河南省天一大聯(lián)考2023-2023學(xué)年高二下學(xué)期階段性測試(三)數(shù)學(xué)(理)精校解析-Word版PAGE1-天一大聯(lián)考2023—2023學(xué)年高二年級階段性測試(三)數(shù)學(xué)(理科)第一卷〔共60分〕一、選擇題：本大題共12個小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1.假設(shè)的實(shí)部與虛部相等，那么實(shí)數(shù)〔〕A.-2B.C.2D.3【答案】B【解析】分析：首先將所給的復(fù)數(shù)利用四那么運(yùn)算法那么進(jìn)行計算，然后結(jié)合實(shí)部虛部的表達(dá)形式得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)a的值.詳解：由題意可得：，該復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，那么：，求解關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程可得：.此題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)中，求解參數(shù)(或范圍)，在數(shù)量關(guān)系上表現(xiàn)為約束參數(shù)的方程(或不等式).由于復(fù)數(shù)無大小之分，所以問題中的參數(shù)必為實(shí)數(shù)，因此，確定參數(shù)范圍的根本思想是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化.2.對于小于41的自然數(shù)，積等于〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：利用排列數(shù)、組合數(shù)公式逐項(xiàng)寫出所給算式的表達(dá)形式，結(jié)合題意選擇符合題意的選項(xiàng)即可.詳解：由排列數(shù)公式可知：，，；此題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：排列數(shù)、組合數(shù)公式是高中的根底公式，熟練掌握：(1)排列數(shù)公式；(2)組合數(shù)公式，這是正確計算的關(guān)鍵．3.假設(shè)(為虛數(shù)單位)，那么使的值可能是〔〕A.0B.C.D.【答案】B【解析】分析：首先計算的結(jié)果，結(jié)合所得的結(jié)果分別令實(shí)部、虛部相等，得到關(guān)于的三角方程，求解三角方程即可求得的值.詳解：由題意可得：，結(jié)合可得：，比照選項(xiàng)可知：.此題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)的根本概念和復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)內(nèi)容的根底，高考中常常與復(fù)數(shù)的運(yùn)算相結(jié)合進(jìn)行考查，一般屬于簡單題范疇.4.假設(shè)函數(shù)有極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，那么導(dǎo)函數(shù)的大致圖象可能為〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：首先確定所給函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為是，然后結(jié)合函數(shù)的極值確定函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性即可確定函數(shù)的大致圖象.詳解：三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象與軸有兩個交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的極值可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；那么導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上為正數(shù)，在區(qū)間上為負(fù)數(shù)，在區(qū)間上為正數(shù)；觀察所給的函數(shù)圖象可知，只有C選項(xiàng)符合題意.此題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同．(2)假設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．5.用反證法證明命題“等腰三角形的底角必是銳角〞,以下假設(shè)正確的選項(xiàng)是〔〕A.等腰三角形的頂角不是銳角B.等腰三角形的底角為直角C.等腰三角形的底角為鈍角D.等腰三角形的底角為直角或鈍角【答案】D【解析】分析：反證法的假設(shè)需要寫出命題的反面，結(jié)合題意寫出所給命題的反面即可.詳解：反證法的假設(shè)需要寫出命題的反面.“底角必是銳角〞的反面是“底角不是銳角〞，即底角為直角或鈍角.此題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：應(yīng)用反證法證題時必須先否認(rèn)結(jié)論，把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推理，否那么，僅否認(rèn)結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法．所謂矛盾主要指：①與條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與公認(rèn)的簡單事實(shí)矛盾；⑤自相矛盾.6.某科技小組有6名同學(xué)，現(xiàn)從中選出3人去參觀展覽，至少有1名女生入選的不同選法有16種，那么小組中的女生人數(shù)為〔〕A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】分析：設(shè)有女生x人，結(jié)合題意得到關(guān)于女生人數(shù)的組合方程，求解關(guān)于x的方程即可確定女生人數(shù).詳解：設(shè)有女生x人，那么有男生6-x人，于是有，即〔6-x)〔5-x)〔4-x)=24，整理可得：，解得x=2.此題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：組合問題常有以下兩類題型變化：(1)“含有〞或“不含有〞某些元素的組合題型：“含〞，那么先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含〞，那么先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．(2)“至少〞或“最多〞含有幾個元素的題型：假設(shè)直接法分類復(fù)雜時，逆向思維，間接求解．7.觀察下面的三個圖形，根據(jù)前兩個圖形的規(guī)律，可知第三個圖中〔〕A.9B.60C.120D.100【答案】D【解析】分析：由題意，觀察分析前兩個圓中內(nèi)部數(shù)據(jù)和外部數(shù)據(jù)的關(guān)系，歸納出數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，然后求解實(shí)數(shù)的值即可.詳解：由前兩個圖形發(fā)現(xiàn)：中間數(shù)等于四周四個數(shù)的算術(shù)平方根的和：，，據(jù)此可得：.解得：，所以“x〞處該填的數(shù)字是100.此題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：歸納推理是由局部到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．8.在的展開式中，稱為項(xiàng)的次數(shù)，那么所有次數(shù)為3的項(xiàng)的系數(shù)之和為〔〕A.45B.60C.120D.210【答案】C【解析】分析：由題意結(jié)合次數(shù)的定義和二項(xiàng)式定理展開式定理得到所有次數(shù)為3的項(xiàng)的系數(shù)的表達(dá)式，然后結(jié)合組合數(shù)計算公式即可求得系數(shù)的值.詳解：由條件得，次數(shù)為3的項(xiàng)有，這些項(xiàng)的系數(shù)和為.此題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．(2)求兩個多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解．9.函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，假設(shè)，那么必有〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)確定導(dǎo)函數(shù)的符號，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定函數(shù)的單調(diào)性，最后，利用單調(diào)性即可確定題中不等式的符號.詳解：，那么x>1時；x<1時.故f(x)在上為增函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，在上為減函數(shù)或常數(shù)函數(shù).故，，即f(0)+f(2)≤2f(1).此題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：分類討論思想是高中數(shù)學(xué)一項(xiàng)重要的考查內(nèi)容.分類討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實(shí)現(xiàn)問題的求解，表達(dá)了對數(shù)學(xué)問題的分析處理能力和解決能力.10.在某種信息的傳輸過程中，用6個數(shù)字的一個排列〔數(shù)字允許重復(fù))表示一個信息，不同排列表示不同信息，假設(shè)所用數(shù)字只有0和1，那么與信息100110至多有三個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為〔〕A.22B.32C.42D.61【答案】C【解析】分析：由題意，分類討論可知0個、1個、2個和3個對應(yīng)位置的數(shù)字相同，結(jié)合組合數(shù)公式和加法原理即可求得最終結(jié)果.詳解：至多有三個對應(yīng)位置相同，包含0個、1個、2個和3個，即與信息100110至多有三個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為：.此題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：解排列組合問題要遵循兩個原那么：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．11.老師和甲、乙兩名同學(xué)都知道桌上有6張撲克牌：紅桃3、紅桃6、黑桃5、黑桃A、方塊10、梅花6.老師從中挑選一張,將這張牌的花色告訴甲同學(xué),將牌上的點(diǎn)數(shù)告訴乙同學(xué).隨后發(fā)生了下面一段對話：甲：“我不知道這張牌是什么.〞乙：“我本來也不知道這張牌是什么，但是聽了你說的話，我就知道了.〞甲：“現(xiàn)在我也知道了.〞根據(jù)他們的對話,這張牌是A.紅桃3B.紅桃6C.黑桃D.梅花6【答案】B【解析】分析：由題意首先分析甲的說法，然后結(jié)合甲的說法分析乙的說法，據(jù)此即可確定老師挑選的牌面.詳解：一開始，甲僅憑花色無法判斷這張牌是什么，說明這張牌的花色在6張牌里不是唯一的，可能是紅桃或黑桃；乙僅憑數(shù)字無法判斷這張牌是什么，說明這張牌的數(shù)字也不是唯一的，只能是6，結(jié)合甲的話，乙就知道了這張牌是紅桃6，甲根據(jù)乙的話也就知道答案了.所以這張牌是紅桃6.此題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：雖然合情推理所得的結(jié)果具有偶然性，但也不是完全憑空想象，它是根據(jù)一定的知識和方法作出的探索性的判斷，經(jīng)歷觀察、試驗(yàn)、猜測、證明等數(shù)學(xué)活動即可得出正確合理的結(jié)論.12.函數(shù)，假設(shè)在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：首先求得導(dǎo)函數(shù)，由原函數(shù)單調(diào)遞增求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合題意將原問題轉(zhuǎn)化為子區(qū)間的問題，得到關(guān)于m的不等式組，求解不等式組即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.詳解：因?yàn)?，令可?2≤x≤2，所以要使函數(shù)f(x〕在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么區(qū)間〔2m，m+1〕是區(qū)間〔-2，2〕的子區(qū)間，所以，求解不等式組可得：，據(jù)此可得：-1≤m<1.此題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；(2)不能隨意將函數(shù)的2個獨(dú)立的單調(diào)遞增〔或遞減〕區(qū)間寫成并集形式；(3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.第二卷〔共90分〕二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分.13.由曲線，坐標(biāo)軸及直線圍成的圖形的面積等于__________．【答案】【解析】分析：首先確定函數(shù)圖象，然后結(jié)合函數(shù)圖象和定積分的幾何意義即可求得曲線所圍成的圖形的面積.詳解：繪制函數(shù)的圖象如以以下圖，結(jié)合定積分的幾何意義可得，所求面積值為：.故答案為：．點(diǎn)睛：(1)一定要注意重視定積分性質(zhì)在求值中的應(yīng)用；(2)區(qū)別定積分與曲邊梯形面積間的關(guān)系，定積分可正、可負(fù)、也可以為0，是曲邊梯形面積的代數(shù)和，但曲邊梯形面積非負(fù).14.對偶數(shù)構(gòu)成的數(shù)列2,4,6,8,10,…進(jìn)行如下分組：第一組含一個數(shù)；第二組含兩個數(shù)；第三組含三個數(shù)；第四組含四個數(shù).……試觀察猜測每組內(nèi)各數(shù)之和與組的編號數(shù)的關(guān)系式為__________．【答案】【解析】分析：由題意結(jié)合所給的前四組數(shù)據(jù)歸納出和的特點(diǎn)，然后結(jié)合歸納出的算式計算與組的編號數(shù)的關(guān)系式即可.詳解：由于，，，，，據(jù)此猜測第n組內(nèi)各數(shù)之和f(n)與組的編號數(shù)n的關(guān)系式為f(n)=n3+n.點(diǎn)睛：歸納推理是由局部到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．15.某質(zhì)點(diǎn)的位移(單位：)與時間(單位：)的關(guān)系式為，那么該質(zhì)點(diǎn)的瞬時速度的最小值為__________.(用含有的式子表示)【答案】【解析】分析：對位移函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的物理意義確定瞬時速度的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求得該質(zhì)點(diǎn)的瞬時速度的最小值.詳解：質(zhì)點(diǎn)在t時的瞬時速度為s'=t2+bt+1，因?yàn)閎>0，所以s'=t2+bt+1在時單調(diào)遞增，所以該質(zhì)點(diǎn)的瞬時速度的最小值為.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)的幾何意義為切線的斜率，曲線中切線斜率的物理意義為瞬時速度，據(jù)此結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可確定速度的最小值，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.16.圖中共有__________個矩形.【答案】45【解析】分析：結(jié)合圖形進(jìn)行分類，利用排列組合的性質(zhì)求解每類中矩形的個數(shù)，然后利用加法原理即可求得圖中矩形的個數(shù).詳解：如以以下圖，由排列組合知識可知，在矩形中，含有矩形的個數(shù)為，在矩形中，含有矩形的個數(shù)為，除去上面考慮過的情況，在矩形中，含有矩形的個數(shù)為，在矩形中，含有矩形的個數(shù)為，綜上可得：圖中矩形的個數(shù)為：.(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③局部均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．三、解答題:共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)復(fù)數(shù)〔其中).〔Ⅰ〕假設(shè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值；〔Ⅱ〕假設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二或第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕的取值范圍是.【解析】分析：(Ⅰ)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么實(shí)部為0，虛部不為0，據(jù)此可得：，解得；(Ⅱ)由題意可知實(shí)部虛部符號相反，據(jù)此得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，求解不等式組可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.詳解：〔Ⅰ〕因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以所以.〔Ⅱ〕因?yàn)閷?yīng)的點(diǎn)在第二或第四象限，所以或解不等式組得或，即的取值范圍是.點(diǎn)睛：這個題目考查了復(fù)數(shù)問題，復(fù)數(shù)分為虛數(shù)和實(shí)數(shù)，虛數(shù)又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù)，需要注意的是數(shù)的性質(zhì)求參時，會出增根，比方純虛數(shù)，既要求實(shí)部為0，也要求虛部不為0.18.二項(xiàng)式〔Ⅰ〕假設(shè)，展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為960，求的值；〔Ⅱ〕假設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，且，求展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和.【答案】〔Ⅰ〕2；〔Ⅱ〕32．【解析】分析：〔Ⅰ〕由題意結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得，據(jù)此計算可得；〔Ⅱ〕由題意可得,據(jù)此可得，,那么二項(xiàng)式系數(shù)之和為.詳解：〔Ⅰ〕的展開式通項(xiàng)為，令，得，解得〔Ⅱ〕因?yàn)檎归_式中各項(xiàng)系數(shù)和為，所以,故或或，又因?yàn)椋裕?所以展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為.點(diǎn)睛：二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．19.是否存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)都能被36整除？假設(shè)存在，求出的最小值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論；假設(shè)不存在，請說明理由.【答案】答案見解析【解析】分析：由題意計算可得，，，.猜測最小的正整數(shù)的值為9，即.用數(shù)學(xué)歸納法討論可知成立，假設(shè)時成立，可證得時成立，即可證得猜測成立.詳解：由，得，，，.要使得對都能被36整除，最小的正整數(shù)的值為9，由此猜測最小的正整數(shù)的值為9，即.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：〔1〕當(dāng)時，顯然成立.〔2〕假設(shè)時，能被36整除，即能被36整除.當(dāng)時，，由于是2的倍數(shù)，故能被36整除.這就是說，當(dāng)時，也能被36整除.由〔1〕〔2〕可知對一切正整數(shù)都有能被36整除，的最小值為9.點(diǎn)睛：1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的根底，步驟(2)是遞推的依據(jù)．2．在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第(1)步驗(yàn)算n＝n0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目要求選擇適宜的起始值．第(2)步，證明n＝k＋1時命題也成立的過程，一定要用到歸納假設(shè)，否那么就不是數(shù)學(xué)歸納法.20.某商場根據(jù)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),該商品每日的銷售量(單位：千克)與銷售價格(單位：元/千克)滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù).銷售價格為5元/干克時，每日可售出該商品11千克.〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假設(shè)該商品的本錢為3元/千克，那么銷售價格為多少時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大？【答案】〔Ⅰ〕2；〔Ⅱ〕當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.【解析】試題分析：〔Ⅰ〕由題意可得時，，代入函數(shù)解析式可得的值；〔Ⅱ〕根據(jù)利潤等于銷量乘以銷售價格與本錢的差，列函數(shù)關(guān)系式〔三次函數(shù)〕，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性變化規(guī)律，確定函數(shù)最值.試題解析：解：〔Ⅰ〕因?yàn)闀r，，所以，故〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，該商品每日的銷售量所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為從而于是，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：由上表可得，是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，且最大值等于42答：當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.視頻21.對于函數(shù)，設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是的