無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第1頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

6.1數(shù)字濾波器的基本概念

一、什么是數(shù)字濾波器？二、數(shù)字濾波器的分類1、數(shù)字濾波器總體分成兩大類：

1）經(jīng)典濾波器2）現(xiàn)代濾波器經(jīng)典濾波器與現(xiàn)代濾波器的區(qū)別？2、一般數(shù)字濾波器從功能上分類：低通、高通、帶通、帶阻第2頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五第3頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五n=0:63x=2*exp(-n/3+j*2*n);subplot(221);plot(n,x);xlabel('points-->');ylabel('x');X=abs(fft(x,64));subplot(222);stem(n,X);xlabel('frequency>');ylabel('X(K)');y=x+randn(1,length(n));subplot(223);plot(n,y);title('受噪聲污染的信號(hào)');Y=abs(fft(y,64));k=0:63;subplot(224);plot(k,Y);title('FFT');第4頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五第5頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五3、數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成：

1）無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器

2）有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：(6.1.1)(6.1.2)第6頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.1.1理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性第7頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五理想濾波器可以實(shí)現(xiàn)嗎？理想低通濾波器頻響曲線第8頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：幅頻特性表示：信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分衰減情況。相頻特性表示：各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。第9頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.1.2低通濾波器的技術(shù)要求

線性相位是指濾波器的相位響應(yīng)是頻率的線性函數(shù)（在+/-180度）。因此濾波器的延時(shí)后，所有的頻率相位相同。因而濾波器不會(huì)產(chǎn)生相位和延遲扭曲。在某些領(lǐng)域，比如數(shù)字解調(diào)器，沒有相位或者延遲扭曲是FIR濾波器相對(duì)于其他IIR和模擬濾波器的一個(gè)關(guān)鍵優(yōu)點(diǎn)。

第10頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用αp表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用αs表示，αp和αs分別定義為：(6.1.3)(6.1.4)如將|H(ej0)|歸一化為1，(6.1.3)和(6.1.4)式則表示成：(6.1.5)(6.1.6)第11頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

3.數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述

IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是很不相同的。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有兩類，經(jīng)常用的一類設(shè)計(jì)方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。第12頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。第13頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

圖6.2.1各種理想濾波器的幅頻特性第14頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

1.模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有αp,Ωp,αs和Ωs。其中Ωp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，αp是通帶Ω(=0~Ωp)中的最大衰減系數(shù)，αs是阻帶Ω≥Ωs的最小衰減系數(shù)，αp和αs一般用dB數(shù)表示。對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：(6.2.1)(6.2.2)第15頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示為

以上技術(shù)指標(biāo)用圖6.2.2表示。圖中Ωc稱為3dB截止頻率，因(6.2.3)(6.2.4)第16頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.2.2低通濾波器的幅度特性第17頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)αp和αs，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此(6.2.5)第18頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2用下式表示：(6.2.6)

圖6.2.3巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系第19頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：(6.2.7)

此式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)sk用下式表示：(6.2.8)第20頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.2.4三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布第21頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)。Ha(s)的表示式為設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為第22頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五取s平面左半平面的極點(diǎn)s0,s1,s2組成Ha(s)：第23頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對(duì)3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為

式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為(6.2.10)(6.2.11)第24頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：

將極點(diǎn)表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N階多項(xiàng)式，用下式表示：

(6.2.12)

將Ω=Ωs代入(6.2.6)式中，再將|Ha(jΩs)|2代入(6.2.4)式中，得到：(6.2.14)(6.2.15)第25頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：令,則N由下式表示：(6.2.16)第26頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到：由(6.2.15)式得到：(6.2.17)(6.2.18)第27頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp,αp,Ωs和αs，用(6.2.16)式求出濾波器的階數(shù)N。

(2)按照(6.2.12)式，求出歸一化極點(diǎn)pk，將pk代入(6.2.11)式，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。

(3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ha(p)，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。第28頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)第29頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五第30頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五第31頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解(1)確定階數(shù)N。第32頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(2)按照(6.2.12)式，其極點(diǎn)為按照(6.2.11)式，歸一化傳輸函數(shù)為第33頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

上式分母可以展開成為五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，形成因式分解形式。這里不如直接查表6.2.1簡單，由N=5，直接查表得到：極點(diǎn)：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000

式

b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361第34頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

(3)為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。按照(6.2.17)式，得到：將Ωc代入(6.2.18)式，得到：將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：第35頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

我們這里僅介紹切比雪夫Ⅰ型濾波器的設(shè)計(jì)方法。圖6.2.5分別畫出階數(shù)N為奇數(shù)與偶數(shù)時(shí)的切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性。其幅度平方函數(shù)用A2(Ω)表示：(6.2.19)第36頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.2.5切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性第37頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

式中，ε為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度，ε愈大，波動(dòng)幅度也愈大。Ωp稱為通帶截止頻率。令λ=Ω/Ωp，稱為對(duì)Ωp的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為第38頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)N=0時(shí)，C0(x)=1；當(dāng)N=1時(shí)，C1(x)=x；當(dāng)N=2時(shí)，C2(x)=2x21；當(dāng)N=3時(shí)，C3(x)=4x33x。由此可歸納出高階切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式為

CN+1(x)=2xCN(x)CN-1(x)(6.2.20)第39頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

圖6.2.6示出了階數(shù)N=0,4,5時(shí)的切比雪夫多項(xiàng)式特性。由圖可見：

(1)切比雪夫多項(xiàng)式的過零點(diǎn)在|x|≤1的范圍內(nèi)；

(2)當(dāng)|x|<1時(shí)，|CN(x)|≤1,在|x|<1范圍內(nèi)具有等波紋性；

(3)當(dāng)|x|>1時(shí)，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。第40頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.2.6N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線第41頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

按照(6.2.19)式，平方幅度函數(shù)與三個(gè)參數(shù)即ε,Ωp和N有關(guān)。其中ε與通帶內(nèi)允許的波動(dòng)大小有關(guān)，定義允許的通帶波紋δ用下式表示：(6.2.21)因此(6.2.22)第42頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

圖6.2.7切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的A2(Ω)曲線第43頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

設(shè)阻帶的起始點(diǎn)頻率(阻帶截止頻率)用Ωs表示，在Ωs處的A2(Ωs)用(6.2.19)式確定：

(6.2.23)令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有(6.2.24)(6.2.25)可以解出第44頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五3dB截止頻率用Ωc表示，按照(6.2.19)式，有通常取λc>1，因此上式中僅取正號(hào)，得到3dB截止頻率計(jì)算公式：(6.2.26)第45頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

以上Ωp,ε和N確定后，可以求出濾波器的極點(diǎn)，并確定Ha(p)，p=s/Ωp。求解的過程請(qǐng)參考有關(guān)資料。下面僅介紹一些有用的結(jié)果。

設(shè)Ha(s)的極點(diǎn)為si=σi+jΩi，可以證明：(6.2.23)令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有(6.2.24)(6.2.25)第46頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

上式中僅取正號(hào)，得到3dB截止頻率計(jì)算公式：(6.2.26)設(shè)Ha(s)的極點(diǎn)為si=σi+jΩi，可以證明：(6.2.27)式中(6.2.28)第47頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(6.2.28)式是一個(gè)橢圓方程，長半軸為Ωpchξ(在虛軸上)，短半軸為Ωpshξ(在實(shí)軸上)。令bΩp和aΩp分別表示長半軸和短半軸，可推導(dǎo)出：(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)第48頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.2.8三階切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布第49頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

設(shè)N=3，平方幅度函數(shù)的極點(diǎn)分布如圖6.2.8所示(極點(diǎn)用X表示)。為穩(wěn)定，用左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成Ha(p)，即(6.2.32)

式中c是待定系數(shù)。根據(jù)幅度平方函數(shù)(6.2.19)式可導(dǎo)出：c=ε·2N-1，代入(6.2.32)式，得到歸一化的傳輸函數(shù)為(6.2.33a)第50頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

按照以上分析，下面介紹切比雪夫Ⅰ型濾波器設(shè)計(jì)步驟。

1)確定技術(shù)要求αp,Ωp,αs和Ωsαp是Ω=Ωp時(shí)的衰減系數(shù)，αs是Ω=Ωs時(shí)的衰減系數(shù)，它們?yōu)槿w一化后的傳輸函數(shù)為(6.2.33b)(6.2.34)(6.2.35)第51頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

這里αp就是前面定義的通帶波紋δ，見(6.2.21)式。歸一化頻率

2)求濾波器階數(shù)N和參數(shù)ε

由(6.2.19)式，得到：第52頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

將以上兩式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式，得到：令(6.2.36)(6.2.37)第53頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

這樣，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出階數(shù)N，最后取大于等于N的最小整數(shù)。按照(6.2.22)式求ε，這里αp=δ。

ε+2=100.1δ13)求歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)

為求Ha(p)，先按照(6.2.27)式求出歸一化極點(diǎn)pk,k=1,2,:,N。第54頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

將極點(diǎn)pk代入(6.2.33)式，得到：4)將Ha(p)去歸一化，得到實(shí)際的Ha(s)，即(6.2.38)(6.2.39)第55頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

例6.2.2設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減αp=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=60dB。解

(1)濾波器的技術(shù)要求：第56頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(2)求階數(shù)N和ε：第57頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(3)求Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5時(shí)的極點(diǎn)pi，代入上式，得到：(4)將Ha(p)去歸一化，得到：第58頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五4.模擬濾波器的頻率變換——模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)為了防止符號(hào)混淆，先規(guī)定一些符號(hào)如下：

1)低通到高通的頻率變換

λ和η之間的關(guān)系為上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通G(jλ)，高通H(jη)則用下式轉(zhuǎn)換：(6.2.41)(6.2.40)第59頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.2.9低通與高通濾波器的幅度特性第60頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶下限頻率Ω′p，阻帶上限頻率Ω′s，通帶最大衰減αp，阻帶最小衰減αs。

(2)確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)：按照(6.2.40)式，將高通濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率，各項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)為：①低通濾波器通帶截止頻率Ωp=1/Ω′p；②低通濾波器阻帶截止頻率Ωs=1/Ω′s；③通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減仍為αs。第61頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p)。

(4)求模擬高通的H(s)。將G(p)按照(6.2.40)式，轉(zhuǎn)換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/Ωc代入H(q)中，得例6.2.3設(shè)計(jì)高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減αs=15dB。(6.2.42)第62頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

解①高通技術(shù)要求：

fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB

歸一化頻率②低通技術(shù)要求：第63頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五③設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故第64頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五④求模擬高通H(s)：

2)低通到帶通的頻率變換低通與帶通濾波器的幅度特性如圖6.2.10所示。第65頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.2.10帶通與低通濾波器的幅度特性

表6.2.2η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系第66頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

由η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到：由表6.2.2知λp對(duì)應(yīng)ηu，代入上式中，有(6.2.43)式稱為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。下面推導(dǎo)由歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式。由于第67頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

將(6.2.43)式代入上式，得到：將q=jη代入上式，得到：為去歸一化，將q=s/B代入上式，得到：(6.2.44)(6.2.45)第68頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五上式就是由歸一化低通直接轉(zhuǎn)換成帶通的計(jì)算公式。下面總結(jié)模擬帶通的設(shè)計(jì)步驟。(1)確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，即：帶通上限頻率Ωu，帶通下限頻率Ωl下阻帶上限頻率Ωs1,上阻帶下限頻率Ωs2

通帶中心頻率Ω20=ΩlΩu，通帶寬度B=ΩuΩl與以上邊界頻率對(duì)應(yīng)的歸一化邊界頻率如下：第69頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(2)確定歸一化低通技術(shù)要求：

λs與-λs的絕對(duì)值可能不相等，一般取絕對(duì)值小的λs，這樣保證在較大的λs處更能滿足要求。通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減亦為αs。

(3)設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。

(4)由(6.2.45)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。第70頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

例6.2.4設(shè)計(jì)模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2π×200rad/s，中心頻率Ω0=2π×1000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻帶最小衰減αs=15dB。解(1)模擬帶通的技術(shù)要求：

Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dBB=2π×200rad/s;η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6第71頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(2)模擬歸一化低通技術(shù)要求：

取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。

(3)設(shè)計(jì)模擬歸一化低通濾波器G(p)：采用巴特沃斯型，有第72頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

取N=3，查表6.2.1，得(4)求模擬帶通H(s)：第73頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五3)低通到帶阻的頻率變換低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖6.2.11所示。圖6.2.11低通與帶阻濾波器的幅頻特性第74頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

圖中，Ωl和Ωu分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，Ωs1和Ωs2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，Ω0為阻帶中心頻率，Ω20=ΩuΩl，阻帶帶寬B=ΩuΩl，B作為歸一化參考頻率。相應(yīng)的歸一化邊界頻率為

ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;η20=ηuηl

表6.2.3η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系第75頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

根據(jù)η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得到：且ηuηl=1，λp=1，(6.2.46)式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。將(6.2.46)式代入p=jλ，并去歸一化，可得上式就是直接由歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式。(6.2.46)(6.2.47)(6.2.48)第76頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五下面總結(jié)設(shè)計(jì)帶阻濾波器的步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求，即：下通帶截止頻率Ωl,上通帶截止頻率Ωu阻帶下限頻率Ωs1，阻帶上限頻率Ωs2阻帶中心頻率Ω+20=ΩuΩl，阻帶寬度B=ΩuΩl它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為

ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl以及通帶最大衰減αp和阻帶最小衰減αs。第77頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(2)確定歸一化模擬低通技術(shù)要求，即：取λs和λs的絕對(duì)值較小的λs；通帶最大衰減為αp，阻帶最小衰減為αs。

(3)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通G(p)。

(4)按照(6.2.48)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。第78頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

例6.2.5設(shè)計(jì)模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為：

Ωl=2π×905rad/s,Ωs1=2π×980rad/s,Ωs2=2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。試設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器。解

(1)模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求：

Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105;Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020;Ω20=ΩlΩu=4π+2×1000025,B=ΩuΩl=2π×200;

第79頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=25(2)歸一化低通的技術(shù)要求：(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p):第80頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(4)帶阻濾波器的H(s)為第81頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR

數(shù)字低通濾波器一、設(shè)計(jì)方法：按照技術(shù)要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)H(s)，在按照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（Z）。這樣設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題就是找這種轉(zhuǎn)換關(guān)系將S平面上的H(s)轉(zhuǎn)換成Z平面上的H（Z）。

H（S）H（Z）第82頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：

(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。

(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。第83頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五二、設(shè)計(jì)原理H(S)H(Z)h(n)h(t)拉氏逆變換采樣Z變換H(S)H(Z)脈沖響應(yīng)h(n)不變1、思路第84頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五2、原理理論推導(dǎo)設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t)

設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：(6.3.1)

式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：(6.3.2)第85頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：(6.3.3)對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：

(6.3.4)二、S變換與Z變換之間的映射關(guān)系設(shè)ha(t)的采樣信號(hào)用表示，第86頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五對(duì)進(jìn)行拉氏變換，得到:

式中ha(nT)是ha(t)在采樣點(diǎn)t=nT時(shí)的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:第87頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：

我們知道模擬信號(hào)ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系滿足(1.5.5)式，重寫如下：(6.3.6)(6.3.5)第88頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五將s=jΩ代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到:(6.3.7)(6.3.8)(6.3.9)第89頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

上式表明將模擬信號(hào)ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè)按照(6.3.6)式，得到:因此得到:(6.3.10)第90頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

那么

σ=0,r=1σ<0,r<1σ>0,r>1

另外，注意到z=esT是一個(gè)周期函數(shù)，可寫成為任意整數(shù)第91頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系第92頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.3.2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象三、脈沖響應(yīng)不變法優(yōu)缺點(diǎn)：第93頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

假設(shè)沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足按照(6.3.9)式，并將關(guān)系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：令第94頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

一般Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)，在(6.3.1)式中將一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為(6.3.11)

可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實(shí)數(shù)乘法)的形式為(6.3.12)第95頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為(6.3.13)(6.3.14)第96頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

例6.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為

用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解首先將Ha(s)寫成部分分式：極點(diǎn)為那么H(z)的極點(diǎn)為第97頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五按照(6.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到設(shè)T=1s時(shí)用H1(z)表示，T=0.1s時(shí)用H2(z)表示，則

轉(zhuǎn)換時(shí)，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。首先將Ha(s)寫成(6.3.13)式的形式，如極點(diǎn)s1,2=σ1±jΩ1,則第98頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五再按照(6.3.14)式，H(z)為第99頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.3.3例6.3.1的幅度特性第100頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五軟件設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器一、MATLAB信號(hào)處理工具箱提供的butterworth模擬低通濾波器原型函數(shù)為：[z,p,k]=buttap(N)其中，N為濾波器的階數(shù)；[z,p,k]為濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。例1、繪制10階butterworth模擬低通濾波器的平方幅頻響應(yīng)曲線。第101頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五程序如下：n=0:0.01:2;N=10；[z,p,k]=buttap(N);[b,a]=zp2tf(z,p,k);%由零、極點(diǎn)求出系統(tǒng)函數(shù)中分子、分母的系數(shù)b和a[H,w]=freqs(b,a,n);%求出濾波器的幅頻響應(yīng)magH=(abs(H)).^2;plot(w,magH);axis([0201]);xlabel('w/wc');ylabel('H(jw)');title('butterworth');第102頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五第103頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五二、MATLAB函數(shù)cheb1ap、cheb2ap調(diào)用格式為：[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp)為切比雪夫I型濾波器，N為階數(shù)，Rp為通帶波紋；[z,p,k]為零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。第104頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五例2：

繪制8階切比雪夫I型模擬低通濾波器的平方幅頻響應(yīng)曲線。程序如下：n=0:0.01:2;N=8;Rp=1;[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp);[b,a]=zp2tf(z,p,k);[H,w]=freqs(b,a,n);magH=(abs(H)).^2;subplot(211);plot(w,magH);axis([0201]);xlabel('w/wc');ylabel('H(jw)');title('chebbyI');第105頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五三、1、butter函數(shù)用于設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器其調(diào)用格式為：[b,a]=butter(n,Wn)[b,a]=butter(n,Wn,’type’)格式中，n為濾波器階數(shù)，Wn為截止頻率，取值為0-1；type為濾波器類型：’high’為高通濾波器，stop為帶阻濾波器；默認(rèn)為低通和帶通濾波器Wn為截止頻率Wn=[w1,w2]，[b,a]分別為濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母系數(shù)。第106頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五2、impz函數(shù)用于產(chǎn)生數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)，其調(diào)用格式為：[h,t]=impz(b,a)或[h,t]=impz(b,a,n)或[h,t]=impz(b,a,n,fs)格式中[b,a]分別為濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母系數(shù)，n為采樣點(diǎn)數(shù)，fs為采樣頻率，默認(rèn)為1。3、freqz函數(shù)[h,w]=freqz(b,a,n)或h=freqz(b,a,w)或freqz(b,a)或[h,f]=freqz(b,a,n,fs)格式中[b,a]分別為濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母系數(shù)，n為復(fù)頻率響應(yīng)計(jì)算點(diǎn)數(shù)（最好為2的冪）默認(rèn)512點(diǎn)；fs為采樣頻率，f為給定的頻率矢量。第107頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五例3、設(shè)計(jì)采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)Butterworth低通數(shù)字濾波器，使其特性逼近一個(gè)Butterworth低通模擬濾波器的性能指標(biāo)如下：通帶截止頻率為：Ωp=2∏*2000（rad/s），阻帶邊界頻率為：Ωs=2∏*3000（rad/s），通帶波紋Rp小于3dB，阻帶衰減Rs大于15dB，采樣頻率fs=10KHZ。程序如下：第108頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五wp=2000*2*pi;wr=3000*2*pi;Ap=3;Ar=15;fs=10000;Nn=128;[N,Wn]=buttord(wp,wr,Ap,Ar,'s');[z,p,k]=buttap(N);[Bp,Ap]=zp2tf(z,p,k);[b,a]=lp2lp(Bp,Ap,Wn);[bz,az]=impinvar(b,a,Fs)freqz(bz,az,Nn,Fs)；第109頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

第六章1題：Wp=2*pi*6000;Ws=2*pi*12000;Rp=3;Rs=25;[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');[z,p,k]=buttap(N);[Bp,Ap]=zp2tf(z,p,k);[b,a]=lp2lp(Bp,Ap,Wn);freqs(b,a);第110頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

6.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字

低通濾波器

脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，使數(shù)字濾波器的頻響偏移模擬濾波器的頻率響應(yīng)。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到正負(fù)π/T之間，然后在轉(zhuǎn)換到Z平面上。第111頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：(6.4.1)

式中T仍是采樣間隔，當(dāng)Ω1從π/T經(jīng)過0變化到π/T時(shí)，Ω則由∞經(jīng)過0變化到+∞，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的±π/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有(6.4.2)一、變換原理第112頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

再通過轉(zhuǎn)換到z平面上，得到：(6.4.3)(6.4.4)以上兩個(gè)關(guān)系即S平面和Z平面之間的關(guān)系。第113頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

二、模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系。圖6.4.1雙線性變換法的映射關(guān)系第114頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

令s=jΩ,z=ejω，并代入(6.4.3)式中，有(6.4.5)圖6.4.2雙線性變換法的頻率變換關(guān)系第115頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.4.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射第116頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

設(shè)第117頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

表6.4.1系數(shù)關(guān)系表第118頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五第119頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

例6.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。解首先按照?qǐng)D6.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為

利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為

第120頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖6.4.5(a),(b)所示。圖6.4.5例6.4.1圖——H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

(a)H1(z);(b)H2(z)第121頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。

(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率ωp、通帶衰減αp、阻帶截止頻率ωs、阻帶衰減αs。

(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。

如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為第122頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.4.6例6.4.1圖——數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性第123頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。

(4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。例6.4.2設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時(shí)，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3π到π之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。第124頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

解

(1)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。

①數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為

ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為

T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB第125頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)N及3dB截止頻率Ωc。

第126頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

取N=6。為求3dB截止頻率Ωc,將Ωp和αp代入(6.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術(shù)要求，同時(shí)給阻帶衰減留一定余量，這對(duì)防止頻率混疊有一定好處。根據(jù)階數(shù)N=6，查表6.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為

為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到實(shí)際的傳輸函數(shù)Ha(s),第127頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

④用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進(jìn)行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：第128頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.4.7例6.4.2圖——用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性第129頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

(2)用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為

ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為第130頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下：

取N=6。為求Ωc,將Ωs和αs代入(6.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求，通帶指標(biāo)已經(jīng)超過。第131頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)，得實(shí)際的Ha(s)，

④用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：第132頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五圖6.4.8例6.4.2圖——用雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性第133頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)figure(1)wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;Rs=15;Ts=1;Wp=wp/Ts;Ws=ws/Ts;[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');[z,p,k]=buttap(N);[Bp,Ap]=zp2tf(z,p,k);[b,a]=lp2lp(Bp,Ap,Wc);[bz,az]=impinvar(b,a,1/Ts);freqz(bz,az);figure(2)wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;Rs=15;Ts=1;Wp=(2/Ts)*tan(wp/2);Ws=(2/Ts)*tan(ws/2);[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');[z,p,k]=buttap(N);[Bp,Ap]=zp2tf(z,p,k);[b,a]=lp2lp(Bp,Ap,Wc);[bz,az]=bilinear(b,a,1/Ts);freqz(bz,az);第134頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五第135頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五第136頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五figure(1)wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;Rs=15;Ts=1;Wp=wp/Ts;Ws=ws/Ts;[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');[b,a]=butter(N,Wc,'s');[bz,az]=impinvar(b,a,1/Ts);freqz(bz,az);figure(2)wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;Rs=15;Ts=1;Wp=(2/Ts)*tan(wp/2);Ws=(2/Ts)*tan(ws/2);[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');[b,a]=butter(N,Wc,'s');[bz,az]=bilinear(b,a,1/Ts);freqz(bz,az);第137頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五本節(jié)內(nèi)容：1）分析兩種方法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的原理和優(yōu)缺點(diǎn)；2）總結(jié)濾波器設(shè)計(jì)步驟，和用MATLAB程序設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)起來理解；3）講解課后習(xí)題及課外練習(xí)題，從第6、8題及例6.4.1掌握從傳輸函數(shù)H（S）中可判斷出該濾波器屬于低通或高通；4）從課外練習(xí)題（自測(cè)一和二第5題）中，掌握什么是歸一化傳輸函數(shù)及如何去除歸一化得到實(shí)際濾波器的傳輸函數(shù)H（S）；見第156頁第138頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

例如高通數(shù)字濾波器等。具體設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。

(2)將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為

第139頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

(3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)(具體轉(zhuǎn)換公式參考本章6.2節(jié))。

(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。

(5)將模擬低通通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。

(6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。第140頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

例6.5.1設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率ωp=0.8πrad，通帶衰減不大于3

dB，阻帶截止頻率ωs=0.44πrad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。解

(1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為

ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB第141頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

(2)模擬高通的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：令T=1，則有(3)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：第142頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

將Ωp和Ωs對(duì)3dB截止頻率Ωc歸一化，這里Ωc=Ωp,

(4)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計(jì)算如下：第143頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

查表6.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為

為去歸一化，將p=s/Ωc代入上式得到：

(5)將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將上式中G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)：第144頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

(6)用雙線性變換法將模擬高通H

(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：實(shí)際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即第145頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五wp=0.8*pi;ws=0.44*pi;Rp=3;Rs=15;Ts=1;Wp=(2/Ts)*tan(wp/2);Ws=(2/Ts)*tan(ws/2);[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');[z,p,k]=buttap(N);[Bp,Ap]=zp2tf(z,p,k);[b,a]=lp2hp(Bp,Ap,);[bz,az]=bilinear(b,a,1/Ts);freqz(bz,az);第146頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五第147頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

例6.5.2設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3πrad到0.4πrad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。解

(1)數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)為通帶上截止頻率

ωu=0.4πrad

通帶下截止頻率

ωl=0.3πrad第148頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

阻帶上截止頻率

ωs2=0.5πrad

阻帶下截止頻率

ωs1=0.2πrad

通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶內(nèi)最小衰減αs=18dB。第149頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(2)模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下：設(shè)T=1，則有(通帶中心頻率)(帶寬)第150頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

將以上邊界頻率對(duì)帶寬B歸一化，得到

ηu=3.348,ηl=2.348;ηs2=4.608,ηs1=1.498;η0=2.804(3)模擬歸一化低通濾波器技術(shù)指標(biāo)：歸一化阻帶截止頻率歸一化通帶截止頻率λp=1αp=3dB,αs=18dB第151頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：查表6.2.1，得到歸一化低通傳輸函數(shù)G(p),第152頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(5)將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通：

(6)通過雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。下面將(5)、(6)兩步合成一步計(jì)算：第153頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

將上式代入(5)中的轉(zhuǎn)換公式，得將上面的p等式代入G(p)中，得第154頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五wp=[0.3*pi,0.4*pi];ws=[0.2*pi,0.5*pi];rp=3;rs=18;Ts=1[N,wpo]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s');[b,a]=butter(N,wpo,'s');[bz,az]=bilinear(b,a,1/Ts);freqz(bz,az);第155頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五第156頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

例6.5.3設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶阻濾波器，通帶下限頻率ωl=0.19π,阻帶下截止頻率ωs1=0.198π，阻帶上截止頻率ωs2=0.202π，通帶上限頻率ωu=0.21π，阻帶最小衰減αs=13dB，ωl和ωu處衰減αp=3dB。采用巴特沃斯型。解

(1)數(shù)字帶阻濾波器技術(shù)指標(biāo)：

ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB;ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB第157頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(2)模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)：設(shè)T=1，則有阻帶中心頻率平方為

Ω20=ΩlΩu=0.421阻帶帶寬為

B=Ωu-Ωl=0.07rad/s第158頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五

將以上邊界頻率對(duì)B歸一化：

ηl=8.786,ηu=9.786,ηs1=9.186,ηs2=9.386;η20=ηlηu=85.98(3)模擬歸一化低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：按照(6.2.48)式，有

λp=1,αp=3dB第159頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：(5)將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬阻帶濾波器Ha(s)：第160頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五(6)將Ha(s)通過雙線性變換，得到數(shù)字阻帶濾波器H(z)。第161頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五wp=[0.19*pi,0.21*pi];ws=[0.198*pi,0.202*pi];rp=3;rs=13;[N,wpo]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s');[b,a]=butter(N,wpo,'stop');freqz(b,a);第162頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五wp=0.7*pi;ws=0.5*pi;Rp=1;Rs=32;Ts=2;Wp=(2/Ts)*tan(wp/2);Ws=(2/Ts)*tan(ws/2);[N,Wc]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');[z,p,k]=cheb1ap(N,1)[Bp,Ap]=zp2tf(z,p,k);[b,a]=lp2hp(Bp,Ap,1.9261);[bz,az]=bilinear(b,a,1/Ts);freqz(bz,az);第163頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五第164頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五fpl=2025,fpu=2225;fsl=1500;fsu=2700;fs=8000;rp=1;rs=40wp=[2*fpl/fs,2*fpu/fs];ws=[2*fsl/fs,2*fsu/fs];[N,wpo]=ellipord(wp,ws,rp,rs);[B,A]=ellip(N,rp,rs,wpo);freqz(B,A)第165頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五第166頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五fsl=2025,fsu=2225;fpl=1500;fpu=2700;fs=8000;rp=1;rs=40wp=[2*fpl/fs,2*fpu/fs];ws=[2*fsl/fs,2*fsu/fs];[N,wpo]=ellipord(wp,ws,rp,rs);[B,A]=ellip(N,rp,rs,wpo,'stop');freqz(B,A)第167頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五第168頁，共183頁，2023年，2月20日，星期五6.6IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法1.零極點(diǎn)累試法稱為零極點(diǎn)累試法。在確定零極點(diǎn)位置時(shí)要注意：

(1)極點(diǎn)必須位于z平面單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾