小結(jié)思考題作業(yè)研究下列兩個(gè)基本問(wèn)題(1)已知一個(gè)曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)，建立(2)已知坐標(biāo)x,y,z之間的一個(gè)方程時(shí)研究這方程所表示的曲面的形狀。球面方程.0所求方程為特殊球心在原點(diǎn)的球面方程3研究空間曲面有研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面，稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸。此曲線稱(chēng)母線.曲面及其方程7即為yOz坐標(biāo)面上的已知曲線，f(y,z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程。坐標(biāo)面上的已知曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為一個(gè)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以這樣得到：曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動(dòng)，而用另兩個(gè)的變量的平方和的平方根(加正、負(fù)號(hào))替代曲線方程中另一個(gè)變量即可。9例直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面稱(chēng)為圓錐面.兩直線的交點(diǎn)稱(chēng)為兩直線的夾角α稱(chēng)為圓錐面的半頂角.試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,旋轉(zhuǎn)軸為z軸，半頂角為α的圓錐面的方程.解yOz面上直線方程為圓錐面方程圓錐面方程z=±X2+y2cotO兀即圓錐面方程2(用得較多)yOz面上直線方程為y=zcotα軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程及圖形.例將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成(1)雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)繞x軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面0-5-50旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面(2)yOz坐標(biāo)面上的橢圓表示((A)xOz平面上曲線繞(B)xOz平面上直線繞(C)yOz平面上直線繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；(D)yOz平面上曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得曲面。線L線L定義平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線C稱(chēng)為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L稱(chēng)為柱面的母線。現(xiàn)在空間直角坐標(biāo)系中討論問(wèn)題設(shè)點(diǎn)M.)的坐標(biāo)也滿足方程x2+y2=R2,沿曲線C,平行于z軸的一切直線所形成的曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程，此曲面稱(chēng)為圓柱面.就是圓柱面方程.母線平行于z軸的柱面。。。拋物柱面實(shí)例實(shí)例從柱面方程看柱面的特征： 只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0,在空間直角坐標(biāo)系中表示平行于z軸的柱面，其準(zhǔn)線為xOy面上的曲線C.(其他類(lèi)推)橢圓柱面拋物柱面母線平行于x軸母線平行于z軸母線平行于y軸1.二次曲面的定義三元二次方程所表示的曲面稱(chēng)為二次曲面.+my+nz+q=0即為二次曲面其中均為常.雙曲柱面等)都是二次曲面.相應(yīng)地平面被稱(chēng)為一次曲面?，F(xiàn)只研究幾種常見(jiàn)的二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程。稱(chēng)為二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程。研究的方法是采用截痕法.即用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線的全貌。以下用截痕法討論上面幾種特殊的二次曲面。2.橢球面(橢圓面)X2Y2Z2這說(shuō)明橢球面包含在由平面x=±a,y=±b,z=±c圍成的長(zhǎng)方體內(nèi)。2+2=1先考慮橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的截痕：這些截痕都是橢圓。再用平行于xOy面的平面z=z?(0<z去截這個(gè)曲面，所得截痕的方程是這些截痕也都是橢圓。曲面及其萬(wàn)程x2+y2+22=1Q2b2C2同理，與平面x=x?,y=y,的截痕也是橢圓.橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化。橢球面的幾種特殊情況：X2y2十+=1旋轉(zhuǎn)橢球面方程可寫(xiě)為旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：與平面z=z,(lzKc)的交線為圓。截面上圓的方程方程可寫(xiě)為橢圓拋物面elliptic(al)paraboloid(1)用平面x0用平面(1)用平面x0原點(diǎn)叫做橢圓拋物面的頂點(diǎn).(2)用坐標(biāo)面xOz(y=0)去截這曲面，截痕為拋物線.用平面y=y,去截這曲面，截痕為拋物線。它的軸平行于乙軸頂點(diǎn)(3)用坐標(biāo)面yOz(x=0)及平面x=x.1去截這曲面，截痕為拋物線。同理當(dāng)p<0,q<0時(shí)可類(lèi)似討論。橢圓拋物面的圖形如下：p<0,q<0p>0,q>0p<0,q<0特殊地(由xOz面上的拋物線(由xOz面上的拋物線x2=2pz繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的)用平面z=z(z>0)去截這曲面，截痕為圓(～10)分口當(dāng)乙變動(dòng)時(shí)，這種圓X2十y2=z(p2p2q與q同號(hào))雙曲拋物面什么曲面?馬鞍面X2十y262=1單葉雙曲面(unipartedO.2b2C2hyperboloid)十乙亦表示單葉雙曲面。想想以上兩方程的圖形是與此圖形一樣嗎?或X2y2+ 雙葉雙曲面(bipartedhyperboloid)X2y20L2b202b2(亦表示雙葉雙曲面。Z.2=1X以上兩方程的圖形是與此圖形一樣嗎則方程表示的曲面為橢圓地物面雙曲拋物面(馬鞍面)它的對(duì)稱(chēng)軸在y軸上。是雙葉雙曲面，方程z2=3x2+4y2所表示的曲面是橢圓錐面。曲面方程的概念柱面的概念(母線、準(zhǔn)線);橢球面、拋物