第十四講平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)的概念名師伴學(xué)◆【課前熱身】1.如圖，把圖①中的⊙A經(jīng)過平移得到⊙O(如圖②)，如果圖①中⊙A上一點P的坐標(biāo)為(m，n)，那么平移后在圖②中的對應(yīng)點P’的坐標(biāo)為（）．A．(m＋2，n＋1)B．(m－2，n－1)C．(m－2，n＋1)D．(m＋2，n－1)2.菱形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，，則點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．xxyOCBA（第2題）3.點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．4.函數(shù)中，自變量的取值范圍是（）A． B． C． D．5.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是（）A.B.C.D.【參考答案】◆【考點聚焦】1.了解平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，會畫直角坐標(biāo)系，能由點的坐標(biāo)系確定點的位置，由點的位置確定點的坐標(biāo)；2.理解常量和變量的意義，了解函數(shù)的一般概念，會用解析法表示簡單函數(shù)；3.理解自變量的取值范圍和函數(shù)值的意義，會用描點法畫出函數(shù)的圖象.〖考查重點與常見題型〗1.考查各象限內(nèi)點的符號，有關(guān)試題常出選擇題；2.考查對稱點的坐標(biāo)，有關(guān)試題在中考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)，習(xí)題類型多為填空題或選擇題；3.考查自變量的取值范圍，有關(guān)試題出現(xiàn)的頻率很高，重點考查的是含有二次根式的函數(shù)式中自變量的取值范圍，題型多為填空題；4．實際問題中函數(shù)自變量的取值范圍.◆【備考兵法】1.理解函數(shù)的概念和平面直角坐標(biāo)系中某些點的坐標(biāo)特點.2.要進(jìn)行自變量與因變量之間的變化圖象識別的訓(xùn)練，真正理解圖象與變量的關(guān)系.3.平面直角坐標(biāo)系：①坐標(biāo)平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)；②點P（a，b）到x軸的距離為│b│，到y(tǒng)軸距離為│a│，到原點距離為；③各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征：P（a，b），P在第一象限a>0且b>0，P在第二象限a<0，b>0，P在第三象限a<0，b<0，P在第四象限a>0，b<0；④點P（a，b）：若點P在x軸上a為任意實數(shù)，b=0；P在y軸上a=0，b為任意實數(shù)；P在一，三象限坐標(biāo)軸夾角平分線上a=b；P在二，四象限坐標(biāo)軸夾角平分線上a=－b；⑤A（x1，y1），B（x1，y2）：A，B關(guān)于x軸對稱x1=x2，y1=－y2；A、B關(guān)于的y軸對稱x1=－x2，y1=y2；A，B關(guān)于原點對稱x1=－x2，y1=－y2；AB∥x軸y1=y2且x1≠x2；AB∥y軸x1=x2且y1≠y2（A，B表示兩個不同的點）．4.變量與函數(shù)：①在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的值叫做變量．?dāng)?shù)值保持不變的量叫常量．常量和變量是相對的，判斷常量和變量的前提是“在某一變化的過程中”，同一量在不同的變化過程中可以為常量也可以為變量，這是根據(jù)問題的條件而定的．常量和變量并一定都是量，也可以是常數(shù)或變數(shù)．②在某一變化的過程中有兩個變量x與y，如果對于x在取值范圍內(nèi)取的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么說x是自變量，y是x的函數(shù)，函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關(guān)系．③自變量的取值必須使含自變量的代數(shù)式有意義．自變量的取值范圍可以是無限的也可以是有限的．可以是幾個數(shù)，也可以是單獨的一個數(shù)，表示實際問題時，自變量的取值必須使實際問題有意義．④對于自變量在取值范圍內(nèi)取一個確定的值，函數(shù)都有唯一確定的值與之對應(yīng)，這個對應(yīng)值叫做函數(shù)的一個函數(shù)值．函數(shù)由一個解析式表示時，求函數(shù)的值，就是求代數(shù)式的值，函數(shù)的值是唯一確定的，但對應(yīng)的自變量的值可以是多個．函數(shù)值的取值范圍是隨自變量的取值范圍的變化而變化的．⑤函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法、圖象法．這三種表示法各具特色，在應(yīng)用時，通常將這三種方法結(jié)合在一起運用，其中畫函數(shù)圖象的一般步驟為：列表、描點、連線．◆【典例精析】例1.已知點A（a，－5），B（8，b）根據(jù)下列要求，確定a，b的值．（1）A，B兩點關(guān)于y軸對稱；（2）A，B兩點關(guān)于原點對稱；（3）AB∥x軸；（4）A，B兩點在一，三象限兩坐標(biāo)軸夾角的平分線上．【分析】（1）兩點關(guān)于y軸對稱時，它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，而縱坐標(biāo)相同；（2）兩點關(guān)于原點對稱時，兩點的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)；（3）兩點連線平行于x軸時，這兩點縱坐標(biāo)相同（但橫坐標(biāo)不同）；（4）當(dāng)兩點位于一，三象限兩坐標(biāo)軸夾角的平分線上時，每個點的橫縱坐標(biāo)相同．【答案】解：（1）當(dāng)點A（a，－5），B（8，b）關(guān)于y軸對稱時有：（2）當(dāng)點A（a，－5），B（8，b）關(guān)于原點對稱時有（3）當(dāng)AB∥x軸時，有（4）當(dāng)A，B兩點位于一，三象限兩坐標(biāo)軸夾角平分線上時有：xA=yB且xA=yB即a=－5，b=8．【點評】運用對稱點的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．例2.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別是（0，6），（－8，0），求Rt△ABO的內(nèi)心的坐標(biāo)．【分析】本題考查勾股定理，直角三角形內(nèi)心的概念，運用內(nèi)心到兩坐標(biāo)軸的距離，結(jié)合實際圖形，確定內(nèi)心的坐標(biāo)．【答案】解：∵A（0，6），B（－8，0），∴OA=6，OB=8，在Rt△ABO中，AB2=OA2+OB2=62+82=100，∴AB=10（負(fù)值舍去）．設(shè)Rt△ABO內(nèi)切圓的半徑為r，則由S△ABO=×6×8=24，S△ABO=r（AB+OA+OB）=12r，知r=2，而內(nèi)心在第二象限，∴內(nèi)心的坐標(biāo)為（－2，2）．【點評】運用數(shù)形結(jié)合并借助面積是解答本題的關(guān)鍵．例3如圖所示表示玲玲騎自行車離家的距離與時間的關(guān)系，她9點離開家，15點回到家，請根據(jù)圖象回答下列問題：（1）玲玲到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方是什么時間？離家多遠(yuǎn)？（2）她何時開始第一次休息？休息多長時間？（3）第一次休息時，離家多遠(yuǎn)？（4）11：00到12：00她騎了多少千米？（5）她在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度各是多少？（6）她在何時至何時停止前進(jìn)并休息用午餐？（7）她在停止前進(jìn)后返回，騎了多少千米？（8）返回時的平均速度是多少？【分析】小玲騎自行車離家的距離是時間的函數(shù)，從圖象中線段CD和EF與橫軸平行，表明這兩段時間她在休息，通過讀圖可分別求解各問題．【答案】解：（1）由圖象知，玲玲到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方是12點，離家30km；（2）由線段CD平行于橫軸知，10：30開始休息，休息半個小時；（3）第一次休息時離家17km；（4）從縱坐標(biāo)看出，11：00到12：00，她騎了13km（30－17=13）；（5）由圖象知，9：00～10：00共走了10km，速度為10km/h，10：00～10：30共走了7km，速度為14km/h；（6）她在12：00～13：00時停止前進(jìn)并休息用午餐；（7）她在停止前進(jìn)后返回，騎了30km回到家（離家0km）；（8）返回時的路程為30km，時間為2h，故返回時的平均速度為15km/h．【點評】如圖a所示，表示速度v與時間t的函數(shù)圖象中，①表示物體從0開始加速運動，②代表物體勻速運動，③代表物體減速運動到停止．如圖b所示，表示路程s與時間t的函數(shù)圖象中，①代表物體勻速運動，②代表物體停止，③代表物體反向運動直至回到原地．(a)(b)◆【迎考精練】1.如圖，在矩形中，AB=2，，動點P從點B出發(fā)，沿路線作勻速運動，那么的面積S與點P運動的路程之間的函數(shù)圖象大致是（）OO3113SxA．O113SxO3Sx3O113SxB．C．D．22.一艘輪船從港口出發(fā)，以15海里/時的速度沿北偏東60°的方向航行4小時后到達(dá)A處，此時觀測到其正西方向50海里處有一座小島B．若以港口為坐標(biāo)原點，正東方向為軸的正方向，正北方向為軸的正方向，1海里為1個單位長度建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），則小島B所在位置的坐標(biāo)是（）．OxyAA． B． C． D．OxyA3.如圖所示，△A’B’C’是由△ABC向右平移5個單位，然后繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的（其中A’、B’、C’的對應(yīng)點分別是A、B、C），點A’的坐標(biāo)是（4，4）點B’的坐標(biāo)是（1，1），則點A的坐標(biāo)是。4.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是__________________．ABCDOy/km90012ABCDOy/km90012x/h4根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究：信息讀?。?）甲、乙兩地之間的距離為km；（2）請解釋圖中點的實際意義；圖象理解（3）求慢車和快車的速度；（4）求線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；【參考答案】3.（-1，-2）4.且5.解：（1）900；（2）圖中點的實際意義是：當(dāng)慢車行駛4h時，慢車和快車相遇．（3）由圖象