格林公式及其應(yīng)用第1頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五區(qū)域D分類單連通區(qū)域(無“洞”區(qū)域)多連通區(qū)域(有“洞”區(qū)域)域D邊界L的正向:域的近處內(nèi)部靠左定理1.

設(shè)區(qū)域D

是由分段光滑正向曲線L圍成,則有(格林公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),或一、格林公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五證明:1)若D既是X-型區(qū)域,又是

Y-

型區(qū)域,且則定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五即同理可證①②①、②兩式相加得:定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五2)若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個上述形式的區(qū)域,如圖證畢定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五推論:正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積格林公式例如,橢圓所圍面積定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五例1.設(shè)L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:

令則利用格林公式,得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五例2.

計算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉域.解:

令,則利用格林公式,有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五例3.

計算其中L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解:

令設(shè)L所圍區(qū)域為D,由格林公式知機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五在D內(nèi)作圓周取逆時針方向,,對區(qū)域應(yīng)用格記L和

lˉ

所圍的區(qū)域為林公式,得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理2.

設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個條件等價:在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五說明:

積分與路徑無關(guān)時,曲線積分可記為證明(1)(2)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B

的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1))定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五證明(2)(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分則同理可證因此有和任一點(diǎn)B(x,y),與路徑無關(guān),有函數(shù)定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五證明

(3)(4)設(shè)存在函數(shù)

u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五證明

(4)(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域為證畢定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時,可利用格林公式簡化計算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)1)計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五例4.

計算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍原式圓周區(qū)域為D,

則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五例5.

驗證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).證:

設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五例6.

驗證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證:

令則由定理2

可知存在原函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五例7.設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場作用下沿曲線L:由移動到求力場所作的功W解:令則有可見,在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五思考:積分路徑是否可以取取圓弧為什么？注意,本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān)!機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2