本文格式為Word版，下載可任意編輯——線性代數(shù)矩陣相關(guān)練習(xí)題

向量組的線性相關(guān)性習(xí)題課

如何正確理解線性相關(guān)（無關(guān)）的定義

判斷以下命題是否正確。假使對，加以證明；假使錯，舉出反例。

(1)若有不全為0的數(shù)?1,?2,?,?m使

?1a1????mam??1b1????mbm?0

成立,則a1,?,am線性相關(guān),b1,?,bm亦線性相關(guān).解：錯。原式可化為?1(a1?b1)????m(am?bm)?0

取a1?e1??b1,a2?e2??b2,?,am?em??bm其中e1,?,em為單位向量,則原式成立,而a1,?,am；b1,?,bm均線性無關(guān)。

(2)若向量組a1,a2,?,am是線性相關(guān)的,則其中每個向量都是其余向量的線性組合。解錯。

反例1：設(shè)a1?e1?(1,0,0,?,0)，a2?a3???am?0滿足a1,a2,?,am線性相關(guān),但a1不能由a2,?,am,線性表示.反例2：a1?(1,0,0)，a2?（?1,0,0)，a3?(0,0,1)

(3)假使向量組的一個線性組合等于零向量，那么該向量組線性相關(guān)。解：不一定。由于任何一個向量組都有一特性質(zhì)：系數(shù)全為0的線性組合一定是零向量。

若還有系數(shù)不全為零的線性組合也是零向量，則線性相關(guān)；否則線性無關(guān)。

(4)若a能表示為a??1a1????mam則向量組a1,?,am,a線性相關(guān).解：正確。

(7)若有一組不全為0的數(shù)?1,?2,?,?m使

λ1α1???λmαm?0成立,則a1,?,am線性無關(guān).

解：錯。任何一組數(shù)滿足上式才行。

(6)若?1??2????m?0時(shí)，有

λ1α1???λmαm?0成立,則a1,?,am線性無關(guān).

解：錯。將“若??〞改為“只有??〞，結(jié)論才正確。反例：a1?(1,0,0)，a2?（0,1,0)，a3?(1,1,0)，線性相關(guān)；b1?(1,0,0)，b2?（0,1,0)，b3?(0,0,1)，線性無關(guān)。

1

（5）若向量b不能由向量組a1,?,am線性表出，則向量組b,a1,?,am線性無關(guān)。解：不一定。反例1：a1?(0,0,0)，a2?（1,1,1)，b?(1,0,0)，線性相關(guān)；

（1,1,1)，b?(1,0,0)，線性無關(guān)。反例2：a1?(0,1,0)，a2?正確命題為：假使a1,?,am線性無關(guān)，且向量b不能由向量組a1,?,am線性表出，則向量組b,a1,?,am線性無關(guān)。

其逆否命題為：設(shè)a1,?,am線性無關(guān)，而向量組b,a1,?,am線性相關(guān)，則

B可由a1,?,am線性表出，且表示法唯一。

（8）若零向量只能用唯一的方式表示成向量組a1,?,am的線性組合，則a1,?,am線性無關(guān)。解：正確。

（9）若只有當(dāng)?1,?2,?,?m全為0時(shí),等式

?1a1????mam??1b1????mbm?0

才能成立,則a1,?,am線性無關(guān),b1,?,bm亦線性無關(guān).解：由?1a1????mam??1b1????mbm?0(僅當(dāng)?1????m?0)

?a1?b1,a2?b2,?,am?bm線性無關(guān)，但若取a1?a2???am?0取b1,?,bm為線性無關(guān)組

滿足以上條件,但不能說是a1,a2,?,am線性無關(guān)的.

(10)若a1,?,am線性相關(guān),b1,?,bm亦線性相關(guān),則有不全為0的數(shù),?1,?2,?,?m使

?1a1????mam?0,?1b1????mbm?0

同時(shí)成立.解：a1?(1,0)Ta2?(2,0)Tb1?(0,3)Tb2?(0,4)T

?1a1??2a2?0??1??2?2??3???1??2?0與題設(shè)矛盾.

?1b1??2b2?0??1???2?4?

如何證明兩向量組等價(jià)1.根據(jù)等價(jià)的定義證之。

2

例1：向量組與其最大無關(guān)組等價(jià)。

例2：兩等價(jià)的向量組中分別任取一個最大無關(guān)組，證明這兩個最大無關(guān)組等價(jià)。

例3：設(shè)向量b可由向量組a1,?,ar線性表出，但b不能由向量組a1,?,ar?1線性表出，試證向量組（I）a1,?,ar與向量組（II）a1,?,ar?1，b等價(jià)。

2.對于具體兩向量組，可利用初等變換，證明它們等價(jià)。

方法：先對（I，II）進(jìn)行初等行變換，將I化為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，看II是否能被I表示；再地（II，I）進(jìn)行初等行變換，將II化為標(biāo)準(zhǔn)形，看I是否能被II表示。

如何證明向量組相關(guān)（或無關(guān)）

1．設(shè)b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a4,b4?a4?a1,證明向量組

b1,b2,b3,b4線性相關(guān).

證明設(shè)有x1,x2,x3,x4使得x1b1?x2b2?x3b3?x4b4?0則

x1(a1?a2)?x2(a2?a3)?x3(a3?a4)?x4(a4?a1)?0(x1?x4)a1?(x1?x2)a2?(x2?x3)a3?(x3?x4)a4?0(1)若a1,a2,a3,a4線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)k1,k2,k3,k4,k1?x1?x4;k2?x1?x2;k3?x2?x3;k4?x3?x4;

由k1,k2,k3,k4不全為零,知x1,x2,x3,x4不全為零,即b1,b2,b3,b4線性相關(guān).

?x1?x4?0?1001??x1???????x1?x2?0?1100??x2?(2)若a1,a2,a3,a4線性無關(guān),則????0????x2?x3?0?0110??x3??0011??x??x?x?0???4?4?310011100由?0知此齊次方程存在非零解01100011則b1,b2,b3,b4線性相關(guān).

綜合得證.

2．設(shè)b1?a1,b2?a1?a2,?,br?a1?a2???ar,且向量組

a1,a2,?,ar線性無關(guān),證明向量組b1,b2,?,br線性無關(guān).證明設(shè)k1b1?k2b2???krbr?0，則

(k1???kr)a1?(k2???kr)a2???(kp???kr)ap???krar?0因向量組a1,a2,?,ar線性無關(guān),故

3

?k1?k2???kr?0?k2???kr?0???????????kr?0?1??1?1??1??k1??0????????01?1??k2??0??????????????

?????0?01?????k?????r??0?01?1由于?1?0故方程組只有零解

????0?01則k1?k2???kr?0所以b1,b2,?,br線性無關(guān)

3．設(shè)a1,a2,?,an是一組n維向量,已知n維單位坐標(biāo)向量e1,e2,?,en能由它們線性表示,證明a1,a2,?,an線性無關(guān).證明n維單位向量e1,e2,?,en線性無關(guān)不妨設(shè):

e1?k11a1?k12a2???k1nane2?k21a1?k22a2???k2nan

????????????en?kn1a1?kn2a2???knnanTT?e1??k11k12?k1n??a1??T????T??e2??k21k22?k2n??a2?所以?????????????????????aT??eT??kk?kn2nn??