長沙市K郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.2．已知雙曲線，則該雙曲線的實(shí)軸長為（）A.1 B.2C. D.3．已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)的距離等于6，則的面積為（）A.24 B.36C.48 D.604．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100血液中酒精含量在20~80之間為酒后駕車，80及以上為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過的小時(shí)數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.6 B.7C.8 D.95．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A.12 B.14C.16 D.186．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.7．經(jīng)過點(diǎn)，且被圓所截得的弦最短時(shí)的直線的方程為（）A. B.C. D.8．設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用表示，村外一小路所在直線方程可用表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為（）A. B.C. D.9．過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則的面積為（）A. B.C. D.10．某中學(xué)為了解高三男生的體能情況，通過隨機(jī)抽樣，獲得了200名男生的100米體能測試成績（單位：秒），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定成績低于13秒為優(yōu)，成績高于14.8秒為不達(dá)標(biāo).由直方圖推斷，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.直方圖中a的值為0.40B.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測試成績的眾數(shù)為13.75秒C.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測試成績?yōu)閮?yōu)的人數(shù)為54D.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測試成績?yōu)椴贿_(dá)標(biāo)的人數(shù)為1811．已知拋物線C：，則過拋物線C的焦點(diǎn)，弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是（）A.4037 B.4044C.2019 D.202212．若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（）A.0 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為______14．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，則___________.15．已知雙曲線M的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸.從以下三個(gè)條件中任選兩個(gè)條件，并根據(jù)所選條件求雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程.①一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為；②經(jīng)過點(diǎn)；③離心率為.你選擇的兩個(gè)條件是___________，得到的雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________.16．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已如橢圓C：＝1（a＞b＞0）的有頂點(diǎn)為M（2，0），且離心率e＝，點(diǎn)A，B是橢圓C上異于點(diǎn)M的不同的兩點(diǎn)（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線MA與直線MB的斜率分別為k1，k2，若k1?k2＝，證明：直線AB一定過定點(diǎn)18．（12分）已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，P(5，a)為拋物線C上一點(diǎn)，且|PF|＝8（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓過Q(0，﹣3)，求直線l的方程19．（12分）已知數(shù)列中，，___________，其中.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.從①前n項(xiàng)和，②，③且，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中并作答.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線相切.（1）求圓O的方程；（2）設(shè)圓O交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓O內(nèi)，且是、的等比中項(xiàng)，求的取值范圍.21．（12分）已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】先求過右焦點(diǎn)且與漸近線垂直的直線方程，與漸近線方程聯(lián)立求點(diǎn)P的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合已知條件，得到關(guān)于a，c的關(guān)系式.【詳解】雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為，過與這條漸近線垂直的直線方程為，由，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為，又因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D2、B【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接計(jì)算即可作答.【詳解】雙曲線的實(shí)半軸長，所以該雙曲線的實(shí)軸長為2.故選：B3、A【解析】由題意可得出與、、的值，在根據(jù)橢圓定義得的值，即可得到是直角三角形，即可求出的面積.【詳解】由題意知，.根據(jù)橢圓定義可知，是直角三角形，.故選：A.4、C【解析】根據(jù)題意列出不等式，利用指對(duì)數(shù)冪的互化和對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式即可解出不等式.【詳解】設(shè)該駕駛員至少需經(jīng)過x個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車，則，所以，則，所以該駕駛員至少需經(jīng)過約8個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車.故選：C5、D【解析】利用給定的通項(xiàng)公式直接計(jì)算即得.【詳解】因數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則有，所以.故選：D6、B【解析】由空間向量的線性運(yùn)算求解【詳解】由題意，又，，，∴,故選：B7、C【解析】當(dāng)是弦中點(diǎn)，她能時(shí)，弦長最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據(jù)題意，圓心為，當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)被圓所截得的弦最短，此時(shí)，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交弦長問題，掌握垂徑定理是求解圓弦長問題的關(guān)鍵8、B【解析】求出圓心到直線距離，減去半徑即為答案.【詳解】圓心到直線的距離，則從村莊外圍到小路的最短距離為故選：B9、B【解析】畫出圖形，利用已知條件結(jié)合拋物線的定義求解邊長CF，BK，然后求解三角形的面積即可【詳解】如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過作于，過作于，過作于，設(shè)，則根據(jù)拋物線的定義可得，，，的面積為，故選：.10、D【解析】根據(jù)頻率之和為求得，結(jié)合眾數(shù)、頻率等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，解得，A選項(xiàng)正確.眾數(shù)為，B選項(xiàng)正確.成績低于秒的頻率為，人數(shù)為，所以C選項(xiàng)正確.成績高于的頻率為，人數(shù)為人，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D11、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，先求出過焦點(diǎn)的最短弦長，再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，即可求解【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物線的性質(zhì)可得，過拋物線焦點(diǎn)中，長度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過拋物線C的焦點(diǎn)，長度最短的弦的長為，由拋物線的對(duì)稱性可得，弦長在5到2022之間的有共有條，故弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是故選：A12、D【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切線坐標(biāo)，求出切點(diǎn)到直線的距離即為所求最小距離【詳解】點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，設(shè)，令，解得1或（舍去），，∴曲線上與直線平行的切線的切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的最小距離.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)已知可設(shè)，，，根據(jù)已知條件求出、、的值，將向量用坐標(biāo)加以表示，利用空間向量的模長公式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，所以，，因?yàn)?，則，不妨設(shè)，，設(shè)，則，，解得，則，因?yàn)?，可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為.故答案為：.14、【解析】利用空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即得.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，因點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，所以.故答案為：15、①.①②或①③或②③②.或或【解析】選①②，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)直接求解，選①③，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率求出即可得解，選②③，可由頂點(diǎn)坐標(biāo)及離心率得出，即可求解.【詳解】選①②，由題意則，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：①②；，選①③，由題意，，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，選②③，由題意知，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：①②；或①③；或②③；.16、【解析】利用復(fù)數(shù)除法化簡，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出即可.【詳解】，∴.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（II）證明見解析.【解析】（I）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求得，根據(jù)離心率求得，由此求得，進(jìn)而求得橢圓方程.（II）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)，求得的關(guān)系式，由此判斷直線過定點(diǎn).【詳解】（I）由于是橢圓的頂點(diǎn)，所以，由于，所以，所以，所以橢圓方程為.（II）由于是橢圓上異于點(diǎn)的不同的兩點(diǎn)，所以可設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去并化簡得，所以，即.，，，，解得，所以直線的方程為，過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題.18、（1）；（2）2x﹣y﹣6＝0﹒【解析】(1)根據(jù)拋物線焦半徑公式構(gòu)造方程求得，從而得到結(jié)果(2)設(shè)直線，代入拋物線方程可得韋達(dá)定理的形式，根據(jù)可構(gòu)造方程求得，從而得到直線方程【小問1詳解】由拋物線定義可知：，解得：，拋物線的方程為：【小問2詳解】由拋物線方程知：，設(shè)直線，，，，，聯(lián)立方程，得：，，，以線段為直徑的圓過點(diǎn)，，，解得：，直線的方程為：，即19、（1）（2）見解析（3）【解析】（1）選①，根據(jù)與的關(guān)系即可得出答案；選②，根據(jù)與的關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得出答案；選③，利用等差中項(xiàng)法可得數(shù)列是等差數(shù)列，再求出公差，即可得解；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列的定義即可得證；（3）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法即可得出答案.【小問1詳解】解：選①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也成立，所以；選②，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為公差的等差數(shù)列，所以；選③且，因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，公差，所以；【小問2詳解】解：由（1）得，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；【小問3詳解】解：，，①，②由①②得，所以.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)出圓方程，結(jié)合該圓與直線相切，求得半徑，則問題得解；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意，求得的等量關(guān)系，再構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求得函數(shù)值域即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，設(shè)的方程為，又該圓與直線相切，故可得，則圓的方程為.【小問2詳解】對(duì)圓：，令，則，不妨設(shè)，則，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，故；因?yàn)槭?、的等比中?xiàng)，故可得：，則，整理得；由可得，解得，則.故答案為：.21、（1）；（2）.【解析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題中條件，列出方程求出首項(xiàng)和公差，即可得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得到，再