廣東省普寧市2022屆高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題測(cè)試一：——《集合與函數(shù)》（一）典型題例示范講解例1設(shè)A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，證明此結(jié)論命題意圖本題主要考查考生對(duì)集合及其符號(hào)的分析轉(zhuǎn)化能力，即能從集合符號(hào)上分辨出所考查的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而解決問題知識(shí)依托解決此題的閃光點(diǎn)是將條件(A∪B)∩C=轉(zhuǎn)化為A∩C=且B∩C=，這樣難度就降低了錯(cuò)解分析此題難點(diǎn)在于考生對(duì)符號(hào)的不理解，對(duì)題目所給出的條件不能認(rèn)清其實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，因而可能感覺無從下手技巧與方法由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，用判別式對(duì)根的情況進(jìn)行限制，可得到b、k的范圍，又因b、k∈N,進(jìn)而可得值解∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=∵∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0∵A∩C=∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要條件是16b2－16>0,即b2>1 ①∵∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0∵B∩C=,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0∴k2－2k+8b－19<0,從而8b<20,即b<25②由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0組成的不等式組，得∴k=1,故存在自然數(shù)k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=例2向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人問對(duì)A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？命題意圖在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力知識(shí)依托解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來錯(cuò)解分析本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯(cuò)綜復(fù)雜，一時(shí)理不清頭緒，不好找線索技巧與方法畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系解贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B設(shè)對(duì)事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21所以對(duì)A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人例3、設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間命題意圖本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的基本應(yīng)用以及對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法知識(shí)依托逆向認(rèn)識(shí)奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題錯(cuò)解分析逆向思維受阻、條件認(rèn)識(shí)不清晰、復(fù)合函數(shù)判定程序紊亂技巧與方法本題屬于知識(shí)組合題類，關(guān)鍵在于讀題過程中對(duì)條件的思考與認(rèn)識(shí)，通過本題會(huì)解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法解設(shè)0<x1<x2,則－x2<－x1<0，∵f(x)在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)<f(x1)∴f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得2a2+a+1>3a2－2a+1解之又a2－3a+1=(a－)2－∴函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是［，+∞］結(jié)合0<a<3,得函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間為［，3)例4、設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意x1、x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0(1)求f()、f();(2)證明f(x)是周期函數(shù)；(3)記an=f(2n+),求命題意圖本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識(shí)，還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力知識(shí)依托認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，抓住條件f(x1+x2)＝f(x1)·f(x2)找到問題的突破口錯(cuò)解分析不會(huì)利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)進(jìn)行合理變形技巧與方法由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)變形為是解決問題的關(guān)鍵解因?yàn)閷?duì)x1,x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=,x∈［0,1］又因?yàn)閒(1)=f(+)=f()·f()=［f()］2f()=f(+)=f()·f()=［f（）］2又f(1)=a>0∴f()=a,f()=a(2)證明依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R又由f(x)是偶函數(shù)知f(－x)=f(x),x∈R∴f(－x)=f(2－x),x∈R將上式中－x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期(3)解由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］∵f()=f(n·)=f(+(n－1))=f()·f((n－1)·)=……=f()·f()·……·f()=［f()］n=a∴f()=a又∵f(x)的一個(gè)周期是2∴f(2n+)=f(),∴an=f(2n+)=f()=a因此an=a∴（二）鞏固練習(xí)一.選擇題1.A.B.C.D.2.設(shè)集合,那么“”是“”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.不充分也不必要條件3.設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，在x≤1時(shí)，f(x)=(x+1)2－1,則x>1時(shí)f(x)等于()Af(x)=(x+3)2－1 Bf(x)=(x－3)2－1Cf(x)=(x－3)2+1 Df(x)=(x－1)2－14．函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是.3C5.以下4個(gè)函數(shù):①;②;③;④.其中既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù)的是()A.①②B.②③C.③④D.①②③6．在上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間是減函數(shù)，則函數(shù)A.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)7、若k,b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，在一次函數(shù)中，y隨x的增大而減少，則一次函數(shù)的圖像一定經(jīng)過：（）A，第一，二，四象限B，第一，二，三象限C，第二，三，四象限D(zhuǎn)，第一，三，四象限8.已知x1是方程的一個(gè)根,是方程的一個(gè)根,那么的值是()A.6B.3C.2D.19.當(dāng)時(shí),在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)與的圖象是圖中的()10．已知唯一的零點(diǎn)在區(qū)間、、內(nèi)，那么下面命題錯(cuò)誤的（）A．函數(shù)在或內(nèi)有零點(diǎn)，B．函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)C．函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，D．函數(shù)在內(nèi)不一定有零點(diǎn)11．在這三個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，使恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（） A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)12、已知函數(shù)，給出下列四個(gè)判斷：（1）；（2）；（3）（4）。以其中三個(gè)判斷為條件，余下一個(gè)為結(jié)論，可得四個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)有：（）A，1個(gè)B，2個(gè)C，3個(gè)D，4個(gè)二.填空題13.設(shè)A、B是非空集合,定義:,已知,則.14.已知函數(shù),則.15.定義在上的偶函數(shù)g(x),當(dāng)x≥0時(shí)g(x)單調(diào)遞減,若,則m的取值范圍是.16.若二次函數(shù),有,則.17.函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都滿足，并且方程有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根的和為。18.一個(gè)高中研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)本地區(qū)年至年快餐公司發(fā)展情況進(jìn)行了調(diào)查，制成了該地區(qū)快餐公司個(gè)數(shù)情況的條形圖和快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況條形圖（如圖），根據(jù)圖中提供的信息可以得出這三年中該地區(qū)每年平均銷售盒飯萬盒。三.解答題19、記函數(shù)的定義域?yàn)锳,的定義域?yàn)锽.(1)求集合A;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍．20.已知線段,BC的中點(diǎn)為M,點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)的距離之和為6,設(shè),,求的函數(shù)表達(dá)式及其定義域.21.已知,若在區(qū)間上的最大值為,最小值為,令.(1)求的函數(shù)表達(dá)式；(2)判斷的單調(diào)性,并求出的最小值.22.函數(shù)f(x)對(duì)任意的m、n∈R,都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1,并且x＞0時(shí),恒有f(x)＞1.(1)求證:f(x)在R上是增函數(shù);(2)若f(3)＝4,解不等式f()＜2.23.已知常數(shù),變數(shù)x、y有關(guān)系.(1)若,試以a、t表示y;(2)若t在內(nèi)變化時(shí),y有最小值8,求此時(shí)a和x的值各為多少?24.甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？答案：一.選擇題題號(hào)123456789101112答案BBBBABABACBC二.填空題13.；14.3；15.16、0.17.18.85.三.解答題19.解：(1).∴集合.(2)（a<1）.∵,∴.∴不等式的解為.∴集合Ｂ.∵,∴,∴.20、解：如圖,設(shè)過C點(diǎn)作AB的平行線交AM的延長(zhǎng)線于N點(diǎn).21、解：(1)函數(shù)的對(duì)稱軸為直線,而∴在上①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，②當(dāng)2時(shí)，即時(shí)，(2).22、解：(1)設(shè),,當(dāng)時(shí),,在R上為增函數(shù)(2),不妨設(shè),在R上為增函數(shù)即23、解.(1).(2)，時(shí),，24、解(1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為,全程運(yùn)輸成本為y=a·+bv2·=S(+bv)∴所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=S(+bv),v∈(0,c(2)依題意知，S、a、b、v均為正數(shù)∴S(+bv