數(shù)值分析矩陣的特征值矩陣的特征值與特征向量的計算4-1第1頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五第九章

矩陣的特征值

與特征向量的計算§1乘冪法與反冪法§2Jacobi方法

§3QR方法

2第2頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五第九章矩陣的特征值與特征向量的計算概述線性代數(shù)中已接觸過這個概念，矩陣的特征值與特征向量能反映矩陣的性態(tài)，在理論上重要，而工程技術(shù)中的許多問題，如橋梁的振動，機械的振動，建筑物的振動及飛機機翼的顫動，這些問題的求解常歸結(jié)為求矩陣的特征值問題，另外一些穩(wěn)定性分析問題也會轉(zhuǎn)化為求特征值與特征向量的問題。先簡單提一下有關概念n階方陣A的特征值是這樣的：它使Ax=x，即有(A-I)x=0（其中特征向量x為非零向量），將其看作方程組，則是n個未知數(shù)（為n階向量），n個方程的齊次線性方程組，它有非零解x的充分必要條件是系數(shù)矩陣所成行列式，稱為關于的特征方程：3第3頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五矩陣的特征值與特征向量的計算概述（續(xù)1）將行列式展開，得關于的n次多項式：

()稱為A的特征多項式，一般()=0的n個根都是A的特征值，對應于n個特征向量，且若x為對應的特征向量，則kx也是對應的特征向量（允許相差一常數(shù)k）。當n不大時，如n4

解特征方程，可求出全部特征值（n3較難）當n較大（n>5），計算量會增大得驚人，且不可能求得準確結(jié)果，還可能出現(xiàn)不穩(wěn)定，所以當n稍大一般不直接求解特征方程，而根據(jù)實際問題的需要，介紹相應的一些行之有效的數(shù)值解法

4第4頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五§1

乘冪法與反冪法

像我們在范數(shù)，譜半徑中知道的那樣，有時只需求出矩陣的按模最大的特征值與相應的特征向量。

1.1乘冪法

乘冪法是一種迭代法；先找初始向量x(0)反復乘以給定的方陣A，依次得x(1),x(2)……，直到滿足精度為止，可從中分離出絕對值最大的特征值。

設nn階實矩陣A的特征值i

(i=1,2,…，n)滿足

5第5頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五構(gòu)造向量序列假定i(i=1,2,…，n)對應的特征向量U1,U2,…,Un線性無關，這組特征向量構(gòu)成Rn中的一個基底，則任一非零向量可表為Ui(i=1,2,…，n)的線性組合，即存在n個不全為o的常數(shù)i(i=1,2,…，n)使

可構(gòu)造向量序列

所以乘冪法實際上是，對于給定的初始向量（零向量）由迭代法：6第6頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五求出最大的特征值1產(chǎn)生迭代向量序列，可以證明，當k充分大時有

（由x的某一分量的相鄰二次結(jié)果之比可得出1），而相應的特征向量為。實際上，由式（4-1）可得

：7第7頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五求出最大的特征值1（續(xù)1）因此可看作為與對應的特征向量的近似，而由式，

取它們的任一分作比值即可得：

8第8頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五幾點注釋注2：當而k充分大時，會隨k的增大而無限增大或無限趨于0，這樣上機計算時會產(chǎn)生溢出（上溢或下溢）的情況，為避免這種情形出現(xiàn)，實際計算時，每次迭代求得的向量x(k)要進行歸一化（規(guī)范化）處理：取x(k)中絕對值最大的一個分量除x(k)，這樣將x(k)的分量全部控制在[-1,1]中，而1是由相鄰二次分量的比值所決定，因此不會受到影響。注1：一般有10，若恰好x(0)使1為0，也不影響上述法，因為實際計算中，由于有舍入誤差的影響，迭代n次后所得到的向量x(k)在u1方向上的分量不會為0，因此，可得x(2)為初始向量。繼續(xù)下去。9第9頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五幾點注釋（續(xù)）

注3：因此乘冪法實際使用的公式及算法為：

10第10頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五

算法4.1

4.計算

，，。

注4：初始向量x(0)的選取對迭代有影響，若收斂太慢可考慮重新選初值。6.若k<N，置k+1k,

，轉(zhuǎn)3；否則，輸出失敗信息，停機。11第11頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例題1例1用乘冪法求按模最大的特征值和特征向量，取x(0)=(0，0，1)T，要求誤差不超過10-3。解由式（4-3）

12第12頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例題1（續(xù)1）如此繼續(xù)下去，計算結(jié)果見表4-1k000110011012200.5120.522.52.50.20.8131.22.62.82.80.42857140.9285714141.78571422.85714282.9285714

0.60975600.9756097152.19512182.9513942.9756097

0.73770480.9918619162.46727172.98372382.9918619

0.82466090.9972799172.64660182.99455982.9972799

0.88300120.9990924182.76509482.99818482.99909024

0.92197720.9996973192.84365172.99939462.9996973

13第13頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例題1（續(xù)2）因為 ∴ 其對應的特征向量：

可與準確的特值值；1=3，2=2，3=1及1的特征向量（1,-1,1）T相比較，再次說明：特征向量允許相差一常數(shù)。14第14頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五兩點注釋

注1：冪法的收斂速度依賴于，比值越小，收斂越快，對上例，按準確的值，比值不是很小。因此對=103也迭代了9次，不算收斂快。對按乘冪法計算其最大特征值，取x(0)=(1,1,1)T。因為，所以對于

=103，只需迭代5次。當收斂慢時，還要考慮加快收斂的技術(shù)。15第15頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五兩點注釋（續(xù)1）注2：前面假定，嚴格大于其他特征值，也有可能，這樣的1有多個，如m個，那么上述冪法還行嗎？討論特殊情況如下：（1）1是m重根。即1=2=…=m，冪法仍有效，此時有，式（4-2）變成：

只要1,2,…,m不全為零，當k充分大時

16第16頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五兩點注釋（續(xù)2）x(k+1)為1對應的特征向量收斂到1u1+…+mum17第17頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五兩點注釋（續(xù)3）表明x(2k)是1對應的特征向量的近似。

式（4-4），（4-5）為最大的特征值1,2與對應的特征向量的計算公式。18第18頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五1.2冪法的加速：原點移位法

當比值接近于1，則冪法收斂慢，應配以加速技術(shù)。下面介紹兩種加速技術(shù)：

所謂原點移位法是：以A-0I代替A，用乘冪法求得A-0I的最大特征值i，則A的最大特征值1=i+0，其特征向量不變。而對A-0I按乘冪法（4-1）有：適當?shù)剡x取0滿足且這樣在用冪法求A-0I的最大特征值1-0時，收斂速度比對A用冪法要快。1.原點移位法19第19頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五0的估計

原點移位法較簡單，然而0如何選取是很因難的，一般情況下，如果對特征值的分布情況有大概的了解，可粗略地估計出0。

此不等式表明，原點移位法求1，加快了收斂速度。20第20頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例題2

取0=2.9，用原點移位法求A的最大特征值，要求誤差<10-4。按式（4-3）計算，結(jié)果見表4-2

21第21頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例題2（續(xù)1）表4-2k0111111117.15.11.17.110.71830980.154929523.15633722.2549290.98450713.156337210.71441320.311914433.1017852.21557330.96880863.10178510.71428970.31233943.10005682.2143260.96876613.100056810.71428560.312499453.09999842.21428460.96875013.09999841

22第22頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例題2（續(xù)2）所以，矩陣A的按模最大的特征值為不難求出，A的特征值為，若對A直接用冪法，則比值，而用原點移位法，則有：因此收斂速度明顯加快。23第23頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五2.冪法的埃特肯（Aitken）加速

1）首先介紹Aitken加速法，并且說明對線性收斂速度的迭代均可用此法加快收斂；2）進一步說明冪法是線性收斂的；3）Aitken加速法用于冪法，加速收斂。下面是詳細內(nèi)容：1）Aitken加速法

設序列{ak}線性收斂到a,記誤差k=aka即有于是當k充分大，且k，k+1同號時有

：可解出：24第24頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五埃特肯（Aitken）加速（續(xù)）

因此所有具線性的收斂速度的序列均可使用Aitken法加快收斂

。上面結(jié)果表明：分子超于0的速度比分母超于0的速度快，亦即分子是比分母更高價的無窮小，因此比{ak}快。25第25頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五算法4.2

2）乘冪法收斂速度是線性的，即乘冪法所得向量序列

{x(k+1)}收斂到x1的速度是線性的。

3）Aitken加速技術(shù)用于乘冪法，得如下算法4.2

1.輸入A=(aij)，初始向量x=(x1,x2,…xn)T，誤差限，最大迭代次數(shù)N；3.

4.計， 置26第26頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例題3例3用Aitken加速法求例1中矩陣的按模最大特征值與對應的特征向量，取x(0)=(0,0,1)T。

解（一）2.

， ，，轉(zhuǎn)327第27頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例題3（續(xù)1）（二）3.

（三）3。28第28頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例題3（續(xù)2）（四）3.計算結(jié)果見表4-3：29第29頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例題3（續(xù)3）k10122

20.522.52.5

31.22.62.82.83.2541.78571422.85714282.92857142.92857143.024999952.19512182.9513942.97560972.97560973.002747262.4672172.98372382.99186192.99186193.000441630第30頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例題3（續(xù)4）

計算結(jié)果與例1的計算結(jié)果比較，顯然Aitken加速法的收斂速度比冪法快（這里加速后的收斂快）。

也可上述算法4.2是用冪法迭代一次，加速一次，修改為用冪法迭代二次或三次，加速一次。

Aitken加速序列的收斂速度是原序列收斂速度的兩倍。31第31頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五1.3反冪法

在乘冪法中，以A-1代替A，即為反冪法，用于求A的最小特征值及對應的特征向量。

因為以A-1代替A，由此式表明A-1的特征值是A的特征值的倒數(shù)，而相應特征向量不變。這樣，若對A用乘冪法求最大特征值1

：則對A-1用乘冪法求最大特征值應滿足：32第32頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五反冪法（續(xù)1）若按乘冪法，以A-1代替A，有x(k+1)=A-1x(k)，為避免求逆陣A-1，實際運算時，?；癁榍蠼釧x(k+1)=x(k)，這樣迭代一次的算法，轉(zhuǎn)化為求解一次方程組。由于矩陣A在迭代過程中不會改變，因此可先對其進行分解A=LU，于是在每次迭代時，就只需轉(zhuǎn)化為求解兩個三角方程組：也就是說，對A-1用乘冪法可計算A-1的最大特征值，而實際上是A的最小特征值。

33第33頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五反冪法（續(xù)2）

注2：反冪法通常用于：已知矩陣的某一個近似特征值時，求其對應的特征向量，并對此近似特征值加以修正，且與原點移位法合起來用。

注1：反冪法的收斂率為比值（假定求的最大：，而在A中最小）：收斂速度與 收斂率有關。34第34頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五注3

帶原點移位的反冪法設已知A的一個特征值的近似值，一般很小，即，這表明是矩陣（原點移位法中0=*）的按模最小的特征值可對用反冪法，求最小特征值。由于實際上收斂率較小所以此時收斂很快。往往只需要二，三步迭代，就可達到很高的精度。

算法4.3

1.輸入A=(aij)，初始向量x=(x1,x2,…xn)T，誤差限，最大迭代次數(shù)N；

35第35頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五算法4.3（續(xù)）3.作三角分解

4.求整數(shù)r,使得；

7.若，則置，，轉(zhuǎn)4，否則輸出失敗信息，停機。

36第36頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五注4

注4若已知A的全部特征值的近似值，用上述反冪法可求A的全部特征向量，同時可對這些近似特征值加以修正改正。

說明：如果*=0，則算法4.3求出A的按模最小的特征值與特征向量。

例4用反冪法求矩陣

接近2.93的特征值，并求相應的特征向量，取x(0)=(0,0,1)T。

37第37頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例4（續(xù)1）

[解]對A2.93I作三角分解得：按算法4.3計算的數(shù)值結(jié)果見表4-438第38頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例4（續(xù)2）表4-4k10017.95905957.40192546.88379067.95905953.0752688210.931.864912.69231312.80385112.83758112.8375813.008787830.98868410.99737252.072443614.27843614.26762914.26626814.2784363.000095439第39頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例4（續(xù)3）

迭代3次，即得3.0000954，與準確值=3的誤差小于10-4。相應的特征向量為：與準確值u=(1,-1,1)T比較，殘量為：40第40頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五§2Jacobi方法序Jacobi法是用于求實對稱陣的全部特征值及特征向量的一種迭代法，其基本思想是：利用一系列的正交相似變換陣Q，可將n階實對稱陣A化為一對角陣，這些對角元就是A的特征值，而利用這些正交變換陣的乘積，可求出對應的特征向量。先介紹一些預備知識和相關結(jié)論：

（1）A為n階實對稱陣，則A有n個實特征值，且有n個對應的正交的線性無關的特征向量。

Q為正交陣，則：Q

QT=I，即QT=Q1，正交陣的乘積仍為正交陣。

（2）

A，B為n階方陣，方陣R可逆，指R使：AR=RA=I。

A，B相似：存在可逆方陣R使，R1AR=B。相似矩陣的特征值相同，A，B相似，若A為對稱陣，則B也是對稱陣。

41第41頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五Jacobi方法序（續(xù)1）（3）A為實對稱陣，Q為正交陣，則B=QTAQ也是對稱陣。（4）對于n階實對稱陣A，一定存在正交陣Q，使：

即A，D相似，由（2）知i(i=1,2,…,n)就是A的特征值，而Q的第i列qi(i=1,2,…,n)就是A的，對應于i的特征向量,

因為：：42第42頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五Jacobi方法序（續(xù)2）（5）在正交相似變換下，矩陣元素的平方和不變。

Jacobi方法正是建立在上述結(jié)論上的：通過一次正交變換，將A中的兩個非零的非對角線元素化為零，使得非對角元素的平方和減少，反復進行上述過程，使變換后的矩陣的非對角元素的平方和趨于零，從而使該矩陣近似為對角矩陣，得到全部特征值和特征向量。綜上所述，Jacobi法的關鍵，在于找到合適的正交陣Q，為了說明這個問題，我們從最簡單的情況開始。則43第43頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五

2.1平面旋轉(zhuǎn)變換

設在平面上有一條二次曲線：

可以通過坐標軸的旋轉(zhuǎn)

化為標準形狀：

如果把（4-7）式寫成矩陣形式，即為

44第44頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五平面旋轉(zhuǎn)變換（續(xù)1）其中a12=a21，而（4-8）式即為：

把（4-10）式代入（4-9）式，便有：

45第45頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五平面旋轉(zhuǎn)變換（續(xù)2）

則上式可簡寫為

兩個非對角線元素已化為零46第46頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五平面旋轉(zhuǎn)變換（例5）容易驗證Q是一個正交矩陣，稱（4-7）式是一個正交變換。正交變換Q把對稱矩陣A變成為對角陣，而1與2即是矩陣的特征值。正交矩陣Q的兩個列向量分別對應于1,2的兩個單位特征向量，即1所對應的特征向量為，2所對應的特征向量為。為了把上述結(jié)果推廣到一般情況，我們再用一個具體例子來說明。

例5橢球

與坐標平面Ox1x2的交線是：如果把Ox1,Ox2軸旋轉(zhuǎn)，則可知此二次曲線是一個橢圓47第47頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五平面旋轉(zhuǎn)變換例5（續(xù)1）為此令變換：（4-11）式經(jīng)過此變換以后，得新方程為 把（4-11）和（4-13）式均寫成矩陣形式可知經(jīng)過變換以后，使矩陣：48第48頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五平面旋轉(zhuǎn)變換例5（續(xù)2）或完整地寫為：

49第49頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五平面旋轉(zhuǎn)變換例5（續(xù)3）下面我們來考察經(jīng)過這個變換以后，（4-11）中矩陣元素的變化情況。1

對角線上元素的平方和由19增加到27。2

非對角線上元素的平方和由減少到，而矩陣所有元素的平方和不變。由于（4-13）式中，仍然保留著y1y3與y2y3的乘積項，如果仿上再作一次變換，例如把Oy2y3平面與（4-13）式截口化成標準形，可以作如下旋轉(zhuǎn)變換：50第50頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五平面旋轉(zhuǎn)變換例5（續(xù)4）這時橢球方程化為：

寫成矩陣形式，得系數(shù)矩陣：這時對角線上元素的平方和達到，而非對角線元素的平方和減少成。51第51頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五平面旋轉(zhuǎn)變換例5（續(xù)5）綜合上述兩次變換的結(jié)果，我們可以得出如下結(jié)論：

（1）實對稱矩陣A經(jīng)過正交變換以后，對角線上的元素的平方和在不斷增加，非對角線上的元素的平方和在不斷減少，而矩陣所有元素的平方和是不改變的。（2）同時也看到經(jīng)過第二次變換后，上一次變換時已經(jīng)化為零的元素又可能會變成不是零。但不管怎樣，經(jīng)過這樣反復變換，總可達到目的：使對角線上元素的平方和不斷增大而非對角線上元素平方和趨向于零。

這個例子的具體作法，就是Jacob法的基本思想。52第52頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五Jacob法

設階實對稱矩陣A=(aij)。經(jīng)過正交變換以后，得：又設A中以aij(ij)的絕對值為最大，當然aij0（否則非對角線上所有元素全為零），作正交變換：53第53頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五Jacob法（續(xù)1）矩陣Vij()中，對角線上元素除Vii=Vjj=cos

外，其它皆為1，非對角線上元素除-Vii=Vjj=sin

外，其它皆為0，稱Vij()為平面旋轉(zhuǎn)陣。容易直接驗證Vij()有如下性質(zhì)：1

.

2

如果A是對稱陣，則，所以是對稱陣，就是說，對稱陣經(jīng)過正交變換以后，仍是對稱陣。

3

矩陣A經(jīng)過變換后，A1中第i行，第j行及第i列、第j列元素的變化如下：

54第54頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五Jacob法（續(xù)2）

其它元素不變，即：55第55頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五Jacob法（續(xù)3）

同樣可以直接驗證：1） 即經(jīng)過正交變換后，矩陣所有素的平方和不變。56第56頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五Jacob法（續(xù)4）

利用條件（4-18）得：

對A(1)重復上述過程，可得A(2)，如此繼續(xù)下去，得到一個矩陣序列{A(k)}。可以證明，雖然這種變換不一定能使矩陣中非對角元中零元素的個數(shù)單調(diào)增加，但可以保證非對角元的平方和遞減，我們以A與A(1)為例進行討論。

由此可知，經(jīng)過正交變換后矩陣A中對角線元素的平方和比原來增加了，而非對角線元素的平方和減少了。57第57頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五Jacob法（續(xù)5）

可得：（4-19）式：

58第58頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五Jacob法（續(xù)6）

式（4-19）表明，在上述旋轉(zhuǎn)變換下，非對角元的平方和嚴格單調(diào)遞減，因而由式（4-6）即得，對角元的平方和單調(diào)遞增。正是利用這一點，導出了Jacobi方法。2.2Jacobi方法

通過一系列旋轉(zhuǎn)相似變換將A變成A(k+1)，求得A的全部特征值與特征向量的方法稱為Jacobi方法。如果在對A作相似變換的過程中，每一步都選絕對值最大的非對角元素，以此確定旋轉(zhuǎn)矩陣，這種方法稱為古典Jacobi方法。59第59頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五古典Jacob法（3）計算旋轉(zhuǎn)矩陣：

（2）求整數(shù)i,j,使得：

古典Jacobi方法。其計算過程如下：60第60頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五古典Jacob法（續(xù)1）61第61頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五古典Jacob法（續(xù)2）一般地，Jacobi法不能在有限步內(nèi)將A化成對角陣，但有以下收斂性結(jié)果。

定理4.1

設A為n階實對稱陣，對A用古典Jacobi法得到序列{A(k)}，其中A(0)=A，則：即古典Jacobi法收斂。

[證明]由Jacobi法計算過程：另一方面，由計算A(k+1)的公式可以得出：62第62頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五古典Jacob法（續(xù)3）

定理4.1表明，古典Jacobi法是收斂的，進一步分析還可以得出Jacobi法收斂較快。另外，這種方法對舍入誤差有較強的穩(wěn)定性，因而解的精度高，且所求得的特征向量正交性很好。它的不足之處是運算量大，且不能保持矩陣的特殊形狀（如稀疏性），因此Jacobi法是求中小型稠密實對稱矩陣的全部特征值與特征向量的較好方法。63第63頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五兩點說明

在實際計算中還可采用一些措施來提高精度和節(jié)省工作量。1

減少舍入誤差的影響。從公式中可知，具體計算時只需用到sin

,cos的值，為了提高精度，舍入誤差越小越好。常常利用三角函數(shù)之間的關系，寫成便于計算的公式

即得 （4-21）64第64頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五兩點說明（續(xù)）

2

節(jié)省工作時間。在雅可比法中，每次變換是把非對角元絕對值最大者化為零，但在n階矩陣中要去尋找這個最大元素要花較多的機器時間，所以一般不選最大元。改進的一種方法是設某些“關口”，如a1,a2,…,ak，先按次序用aij(ij,j=1,2,…,n)與a比較，若，則通過不加運算，若，就進行一次旋轉(zhuǎn)變換，使之化為0，一遍輪流過以后，再用a2來比較，作同樣處理，直至達到所需精度為止，這種方法稱為雅可比過關法。例6用Jacobi方法求下列矩陣的特征值。65第65頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例6（續(xù)1）66第66頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例6（續(xù)2）下面應取i=2,

j=3，重復上述過程。如此繼續(xù)下去，可得：67第67頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例6（續(xù)3）所以A的特征值為：

與其準確值比較，最大誤差為0.0002036。68第68頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五古典Jacobi法一種改進古典Jacobi法在計算每個旋轉(zhuǎn)矩陣V(k)前都需要對個非對角元素進行比較，從中找出絕對值最大的元素。為減少運算量常用的一種改進方法是取定正{k},k0(k)，以k為限，逐行檢查非對角元，若就跳過，否則以Vij()消去元aij和aji，反復進行上述過程，直到所有非對角元的絕對值均小于k，再以k+1為限，進行第k+1輪循環(huán)消元。當k充分小時，所得到的矩陣的對角元即為A的全部特征值。69第69頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五§3QR方法3.1基本QR方法六十年代出現(xiàn)的QR算法是目前計算一般中小型矩陣的全部特征值與特征向量的最有效的方法。這里僅討論實矩陣，并假定矩陣非奇異。因為否則，矩陣AI（不是A的特征值）必定是非奇異的，而由AI

的特征值與特征向量容易得到A的特征值與特征向量。因為任一非奇異實矩陣A都可以分解成一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R的乘積，而且當R的對角元符號取定時，分解是唯一的?；綫R方法的基本思想是利用矩陣的QR分解，通過迭代格式：70第70頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五QR方法（續(xù)1）可將A=A(1)化成相似的上三角陣（或分塊上三角陣），從而求出矩陣A的全部特征值與特征量。

即A(2)與A相似。同理可得，A(k)~A(k=2,3,…)。故它們有相同的特征值。

可以證明，在一定條件下，基本QR方法產(chǎn)生的矩陣序列{A(k)}

“基本”收斂于一個上三角矩陣（或分塊上三角陣），即主對角線（或主對角線子塊）及其以下元素均收斂，主對角線（或主對角線子塊）以上元素可以不收斂。特別地，如果A是實對稱陣，則{A(k)}

“基本”收斂于對角矩陣。

71第71頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五QR方法（續(xù)2）

因為上三角陣的主對角元（或分塊上三角陣中，主對角子塊的特征值）即為該矩陣的特征值，故當K充分大時，A(k)的主對角元（或主對角子塊的特征值）就可以作為A的特征值的近似。

基本QR方法的主要運算是對矩陣作QR分解，分解的方法有多種，下面以Schmit正交化方法為例說明。

設A為n階非奇異實矩陣，記為

72第72頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五QR方法（續(xù)3）一般地，?。?/p>

（4-23）

于是：這就是用Schmit正交化方法對矩陣進行QR分解的過程。73第73頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五

例7用Schmit正交化方法將矩陣進行QR分解。

[解]

74第74頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例7（續(xù)1）所以

75第75頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例7（續(xù)2）

基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解與矩陣乘法，計算量大，而且收斂速度慢。因此實際使用的QR方法是先用一系列相似變換將A化成擬上三角矩陣（稱為上Hessenberg矩陣），然后對此矩陣用基本QR方法。因為擬上三角矩陣中具有較多的零元素，這樣做可減少運算量?；疉為相似的擬上三角陣的方法有多種，本節(jié)介紹其中的一種：Householder變換

76第76頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五3.2豪斯豪爾德（Householder）變換

為Householder矩陣或反射矩陣。容易證明，Householder矩陣具有以下性質(zhì)：

（1）H是實對稱的正交矩陣，即；（2）；（3）H僅有兩個不等的特征值±1，其中1是n－1重特征值，－1是單重特征值，為其相應的特征向量。77第77頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五定理9-2從圖4-1可以看出，x+aw與H(x+aw)關于超平面(span{w})

對稱，反射變換的名稱由此而來。定理9-2設x,y為Rn中任意非零向量，且，則存在Householder矩陣H，使得： （4-25）78第78頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五定理9-2（續(xù)1）

[證明]

由性質(zhì)4容易得出，對任意xRn,w與xHx平行。故要使式（9-25）成立，應取

（4-26）令H=I2wwT，于是：

79第79頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五定理9-2（續(xù)2）將上式代入式（4-27）即得：。定理9.2表明，對任一非零向量x，都可以構(gòu)造一個Householder變換，它將x變成事先給定的單位向量的倍數(shù)。特別地，若取y=ei，則x經(jīng)過Householder變換后可變成只有一個分量不為零。由2－范數(shù)的定義80第80頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五定理9-2（續(xù)3）

使得Householder矩陣H=I2wwT將x變成與ei共線的向量，即

實際計算時，若，從而在計算w時會產(chǎn)生較大的誤差，為此我們總?cè)。?1第81頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五9.3化一般矩陣為擬上三角陣

的矩陣為擬上三角陣，也稱為上海森堡（Hessenberg）陣。如果次對角線元hii1

(i=2,3,…,n)全不為零，則稱該矩陣為不可約的上Hessenberg矩陣。下面討論如何利用Householder變換將一般矩陣A相似變換成（4-29）的形式。首先，選取Householder矩陣H1，使得經(jīng)H1相似變換后的矩陣H1AH1的第1列中有盡可能多的零元素。為此，應取H1為如下形式：

稱形如82第82頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五化一般矩陣為擬上三角陣（續(xù)1）其中為n-1階

Householder矩陣。于是有：83第83頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五化一般矩陣為擬上三角陣（續(xù)2）由定理4.2，只要取使得：就會使得變換后的矩陣H1AH1的第1列出現(xiàn)n-2個零元。完全類似地，可構(gòu)造如下形式的Householder矩陣：使得：84第84頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五化一般矩陣為擬上三角陣（續(xù)3）如此進行n-2次，可以構(gòu)造n-2個Householder矩陣H1,H2,…,Hn-2，使得其中H為形如（4-29）的上Hessenberg矩陣。特別地，如果A為實對稱矩陣，則經(jīng)過上述正交相似變換后所得的矩陣H為三對角陣。

例8用Householder變換將矩陣化成擬上三角陣。

[解]因為a1=(1,0,0)T，由式（4-30）得H1=I。記：85第85頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例8

（續(xù)1）為使Householder矩陣滿足由式（4-28），?。?/p>

86第86頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五例8

（續(xù)2）于是有：

87第87頁，共101頁，2023年，2月20日，星期五3.4擬上三角矩陣的QR分解

因為擬上三角矩陣H的特殊