本文格式為Word版，下載可任意編輯——江元生《結(jié)構(gòu)化學(xué)》答案chapter1第一章量子理論

xx????1.說(shuō)明a(x,t)?a0cos?2?(??t)?及a(x,t)?a0sin?2?(??t)?都是波動(dòng)方程

???????2a(x,t)1?2a(x,t)的解。?2?x2c?t2提醒：將a(x,t)代入方程式兩端，經(jīng)過(guò)運(yùn)算后，視其是否一致。解：利用三角函數(shù)的微分公式

x??a(x,t)?a0co?s2?(??t)?代入方程：

?????sin(ax)?acos(ax)和cos(ax)??asin(ax)，將

?x?x?2x???x?????左邊?2a0cos?2?(??t)??a0cos2?(??t)?????x??x??x???????a0??2?x?????sin2?(??t)?????x???????2x?2??????a0??cos?2?(??t)???????1?2xx??a0??????右邊?22a0cos?2?(??t)??2?cos?2?(??t)??c?t????c?t??t???a0??x????2??sin2?(??t)?2???c?x??????a0x??2???2cos???22?(??t)??c????x??對(duì)于電磁波c???，所以a(x,t)?a0cos?2?(??t)?是波動(dòng)方程的一個(gè)解。

???x??對(duì)于a(x,t)?a0sin?2?(??t)?，可以通過(guò)類(lèi)似的計(jì)算而加以證明：

????2xx???2????左邊?2a0sin?2?(??t)???a0??sin?2?(??t)?

?x?????????2a01?2xx????2???2sin?右邊?22a0sin?2?(??t)???22?(??t)??c?t?c?????

2.試根據(jù)Planck黑體輻射公式，推證Stefan定律：I??T4，給出?的表示式，并計(jì)算它的數(shù)值。

提醒：E??0E(?)d?,I=cE/48?h?3解：將E(?)d??c3?8?h?3?1??h?kT?d?代入上式，E??0e?1c3????1??h?kT?d?e?1??作變量代換x?h?/kT后，上式變?yōu)椋?/p>

Chapter11

8?h?kT?E?3??c?h?4??08?h?kT??48?5k4T4?1?x?x???dx?3?c?h?1515c3h3?e?1?34cc8?5k4T42?5k4T4I?E???5.67?10?8W?m?2?K?433234415ch15ch

3.說(shuō)明在長(zhǎng)波?低頻?區(qū)域??=0?，Planck公式還原為Rayleigh-Jeans公式。提醒：應(yīng)用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)eh?kT。

解：在長(zhǎng)波?低頻?區(qū)域??=0?，可將eh?kT用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)至一階，

eh?kT?1?h?kT

并代入Planck公式即可得Rayleigh-Jeans公式，8?h?3?1?8?h?3kT8?kT?2E(?)d??d??d???d??c3?eh?kT?1?c3h?c3

4.試通過(guò)對(duì)能量密度函數(shù)求極值，推導(dǎo)出Wien位移定律?maxT?b,

b?hc/5k?2.9?10?3m?K。

解：此題正確求解的關(guān)鍵是必需明確以波長(zhǎng)為變量求得的最大能量密度及波長(zhǎng)?max和以頻率為變量求得的最大能量密度及頻率?max無(wú)對(duì)應(yīng)關(guān)系:c=??max?max.現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)物理量分別計(jì)算如下:(1)求?max8?h?3根據(jù)能量密度函數(shù)的表示式E(?)d??c3dE(?)d?8?h?3?1???????d?d??c3?eh?kT?1???8?hd?????c3d??eh?kT?1?c3?eh?kT?1?8?h?2h?h?kT??h?kT???33e?1?e??2c?eh?kT?1??kT?3?1??h?kT?d?得到,e?1????e8?hh?kT?1?3?2??3hh?kTekT2當(dāng)上述微分為零時(shí)能量密度函數(shù)取極值(可以證明,取極大值.),即:

8?h?2h?h?kT??h?kTc3?eh?kT?1?2?3?e??1??kTe??0?

?=0為平庸根,另一個(gè)根由下述方程得到:

h?h?kTh?kT3?e?1??kTe?0.

令x?h?,上述方程變換為:3(ex-1)-xex=0kT通過(guò)迭代求解,可得兩個(gè)根x=0,x=2.82.從而得到關(guān)系式

Th.??max2.82k(2)求?max

先將能量密度的表示式變換為波長(zhǎng)的函數(shù):

Chapter12

d??8?h??c?d(c/?)E(?)d???3???hc/kT??8?hc5??E(?)d?

?1?(1?ehc/kT?)?c????e3對(duì)E(?)求極值:

dE(?)d??8?hc???5(1?ehc/kT?)?1?d?d???hc???ehc/kT?????8?hc??5??6(1?ehc/kT?)?1???5(1?ehc/kT?)?2???2?kT???????6hchc/kT???hc/kT??8?hc5(1?e)?e??(1?ehc/kT?)2?kT??極值條件為上式等于零.再令y?hc,得到:kT?5(ey-1)-yey=0

迭代求得:y=0,y=4.965.

y=0為平庸根,y=4.965時(shí),E(?)取極大值(可以證明),故而,?maxT?hc/ky?hc/4.965k.

(3)綜合上述兩個(gè)結(jié)果,簡(jiǎn)單發(fā)現(xiàn)?max?max不等于光速c.

5.計(jì)算以下波長(zhǎng)的一個(gè)光子和1mol光子的能量：?a?600nm?紅?,?b?550nm?黃?,?c?400nm?藍(lán)?,?d?200nm?紫外?,?e?150pm?X射線(xiàn)?,?f?1cm?微波?。

解：此題用到的長(zhǎng)度單位變換為：1m?102cm?106μm?109nm?1012pm。

一個(gè)光子的能量為：E?h??hc?，而1mol光子的能量為：Emol?N0h??N0hc?。這里N0是Avogadro常數(shù)，h是Planck常數(shù),c是光速，?是波長(zhǎng)。對(duì)與此題的各種波長(zhǎng)，代入以上公式得：

?a?E?2.07eV，Emol?199.38kJ；?b?E?2.25eV，Emol?217.50kJ；?c?E?3.10eV，Emol?299.07kJ；?d?E?6.20eV，Emol?598.14kJ；?e?E=8.26×103eV,Emol=7.975×105kJ；?f?E=1.24×10?4eV,Emol=1.20×10-2kJ。

6.用波長(zhǎng)為750nm,500nm,200nm的光照射以下金屬的表面：Na?2.3eV?,K?2.2eV?,Cs?2.1eV?,W?4.5eV?。括號(hào)中的數(shù)值是該金屬的功函數(shù)，請(qǐng)估計(jì)光電子發(fā)射時(shí)，每種狀況的電子動(dòng)能。解：光電子發(fā)射時(shí)，電子動(dòng)能Ek?hc???，這里?是金屬的功函數(shù)。代入此題的波長(zhǎng)

和功函數(shù)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表：

—————————————————————————————NaKCsW

—————————————————————————————?=750無(wú)發(fā)射無(wú)發(fā)射無(wú)發(fā)射無(wú)發(fā)射?=5000.18eV0.28eV0.38eV無(wú)發(fā)射?=2003.90eV4.00eV4.10eV1.70eV—————————————————————————————

Chapter13

7.測(cè)量光電子的動(dòng)能，把它看作入射光頻率的函數(shù)。在波長(zhǎng)為625nm時(shí)，動(dòng)能為0.2eV；在波長(zhǎng)為416nm時(shí)，動(dòng)能為1.2eV；在312nm時(shí)，動(dòng)能為2.2eV。計(jì)算此金屬的功函數(shù)，能否通過(guò)這些數(shù)據(jù)，確定Planck常數(shù)，試給出h的數(shù)值。解：

此題中h作為未知量出現(xiàn)。據(jù)公式Ek?hc???，將第一組和其次組數(shù)據(jù)代入公式并將

公式中的每一項(xiàng)的能量單位都換成eV，得到一方程組，

?0.2?1.036?10?5N0hc625?10?9????5?91.2?1.036?10Nhc416?10??0?從這個(gè)方程組可得h?6.6512?10?34J?s和??1.79eV。利用這兩個(gè)參數(shù)和第三組數(shù)據(jù)可驗(yàn)證所得結(jié)果正確。

8.計(jì)算以下?tīng)顩r下得deBroglie波長(zhǎng)：?a?速度為10m/s的氫原子；

?b?能量為0.05eV和5?106eV的自由電子；?c?能量為0.05eV的氙原子。

解：粒子的deBroglie波長(zhǎng)為??=h/p。

?a?H的原子量為1.007825,原子質(zhì)量單位1.6605655×10?27kg，所以??6.62618?10?34J?s?1.007825?1.6605655?10?27kg?103m/s??3.959?10?10m

13?b?1eV=1.6022×10?31J，電子質(zhì)量為9.10953×10?31kg。自由電子的波長(zhǎng)和能量的關(guān)系為

??h2meE，將數(shù)據(jù)代入公式并統(tǒng)一單位得，

對(duì)于能量為0.05eV的自由電子，?=5.485×10?9m；對(duì)于能量為5×10?eV的自由電子，?=5.485×10?13m?c?Xe的原子量為

9.微粒子發(fā)生衍射現(xiàn)象的條件是孔徑尺寸要與波長(zhǎng)相當(dāng)。今有動(dòng)能102~105eV的電子，試論當(dāng)孔徑直徑為10?6m?普通光柵?時(shí)，能否觀(guān)測(cè)到衍射現(xiàn)象。解：

1eV=1.6022×10?31J，電子質(zhì)量為9.10953×10?31kg。自由電子的波長(zhǎng)和能量的關(guān)系為

??h2?10

2meE。對(duì)于動(dòng)能為10eV的自由電子，?=1.226×10m；

對(duì)于能量為105eV的自由電子，?=3.878×10?12m。所以動(dòng)能為102~105eV的電子不能在普通光柵上觀(guān)測(cè)到衍射現(xiàn)象。

10.試將兩個(gè)正弦波a1(x,0)?a0sink1x，a2(x,0)?a0sink2x疊加，導(dǎo)出測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系?x?p?h。解：將兩個(gè)正弦波疊加后，利用和角公式得，

?k?k2A(x,0)?a1(x,0)?a2(x,0)?2a0sin?1?2

??k?k2x?cos?1??2?x??Chapter14

在x?0附近，當(dāng)x???k1?k2,0,?k1?k2時(shí)，A(x,0)?0。此時(shí)坐標(biāo)范圍為?x??k1?k2，動(dòng)

量范圍為?p?p1?p2?h/?1?h/?2?

h(k1?k2)，從而可得?x?p?h/2?。2?11.試說(shuō)明?(x,t)?ei(?kx?2??t)中得任何一個(gè)函數(shù)都是波動(dòng)方程的解,且滿(mǎn)足定態(tài)要求?(x,t)?2?(x,t)k2??(x,t)與時(shí)間無(wú)關(guān)。它們也是另一形式波動(dòng)方程得解：，請(qǐng)驗(yàn)證。???x2i2???t2解：將?(x,t)?ei(?kx?2??t)代入方程：

?2i(?kx?2??t)左邊?2e?(?ik)2ei(?kx?2??t)??k2ei(?kx?2??t)

?x2k?i(?kx?2??t)?k??i(?kx?2??t)2?右邊??e?(?i2??)??k2ei(?kx?2??t)???e2?2??t??t?2??t?22?2?(x,t)?k??2?(x,t)i(?kx?2??t)??故?(x,t)?e是，且?2?x22???t??2?(x,t)?ei(?kx?2??t)?e?i(?kx?2??t)?1，與時(shí)間無(wú)關(guān)，是該波動(dòng)方程的定態(tài)解。

2k2??(x,t)?2?(x,t)k2??(x,t)?k???(x,t)??又由于?，所以的解。????t2i2???t?x2i2???t?2???22

?2?(x,t)k2??(x,t)12.說(shuō)明cos?kx?2??t?和sin?kx?2??t?中的任何一個(gè)函數(shù)都不是???x2i2???t的解，也不符合定態(tài)要求，試推證之。

解：將cos?kx?2??t?代入方程，

?2左邊?2cos?kx?2??t???k2cos?kx?2??t?

?xk2?k2??右邊??cos(kx?2??t)??????2???cos(kx?2??t)?k2cos(kx?2??t)所以

i2???t?i2????2?(x,t)k2??(x,t)cos?kx?2??t?不是的解。并且???x2i2???tcos?kx?2??t??2cos2?kx?2??t??1是時(shí)間的函數(shù)，所以cos?kx?2??t?也不符合定態(tài)要求。

2對(duì)sin?kx?2??t?同理可證。

13.寫(xiě)出氫原子中電子的波動(dòng)方程。解：

??(x,y,z,t)?2??2?(x,y,z,t)?2?(x,y,zt)ih?t???2me??z2??y2?2?(x,y,zt)?e2????(x,y,z,t)

?z2?r其中右邊第一項(xiàng)為動(dòng)能項(xiàng)，其次項(xiàng)為核與電子的靜電相互作用項(xiàng)。

Chapter15

14.試問(wèn)e解：?a??b??c??d??e?

ikx,coskx,k,kx及e?kx中哪些是

2df?af的本征函數(shù)，本征值a為多少。dxdikxe?ikeikx。eikx是該方程的一個(gè)本征函數(shù)，本征值a?ik。dxdcoskx??ksinkx。coskx不是該方程的本征函數(shù)。dxdk?0。k是該方程的一個(gè)本征函數(shù)，本征值a?0。dxdkx?k。kx不是該方程的本征函數(shù)。dxd?kx?kx2不是該方程的本征函數(shù)。e??2kxekx。edx2215.已知?jiǎng)恿克惴鹥x??i?2dikx，試求以下各波函數(shù)所代表的粒子動(dòng)量平均值，?a?e，dx?b?e?kx，?c?coskx，其中???x??。

d?(x)dx?(x)px?(x)dx?dx。???i????(x)?(x)dx?(x)?(x)dx??????(x)解：動(dòng)量平均值px?ikx?e?a?px???i?dikxedxe?ikxeikxdx?dx??i??ik?ikxikx??k?ikxikxeedx??eedxd?kxedxxe?2kxdx12k?dx??2i?k??2i?k??i?2?k?kx?2kxe?kxdxedx12?k?22222?b?px?e??i??e?kx2?c?px

dcoskxdxcoskxsinkxdx?dx???i???i?k?0

?coskxcoskxdx?coskxcoskxdx?coskx16.求一維勢(shì)箱粒子的x2值。解：一維勢(shì)箱粒子的本征函數(shù)為：

?2n?x??n(x)?sin,0?x?L(n?1,2,3,?)?LL???n(x)?0,x?0,x?L2L22n?x2?L?n?22L2x??0xsindx??xsinxdx?33?LLL?n???0n?L2n?2L2n?2L2L2?33?0xdx?33?0xcos2xdx??n?n?32n2?223?n?0x2?1?cos2x?dx

17.一個(gè)電子被限制在0.1nm的一維箱中，試估計(jì)其動(dòng)量?及速度?的不確定范圍。解：根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理?x?p?h，電子被限制在箱中，其位置的不確定性可以認(rèn)為是箱的

Chapter16

大小。則

?p?h/?x?6.62618?10?34J?s/0.1nm?6.62618?10?24kg?m/s

電子質(zhì)量為9.10953?10?31kg，則

6.62618?10?24kg?m/s?v??p/me??7.3?106m/s-319.10953?10kg

18.試以一維勢(shì)箱運(yùn)動(dòng)為模型，探討己三烯的?電子成鍵。解：

?2n?x??n(x)?sin,0?x?L(n?1,2,3,?)?LL???n(x)?0,x?0,x?L下圖所示為己三烯鏈上的電荷分布狀況三個(gè)最高峰分別出現(xiàn)在第一,第三,第五個(gè)C-C

鍵上,說(shuō)明上述三個(gè)鍵為雙鍵,其余為單鍵.三個(gè)雙鍵中,中間的雙鍵的電荷分布較小,說(shuō)明這個(gè)雙鍵的強(qiáng)度小于邊上的雙鍵.

19.一維勢(shì)箱的長(zhǎng)度有L變?yōu)長(zhǎng)m(m?2,3,4,?)時(shí)，箱中粒子的能級(jí)和波函數(shù)會(huì)發(fā)生什么變化？

n2h2解：處于一維勢(shì)箱中粒子的能級(jí)和波函數(shù)為En?和

8ML2?2n?x??n(x)?sin,0?x?L(n?1,2,3,?)?LL???n(x)?0,x?0,x?Lm2n2h2當(dāng)勢(shì)箱的長(zhǎng)度縮短時(shí)，其能級(jí)和波函數(shù)分別變?yōu)镋n?和

8ML2?2mmn?x??n(x)?sin,0?x?L/m(n?1,2,3,?)。?LL???n(x)?0,x?0,x?L/m其能級(jí)間隔將變大而波函數(shù)的形式并不發(fā)生變化，但波函數(shù)振幅變大。

20.請(qǐng)用分開(kāi)變數(shù)方法將三維勢(shì)箱中粒子的波動(dòng)方程化為三個(gè)一維勢(shì)箱中的方程。解：三維勢(shì)箱中粒子的波動(dòng)方程為：

????(x,y,z)?E?(x,y,z)?設(shè)?(x,y,z)??(x)?(y)?(z)，并代入以上方程，

Chapter17

?2??2?2?2?2?2?2?2m??y?z??x????(x)?(y)?(z)?E?(x)?(y)?(z)?方程兩端同時(shí)除以?(x)?(y)?(z)得，

?2??2?2?2??2?2?22m??y?z??x1?2?(x)1?2?(y)1?2?(z)????2mE/?2222?(x)?x?(y)?y?(z)?z方程左端每一項(xiàng)只含一個(gè)變量，且三個(gè)變量是無(wú)關(guān)的，所以每一項(xiàng)都等于一個(gè)常數(shù)。設(shè)這三個(gè)常數(shù)為?2mEx/?2，?2mEy/?2和?2mEz/?2，且E?Ex?Ey?Ez，則三維勢(shì)箱中粒子的波動(dòng)方程化為三個(gè)一維勢(shì)箱中的方程，

?2?2?(x)?2?2?(z)?2?2?(y)??Ex?(x)，??Ez?(z)。?Ey?(y)和?2m?x22m?z22m