k是固定指標(biāo)，故Wnk只有當(dāng)n取下述四值時(shí)不為零，即

n?k?3,k?1,k?1,k?3(8)

但要注意，當(dāng)n取用一個(gè)值時(shí)，就不能再取其他值，所以n取定后Wnk的非零值是（7）式中某個(gè)?的系數(shù)。（3）的求和是式只有四項(xiàng)。Ek(0)?En(0)?(k?12)???(n?12)??

?(k?n)??)(0)(0)有：Ek(0)?Ek(0?3??，Ek?Ek?1???，?2(0)(0))Ek(0)?Ek(0????，Ek?Ek?3??3??（9）?1將（7）和（9）所決定的諸值代入（3）

?k??(0)k??H(0)/0Hnx/

?EkEk?Ek(0)?(0)(0)n??(0)k?Hk?2,kEk(0)/?Ek?2(0)?(0)k?3/k?1,k

?Ek?3?(0)k?3?k??(0)k???k?0k?138a??3{1k(k?1)(k?2)?0k?1(0)n?3?3k?13?3(k?1)k?1?(0)k?3

(10)(k?1)(k?2)(k?3)?}二能級(jí)量本征值修正量：按二級(jí)近似式是Ek?E(0)k?H/kk??n(Hnk)Ek(0)/2(0)?En（11）

/其中Hkk??Wkk?0，二級(jí)修正量是個(gè)數(shù)量的和，它也用（7）式來計(jì)算，并也包括四個(gè)項(xiàng)：

Ek?(k?12H)???/2k?1,kHk?3,kEk?(0)/2?Ek?3H/2k?3,k(0)(0)?Hk?1,kEk(0)/2?Ek?1(0)

?Ek(0)?Ek?1(0)Ek26?Ek?3(0)?(k?122)????8??

?9k1{k(k?1)(k?2)??313(k?1)(k?2)(k?3)}1

?9(k?1)?2?(k?12)????628???(30k2?30k?1)

[2]一維無限深勢(shì)阱（0?x?a）中的粒子受到微擾：xa?2?(0?x?)?/a2H(x)??x?2?(1?)(0?x?a)a?的作用，求基態(tài)能量的一級(jí)修正。

圖345

（解）此題是一維無簡并問題，無微擾時(shí)的能量本征函數(shù)

?(0)k?2asink??a（1）

能量本征值E(0)k?k??2?a2222（2）

對(duì)基態(tài)k?1，計(jì)算能量的一級(jí)修正量時(shí)，因微擾H/是分段連續(xù)的，因而要求兩個(gè)積分式的和

aH/??20?0H?0dx?a*/?aa2?0H?0dx*/?2a2a?20asin2?x2?xa(a)dx2?xa)dx??asin2a202?xa(2??

?2?a?{?2(1?cosa2?xa)xdx(3)?a(1?cos22?xa)(a?x)dx}利用定積分公式：

?xxcospx?xpsinpx?1p2cospx（4）

代入（3）；得

?附帶地指出：對(duì)于此題的粒子的激發(fā)態(tài)能量的一級(jí)修正量計(jì)算，可以用同樣步驟得到，第K

2E11?H11??((1)/1?22)

個(gè)激發(fā)態(tài)的一級(jí)修正：E(1)11?2?a2a{?2(1?cos02k?xak)xdx?)}2?a(1?cos2a2k?xa)(a?x)dx}

??{12?[1?(?1)](1k?#

?[3]設(shè)有一個(gè)三維轉(zhuǎn)子處于基態(tài)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，它沿轉(zhuǎn)軸方向有一個(gè)電偶極矩D,現(xiàn)加上一個(gè)

外電場(chǎng)?，可以視作微擾，試用微擾論求能量二級(jí)修正值。

?

圖347

（解）三維轉(zhuǎn)子可看作啞鈴狀或棒狀體，旋繞其中點(diǎn)0作三維的轉(zhuǎn)動(dòng)，位置由球極座標(biāo)(?,?)決定。由于點(diǎn)（棒一端）的矢徑a是常量，哈密頓符是：

?22??1?l2?H?{2(r)?22}2?r?r?r?r?2?2ll??(1)22I2?r?2式中a是轉(zhuǎn)子軸長度之半，I是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（關(guān)于與棒身垂直的轉(zhuǎn)軸），l角動(dòng)量平方算符，

按p114，公式（29）

2?211?1?2l???{(sin?)?}（2）22sin?????sin???因此無微擾時(shí)，勢(shì)能為零，而能量本征方程式是：

1?2l?(?,?)??(?,?)（3）I它的解是球諧函數(shù)：

?(?,?)?Ylm(?,?)?2l?1(l?m)!mim??Pl(cos?)e2(l?m)!能量本征值是：

El?l(l?1)?22I(l?0,1,2,3,?)（4）

假定轉(zhuǎn)子是電偶極子，電矩是D，則D=2aq（q電荷），同時(shí)加上沿z方向的電場(chǎng)?后，轉(zhuǎn)子獲得附加的偶矩電勢(shì)能V(?)，作為微擾對(duì)待：

?H/??W?V(?)?D?cos?（5）

此題限于基態(tài)能量，但最低的能級(jí)相當(dāng)于l?0，當(dāng)不存在微擾時(shí)，基態(tài)能量本征值E00??(1)??Y00D?cos?Y00sin?d?d?*?D?2量

????0

sin?cos?d??0二能修正

2值

2：可以利用球諧函數(shù)的遞推公式

cos?Ylm?(l?1)?m(2l?1)(2l?3)?l?m22Yl?1,m

Yl?1,m(8)(2l?1)(2l?1)/在計(jì)算H01時(shí)可在上式中令m?0,l?1得：

cos?Y10?H01?/415Y20?13Y00（9）

??Y?*00D?cos?Y10d?*?41513D?D???YY05?20d??1??Y3?200d??D?(10)

?

計(jì)算H02時(shí)，可在（8）式中，令m?0,l?2得：

935*/cos?Y20?Y30?415Y10（11）

H02?/??Y00D?cos?Y20d??0（球諧函數(shù)正交性）

?//同理可證H02，H04等都是零。零階能量E1E(0)?1?2?22I??22I

2(0)?1?2h2I??I

代入（7）式（僅有一項(xiàng)）：

(132Dε)2E(2)00???I?0??D2ε22I3?

此題中的球諧函數(shù)的遞推公式（8）可參看課本附錄四（P.637）公式（37）、（38）等。#[4]xy平面內(nèi)的轉(zhuǎn)子，除了受到沿x方向的均勻電場(chǎng)的作用外，還受到沿x軸方向的

?均勻磁場(chǎng)B的作用，試用微擾理論計(jì)算轉(zhuǎn)子的能量。

（解）平面轉(zhuǎn)子可看作繞一固定點(diǎn)0轉(zhuǎn)動(dòng)的棒，可用棒與0x軸間夾角?定位，哈氏算符：

?222?l??（1）H???22I2I??無微擾能量本征函數(shù)：?m(?)?12?eim?（2）

圖350

轉(zhuǎn)子是一偶極子，它具有電偶極矩D，因而在平行于0x軸的電場(chǎng)?作用下具有偶極勢(shì)能：

??D????D?cos?

轉(zhuǎn)子又在平行于z軸的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由于電荷的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于園電流，而電流在磁場(chǎng)中具有磁勢(shì)能，磁勢(shì)能由磁距決定，磁距?z又與角動(dòng)量l?成正比：磁距?z?e2?c?l??e??2?ci??

?e?B?附加磁勢(shì)能：??z?B??（4）

2?ci??/微擾算符H??D?cos??e??2?ci??（5）

當(dāng)微擾未加上時(shí)，轉(zhuǎn)子的本征方程式如下：?從這里得到能量的本征函數(shù)：??12?e?im??2??222I?????（6）（7）

本征值是：???m2I22?Em（8）

(0)由此可知不管磁量子數(shù)是何值，能量總是二度簡并的，但能證明，在考慮能量一級(jí)修正量時(shí)，使用非簡并微擾法和使用有簡并微擾法二者的結(jié)果，對(duì)同一m值是一致的，用非簡并微擾法，先求矩陣元：

2?1?im?e?B?/im?Hm,m???e(D?cos??)ed???02?2?ci??//???D?2???2??0/ei(m?m?1)?/?e2i(m?m?1)?/d?e?Bm4??cD?4?{??2??0ei(m?m)?/d?e2?i(m?m?1)//??e2?i(m?m?1)//?1i(m?m?1)/??1

}i(m?m?1)?e?Bm4??cD?2e2?i(m?m)//?1/i(m?m)e?Bm2?c??{?m/,m?1??m/,m?1}??m/,m(9)這個(gè)式子可以用來計(jì)算一級(jí)和二級(jí)能量修正值。

對(duì)一級(jí)能量修正：

E(1)m?Hm/m??/D?2{?m/,m?1??m/,m?1}?e?Bm2?c/?m/,m?e?Bm2?c（10）

對(duì)二級(jí)能量修正值：

(2)mE??m/(H(0)/mm/)(0)Em/?Em/

從（9）式知道，m只有二種值對(duì)于Em有貢獻(xiàn)，即

m?m?1，m?m?1

//(2)Em(2)?Hm?1,mEm?Em?1D2(0)(0)/2?Hm?1,mEm?Em?11m?(m?1)22(0)(0)/2???224D22?2I?2?{?1m?(m?1)22}