學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江西省彭澤縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案彭澤一中2020—2021學(xué)年度上學(xué)期高二第一次月考數(shù)學(xué)試卷命題人:高二數(shù)學(xué)組時間：120分鐘一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的組成方式為(）A．上面為圓臺，下面為圓柱 B．上面為圓臺，下面為棱柱C．上面為棱臺，下面為棱柱 D．上面為棱臺，下面為圓柱2．已知向量，則與的夾角為鈍角時,的取值范圍為(）A． B． C．且 D．且3．下列說法正確的是（）A．有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．三棱錐的三個側(cè)面都可以是直角三角形C．有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐4．如圖,在正方體中,異面直線和所成的角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．120°5．已知，是互不重合的直線，，是互不重合的平面，下列四個命題中正確的是（）A．若,，則 B．若，，,則C．若，，則 D．若,，則6．如圖所示,正方形的邊長為,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A． B． C． D．7．下面左圖是某學(xué)習(xí)小組學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖,1號到16號同學(xué)的成績依次為A1，A2，…，A16，右圖是統(tǒng)計莖葉圖中成績在一定范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)的算法流程圖,那么該算法流程圖輸出的結(jié)果是(）A．6 B．10 C．91 D．928．若圓錐的軸截面是一個頂角為，腰長為2的等腰三角形，則過此圓錐頂點的所有截面中,截面面積的最大值為（)A． B．1 C． D．29．下列說法中正確的個數(shù)是(）①空間中三條直線交于一點，則這三條直線共面；②平行四邊形可以確定一個平面；③若一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等；④若，且，則在上。A．1 B．2 C．3 D．410．五四青年節(jié)活動中，高三（1）、（2）班都進行了場知識辯論賽，比賽得分情況的莖葉圖如圖所示（單位：分），其中高三（2）班得分有一個數(shù)字被污損,無法確認，假設(shè)這個數(shù)字具有隨機性，那么高三（2）班的平均得分大于高三(1）班的平均得分的概率為(）A． B． C． D．11．在區(qū)間上任取兩個數(shù),則這兩個數(shù)之和大于3的概率是（）A． B． C． D．12．在中，角的對邊分別為，若，則當取最小值時，=（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分,共20分,請把答案填在答題卡上。13．若，，則函數(shù)有零點的概率為__________.14．已知數(shù)列滿足，則的最小值為______.15．某幾何體的三視圖如圖所示，且三個三角形均為直角三角形，則xy的最大值為_____。16．在平面直角坐標系中，已知任意角以坐標原點為頂點，軸的非負半軸為始邊，若終邊經(jīng)過點，且，定義:，稱“"為“正余弦函數(shù)”，對于“正余弦函數(shù)",有同學(xué)得到以下性質(zhì)：①該函數(shù)的值域為；②該函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；③該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；④該函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為；⑤該函數(shù)的遞增區(qū)間為。其中正確的是__________．（填上所有正確性質(zhì)的序號）三．解答題：本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算過程。17．(10分）如圖是一個長方體截去一個角所得的多面體的直觀圖及它的正(主）視圖和側(cè)（左)視圖（單位:）.(1）畫出該多面體的俯視圖；(2）按照給出的尺寸，求該多面體的表面積；(尺寸如圖）18．（12分）某保險公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險,現(xiàn)從名參保人員中隨機抽取名作為樣本進行分析，按年齡段、、、、分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示,參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費如下表所示。年齡（單位:歲）保費(單位：元）(1）求頻率分布直方圖中實數(shù)的值，并求出該樣本年齡的中位數(shù)；（2)現(xiàn)分別在年齡段、、、、中各選出人共人進行回訪。若從這人中隨機選出人，求這人所交保費之和大于元的概率.19．（12分）如圖，長方體中，，，點P為的中點.(1）求證：直線平面；（2）求異面直線與所成角的正弦值.20．（12分）已知為等比數(shù)列,且各項均為正值，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若,數(shù)列的前n項和為，求。21．（12分）如圖所示,在正方體中，、、、分別為、、、的中點,求證：（1）、、、四點共面；（2）平面平面．22．（12分）已知，,（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且,，求邊上的高的最大值．參考答案1．A【解析】【分析】觀察三視圖判斷上面和下面幾何體的形狀即可?！驹斀狻拷Y(jié)合圖形分析知上面為圓臺，下面為圓柱。故選：A?！军c睛】本題考查利用三視圖判斷幾何體的形狀,考查學(xué)生的空間想象能力,是基礎(chǔ)題．2．C【解析】【分析】由與的夾角為鈍角，可得且不共線，列不等式即可求得?！驹斀狻?與的夾角為鈍角時，，解得,又與不共線,即，的取值范圍是，且。故選C.【點睛】本題通過向量夾角的范圍求參數(shù)的范圍,特別注意向量不共線,是一道基礎(chǔ)題.3．B【解析】【分析】對A、C、D分別舉出反例即可，而對于B可找到符合條件的圖形，進而得出答案?！驹斀狻繉τ贏,如圖（1）符合條件但卻不是棱柱；對于B，在圖(2）所示的正方體中，三棱錐的三個側(cè)面都是直角三角形，故B正確。對于C，如圖（3）,其側(cè)棱不相交于一點,故不是棱臺.對于D，如圖(4）,以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的是兩個對底的圓錐.故選:B?！军c睛】本題考查空間幾何體的識別，正確理解柱體、臺體及錐體的定義是解題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.4．C【解析】【分析】連接、，由題意結(jié)合正方體的性質(zhì)可得或其補角即為異面直線和所成的角，即可得解?！驹斀狻窟B接、，如圖：由正方體的性質(zhì)可得，則或其補角即為異面直線和所成的角,由可得，所以異面直線和所成的角的大小為.故選：C。【點睛】本題考查了正方體幾何特征的應(yīng)用及異面直線所成角的求解,考查了空間思維能力，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】【分析】本題根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系，對四個選項逐一判斷即可?！驹斀狻拷?A選項：若,，則或，所以A選項錯誤；B選項：若,,，則，所以B選項正確;C選項：若，，則或，所以C選項錯誤；D選項：若，，則或,所以D選項錯誤。故選：B?！军c睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，特別注意直線在平面內(nèi)的情況容易忽略，是中檔題。6．B【解析】【分析】逆用斜二測畫法，把水平放置的平面圖形的直觀圖還原成原來的實際圖形.【詳解】，，，,原圖形周長為8.故選：B.【點睛】本題考查斜二測畫法的運用,屬于基礎(chǔ)題。7．B【解析】【分析】根據(jù)流程圖可知該算法表示統(tǒng)計數(shù)學(xué)成績中大于等于90的人數(shù)，接下來根據(jù)莖葉圖找出成績大于等于90分的人數(shù)即可得到答案?！驹斀狻坑伤惴鞒虉D可知，其統(tǒng)計的是數(shù)學(xué)成績大于等于90的人數(shù)，所以由莖葉圖知,數(shù)學(xué)成績大于等于90的人數(shù)為10，因此輸出結(jié)果為10。故選：B.【點睛】本題考查學(xué)生對莖葉圖的認識和對算法流程圖的認識,關(guān)鍵是掌握莖葉圖的特點，是基礎(chǔ)題。8．D【解析】【分析】根據(jù)題意得到，母線長為，截面頂角為，此時截面面積最大，即可得到答案.【詳解】由題知:圓錐的軸截面是一個頂角為，母線長為，所以當截面頂角為，此時截面面積最大,.故選：D【點睛】本題主要考查圓錐截面面積問題，屬于簡單題。9．B【解析】【分析】根據(jù)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系的公理及定理，對每項逐一判斷，即可得到本題答案.【詳解】對于①，兩兩相交的三條直線，若相交于同一點，則不一定共面,故①不正確；對于②，平行四邊形兩組對邊分別平行，則平行四邊形是平面圖形，故②正確；對于③,若一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補，故③不正確；對于④，由公理可得，若，則，故④正確。故選：B【點睛】本題主要考查空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系的公理及定理的應(yīng)用。10．D【解析】分析：由高三（2）班的平均得分大于高三（1)班的平均得分,求得x取值范圍,再根據(jù)古典概形求得概率．解析：由徑葉圖可得高三（1)班的平均分為，高三（2)的平均分為，由，得10>x〉5，又，所以x可取，6，7，8，9，概率為,選D。點睛：求古典概型的概率,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù)。常常用到排列、組合的有關(guān)知識，計數(shù)時要正確分類，做到不重不漏。11．A【解析】如圖：不妨設(shè)兩個數(shù)為故如圖所示,其概率為故選12．B【解析】【分析】由正余弦定理可得,從而得，利用基本不等式可得解.【詳解】因為，由正弦定理及余弦定理得：。整理得：又,當且僅當，即時取等號.故選B.【點睛】本題主要考查了三角形的正余弦定理及基本不等式求最值,屬于中檔題。13．【解析】【分析】基本事件的總數(shù)有種，而函數(shù)有零點必須，找到滿足的種數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式計算即可.【詳解】由已知,函數(shù)解析式一共有種不同的情況,函數(shù)有零點，則相應(yīng)的一元二次方程的，即,所以有；;；；；共6種情況，由古典概型的概率計算公式可得函數(shù)有零點的概率為.故答案為：【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算,涉及到函數(shù)的零點知識，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.14．【解析】【分析】利用累加法求出的通項，再利用雙勾函數(shù)的性質(zhì)可求的最小值.【詳解】因為，，，，所以，所以，其中，又也符合，故，，，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，故的最小值可在或取得.當時,;當時，；故的最小值為，故填.【點睛】數(shù)列的最值的討論，可借助數(shù)列的單調(diào)性，也可以研究數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性，注意函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列單調(diào)性的區(qū)別.15．64【解析】【分析】根據(jù)三視圖設(shè)錐體的高為,建立等量關(guān)系，整理得，利用基本不等式即可求解.【詳解】根據(jù)三視圖，設(shè)錐體的高為，有,兩式相減，整理得:,由基本不等式可得:,當且僅當時，取得等號.所以xy的最大值為64。故答案為：64【點睛】此題考查根據(jù)三視圖特征,根據(jù)幾何體關(guān)系建立等量關(guān)系，利用基本不等式求解最值，需要注意等號成立的條件.16．①④⑤?！窘馕觥俊痉治觥俊驹斀狻糠治觯焊鶕?jù)“正余弦函數(shù)"的定義得到函數(shù)，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)分別進行判斷即可得到結(jié)論．詳解：①中，由三角函數(shù)的定義可知，所以,所以是正確的；②中,，所以,所以函數(shù)關(guān)于原點對稱是錯誤的；③中,當時,,所以圖象關(guān)于對稱是錯誤的；④中，，所以函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為，所以是正確的；⑤中,因為,令，得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,所以是正確的，綜上所述，正確命題的序號為①④⑤．點睛:本題主要考查了函數(shù)的新定義的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)函數(shù)的新定義求出函數(shù)的表達式是解答的關(guān)鍵，同時要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答額基礎(chǔ)，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．17．（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征與它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖可得其俯視圖；（2）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征得:，把數(shù)據(jù)代入面積公式求解?！驹斀狻浚?）該多面體的俯視圖如下圖所示：（2）所求多面體的表面積S==(）【點睛】本題考查俯視圖的作法,考查由三視圖求多面體的表面積的求法,注意幾何體重疊部分的處理.18．（1),中位數(shù)為；（2）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）利用頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為能求出的值，利用中位數(shù)左側(cè)矩形的面積之和為可求出該樣本年齡的中位數(shù)；(2）回訪的這人分別記為、、、、，從人中任選人,利用列舉法能求出這人所交保費之和大于元的概率．【詳解】(1），解得：.設(shè)該樣本年齡的中位數(shù)為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，解得；(2）設(shè)回訪的這人分別記為、、、、，從人中任選人的基本事件有：、、、、、、、、、，共種。事件“兩人保費之和大于元”包含的基本事件有：、、、,共種.兩人保費之和大于元的概率為?！军c睛】本題考查頻率、中位數(shù)、概率的求法，考查頻率分布直方圖、古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．19．（1）證明見解析；（2）?！窘馕觥俊痉治觥?1）設(shè)和交于點O，連結(jié),由三角形性中位線定理,我們可得，結(jié)合線面平行的判定定理,即可證明結(jié)果；（2）由（1)知,，所以異面直線與所成的角就等于與所成的角,故即為所求，解三角形即可得求出結(jié)果．【詳解】（1）證明：設(shè)和交于點O，則O為的中點,連結(jié),又因為P是的中點，故又因為平面，平面所以直線平面（2）由（1）知,,所以異面直線與所成的角就等于與所成的角，故即為所求；因為，且所以.【點睛】本題主要考查了線面平行的判定定理，以及異面直線成角的求法，屬于基礎(chǔ)題。20．（1）；（2）【解析】【分析】(1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可化為，即可求得,從而可求出數(shù)列的通項公式;（2）由可得,根據(jù)裂項相消法即可求出．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由得，所以由條件可知,故，由，得，故數(shù)列的通項公式為;（2）因為，故．∴所以數(shù)列的前n項和.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項公式的求法，裂項相消法的應(yīng)用，易錯點是通項公式拆分時的等價變形，易忘記系數(shù)，以及求和時的各項相互抵消時余下的項數(shù)，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題．21．（1）證明見解析；（2）證明見解析?！窘馕觥俊痉治觥浚?)利用中位線的性質(zhì)得出，再證明出，利用平行線的傳遞性得出，即可證明出、、、四點共面；(2）連接、，證明四邊形是平行四邊形，可得出,利用直線與平面平行