1.平行射影或透視仿射：

§1.1平行射影與仿射對(duì)應(yīng)一.兩直線間的平行射影與仿射對(duì)應(yīng)若直線，且╫、╫，點(diǎn)A,B,C,D……,過點(diǎn)A,B,C,D……作直線的平行線交于……，則可得直線到直線的一個(gè)映射。稱為平行射影或透視仿射，記為TABCD原象點(diǎn)：A,B,C,D……

直線a上的點(diǎn)映象點(diǎn)：……直線上的點(diǎn)平行射影的方向：直線記透視仿射T：………

透視仿射與方向有關(guān)，方向變了，則得到另外的透視仿射OABCD點(diǎn)O為自對(duì)應(yīng)點(diǎn)(同一平面上兩相交直線的公共點(diǎn))2.仿射（或仿射變換）：仿射是透視仿射鏈或平行射影鏈表示透視仿射鏈，T表示仿射（如圖）………………仿此，每一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都可以這樣表示。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為記為：注：1.仿射是有限回的平行射影組成的2.判斷仿射是否是透視仿射的方法：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的聯(lián)線是否平行3.書寫的順序與平行射影的順序是相反的二.兩平面的平行射影與仿射對(duì)應(yīng)：1.平行射影：如圖點(diǎn)A,B,C共線a，則共線gABCal兩相交平面的交線為自對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合即對(duì)應(yīng)軸2仿射：平面到平面的仿射是有限回平行射影的積組成的，是透視仿射鏈性質(zhì)：1.透視仿射保留同素性.（幾何元素保留同一種類而不改變）即點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線對(duì)應(yīng)為直線.2.保留點(diǎn)與直線的結(jié)合性§1.2仿射不變性與不變量定義1

仿射不變性與不變量：經(jīng)過一切透視仿射不變的性質(zhì)和數(shù)量仿射圖形：經(jīng)過任何仿射對(duì)應(yīng)不改變的圖形.仿射性：經(jīng)過任何仿射對(duì)應(yīng)不改變的性質(zhì).仿射量：經(jīng)過任何仿射對(duì)應(yīng)不改變的數(shù)量.定理1：兩直線間的平行性是仿射不變性.（反證法）推論平行四邊形是仿射不變的圖形.定義簡(jiǎn)比：設(shè)A,B,C為共線三點(diǎn)，這三點(diǎn)的簡(jiǎn)比（ABC）定義為以下有向線段的比：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，(ABC)<0當(dāng)點(diǎn)C在線段AB或BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，(ABC)0當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，(ABC)=0當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，(ABC)不存在當(dāng)點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，(ABC)=-1則點(diǎn)C稱為分點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)稱為基點(diǎn)簡(jiǎn)比(ABC)等于點(diǎn)C分割線段AB的分割比的相反數(shù)例1經(jīng)過點(diǎn)A(-3,2)和B(6,1)兩點(diǎn)直線被直線x+3y-6=0截于P點(diǎn)，求簡(jiǎn)比（ABP）定理2共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比是仿射不變量.定理3兩平行線段之比是仿射不變量.定理2定理5定理4一直線上兩線段之比是仿射不變量.在透視仿射下，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)應(yīng)軸的距離之比是一個(gè)常數(shù)任意兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量.推論1在仿射變換下，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)多邊形面積之比是仿射不變量推論2在仿射變換下，任何兩條封閉凸曲線所圍成的面積之比是仿射不變量§1.3平面內(nèi)的仿射變換及其決定一.平面內(nèi)的透視仿射設(shè)為平面到平面的透視仿射，射影方向?yàn)?設(shè)為平面到平面的透視仿射，射影方向?yàn)?則gAB設(shè)T將上的點(diǎn)A變換為其本身上的點(diǎn)T將上的點(diǎn)B變換為其本身上的點(diǎn)aT將上的點(diǎn)變換為上的點(diǎn),將上的直線a變換為上的直線,即T保留同素性和接合性.T將上的相交直線a,b變換為上的相交直線.T將上的平行直線

變換為上的平行直線.

和的交線g上的每一點(diǎn)經(jīng)過T不變，且T具有仿射不變性與不變量，稱T為平面到自身的透視仿射定理1定理2平面內(nèi)的透視仿射由一對(duì)對(duì)應(yīng)軸與一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)完全決定給定平面內(nèi)的兩個(gè)三角形，至多利用三回透視仿射可使一個(gè)三角形變?yōu)榱硪粋€(gè)三角形定理3原象點(diǎn)不共線，映象點(diǎn)也不共線的三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)決定唯一的仿射變換§1.4仿射變換的代數(shù)表示設(shè)有一正交笛卡兒坐標(biāo)系xoy，以E為單位點(diǎn)（如圖）.一個(gè)仿射變換T將平面上一點(diǎn)P變換為一點(diǎn)，求P的坐標(biāo)（x,y）和的坐標(biāo)之間的關(guān)系.仿射變換T由三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定.設(shè)的坐標(biāo)為X軸上的單位點(diǎn)的映象的坐標(biāo)為y軸上的單位點(diǎn)的映象的坐標(biāo)為設(shè)P在坐標(biāo)軸上的正射影，且，則T將平行四邊形及分別變換為平行四邊形及.由于T保留簡(jiǎn)比.則xyOP(x