概率論離散型隨機變量及其分布規(guī)律第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五1、定義稱為X的分布律(列)或概率分布。分布列也可以用列表法表示一、離散型隨機變量分布律的定義設(shè)離散型隨機變量X可能取且取這些值的概率依次為

p1,p2,…,pn,,

第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五2.分布列的性質(zhì)（非負(fù)性）（歸一性）給定了我們就能很好的描述X.即可以知道X取什么值，以及以多大的概率取這些值。第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五解:

依據(jù)分布律的性質(zhì):P(X=k)≥0,解得這里用到了常見的冪級數(shù)展開式設(shè)隨機變量X的概率函數(shù)為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)例1.第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例題2設(shè)X為離散型隨機變量，其分布律為：xp-1011/21-2qq2解:第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，解:顯然，X可能取的值是1,2,…

，

P(X=1)=P(A1)=p,為計算

P(X=k)，

k=1,2,…，Ak

={第k次命中}，k=1,2,…，設(shè)于是已知他每發(fā)命中的概率是p，求射擊次數(shù)X的分布列.例5.第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五可見這就是所求射擊次數(shù)X的分布列.若隨機變量X的分布律如上式，不難驗證:幾何分布.則稱X服從第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五幾個重要的離散型隨機變量模型(0,1)分布二項分布波松分布第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五一、(0-1)分布（二點分布）隨機變量X只取0與1兩個值它的分布列是XP011-PP或者表示為：第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五將一枚均勻硬幣拋擲1次，則X的分布列是：反面正面X=0X=1“正面”的次數(shù)令X表示1次中出現(xiàn)例6例3100件相同的產(chǎn)品中有4件次品和96件正品，現(xiàn)從中任取一件，解求取得正品數(shù)X的分布列。01XP1/21/2第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五伯努利試驗和二項分布第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五請思考一個問題擲硬幣100次，記錄正面出現(xiàn)的次數(shù)XX為隨機變量,如何描述X的分布規(guī)律呢？第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布。事件A發(fā)生的概率均為P，定義

設(shè)將試驗獨立重復(fù)進(jìn)行n次，n重貝努里試驗.若以X表示n重貝努里試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，記作則稱這n次試驗為每次試驗中，第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五

用X表示n重貝努里試驗中事件A（成功）出現(xiàn)（2）不難驗證：（1）的次數(shù)，則第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五若其分布列為：正好是二項式的展開式中的通項，因此該分布為二項分布。顯然，n=1時，二項分布化為二點分布。(0-1)分布記為二項分布的分布列第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五

已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回解:

因為這是有放回地取3次，因此這3次試驗的依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.設(shè)X為所取的3個中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X

～B(3,0.05)，例10地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.條件完全相同且獨立，它是貝努里試驗.第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五注：若將本例中的“有放回”改為”無放回”，那么各次試驗條件就不同了，古典概型求解.不是貝努里概型，此時只能用第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五思考題1、拋擲硬幣100次，請你猜出現(xiàn)正面的次數(shù)，猜對有獎，你會猜出現(xiàn)多少次？2、拋擲骰子100次，請你猜出現(xiàn)點數(shù)6的次數(shù)，猜對有獎，你會猜出現(xiàn)多少次？第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五二項分布的取值情況設(shè).039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?由圖表可見,當(dāng)時，分布取得最大值此時的稱為最可能成功次數(shù)xP?0?1?2?3?4?5?6?7?8第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五設(shè).01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20??xP?????1?3?5?7?9????0?2?4?6?8?10?20由圖表可見,當(dāng)時，分布取得最大值0.22?第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.([x]表示不超過

x

的最大整數(shù))n=10,p=0.7kPk對于固定n及

P，當(dāng)k增加時,概率P(X=k)先是隨之增加當(dāng)不為整數(shù)時，二項概率達(dá)到最大值；在二項分布的圖形特點:第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五簡要說明第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例3一門大炮對目標(biāo)進(jìn)行轟擊,假定此目標(biāo)必須被擊中r

次才能被摧毀.若每次擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),且各次轟擊相互獨立,一次次地轟擊直到摧毀目標(biāo)為止.求所需轟擊次數(shù)X的概率分布.解P(X=k)=P(前k–1次擊中r–

1次，第k

次擊中目標(biāo))例3帕斯卡分布第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五

設(shè)隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,…,其中>0是常數(shù),且概率分布為：泊松分布,記作則稱X服從參數(shù)為的泊松分布第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五

設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊解:由題意,求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.例12第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五泊松分布的圖形特點：

n=10,p=0.7kPkX~B(n,p)第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)n很大，p很小時，下面圖形顯示：泊松分布是二項分布的極限分布，參數(shù)=np

的泊松分布二項分布就可近似看成是第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五在實際計算中,當(dāng)n

20,p0.05時,可用上述公式近似計算;而當(dāng)n

100,np10時,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015

按二項分布

按Possion

公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五,則對固定的

k設(shè)Possion定理Poisson定理說明若X~B(n,p),則當(dāng)n

較大，p

較小,而適中,則可以用近似公式第29頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例13有產(chǎn)品15000件，其中次品150件，今抽取100件，求有2件是次品的概率。解法一超幾何分布解法二二項分布為次品率解法三泊松分布第30頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的.

近數(shù)十年來，泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個分布之一.

在實際中，許多隨機現(xiàn)象服從或近似服從泊松分布.

泊松分布在管理科學(xué)、運籌學(xué)以及自然科學(xué)的某些問題中都占有重要的地位.第31頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五都可以看作服從泊松分布.每天119收到的火災(zāi)報警次數(shù)；一個售貨員接待的顧客數(shù)