正交曲面坐標(biāo)系第1頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定解問(wèn)題分離變量法直角坐標(biāo)系：一維線性矩形長(zhǎng)方體圓柱球形——正交曲面坐標(biāo)系第2頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五15.1正交曲面坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系下任意一點(diǎn)

(x,y,

z)

球坐標(biāo)柱坐標(biāo)第3頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定義

曲面坐標(biāo)系{q1,q2,q3}

與直角坐標(biāo)系的關(guān)系為雅可比行列式不為零

其坐標(biāo)面為三組曲面：q1=

常數(shù)，q2=常數(shù)，q3=常數(shù)。

正交曲面坐標(biāo)系由通過(guò)該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)面決定，

q1

，q2

，q3

相互獨(dú)立

若q1

，q2

，q3總是互相垂直，它就是正交曲面坐標(biāo)系。

第4頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五點(diǎn)a0

與其鄰點(diǎn)的弧長(zhǎng)：其中，是坐標(biāo)軸的度規(guī)因子，

若gij=giidij

，則(q1,q2,q3)

為正交曲面坐標(biāo)系。

令其中判定

即或第5頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五判斷柱坐標(biāo)系為正交曲面坐標(biāo)系。

例題解可知，柱坐標(biāo)系是正交曲面坐標(biāo)系。

第6頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五判斷球坐標(biāo)系為正交曲面坐標(biāo)系。

例題解可知，球坐標(biāo)系是正交曲面坐標(biāo)系。

第7頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五直角坐標(biāo)系：

正交曲面坐標(biāo)系中的拉普拉斯算符：

柱坐標(biāo)系：

球坐標(biāo)系：

極坐標(biāo)系：

第8頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五補(bǔ)充原點(diǎn)處的有界條件：有界15.2圓形區(qū)域可采用分離變量法采用平面極坐標(biāo)系圓形區(qū)域中的穩(wěn)定問(wèn)題補(bǔ)充周期性條件：直角坐標(biāo)下無(wú)法分離變量第9頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五令，分離變量定解問(wèn)題為：兩邊同乘以得第10頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五若l=0可知：周期性條件由周期性條件知：本征函數(shù)若l≠0可知：由周期性條件知：本征函數(shù)第11頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五對(duì)方程（1）作變換：令，則因此，當(dāng)時(shí)，本征函數(shù)為本征值l0=0

，本征函數(shù)：方程（1）化為：定解問(wèn)題的全部特解為：一般解：本征值lm=m2

，本征函數(shù)：第12頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五∵在r=0處，有界，

∴l(xiāng)nr

和

項(xiàng)的系數(shù)為零，即將一般解代入周期性條件：利用本征函數(shù)的正交性及可知：再代入邊界條件：第13頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三維空間的穩(wěn)恒振動(dòng)問(wèn)題：15.3亥姆霍茲方程在柱坐標(biāo)系下的分離變量通常要求解的形式為：這樣方程就化為了：亥姆霍茲方程T(t)

為隨時(shí)間衰減的因子第14頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五柱坐標(biāo)系下，亥姆霍茲方程的具體形式為：逐次分離變量，令代入方程兩邊同除以wZ

得：第15頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五再次分離變量，令代入方程得兩邊同乘以得17章柱函數(shù)第16頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五兩邊同乘以得15.4亥姆霍茲方程在球坐標(biāo)系下的分離變量球坐標(biāo)系下，亥姆霍茲方程的具體形式為：逐次分離變量，令代入方程第17頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五再次分離變量，令代入方程（2）得即兩邊同乘以得第18頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五16章球函數(shù)連帶勒讓德方程第19頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期五當(dāng)整個(gè)定解問(wèn)題再繞極軸轉(zhuǎn)動(dòng)任意角不變時(shí)，即u=