以文專升本案例解析習(xí)題1-11.求下列函數(shù)的定義域：xx2111x2(1)y;y(2)x2；(3)ysinx16x2；(4)ylg(2x)32xx2.x1解：⑴要使式子有意義，x必須滿足x210，由此解得，因此函數(shù)的定義域是(,1)(1,1)(1,)。1x0,x1,2⑵要使式子有意義，x必須滿足即因此函數(shù)的定義域是x20,x2,[2,1)(1,1)(1,。)sinx0,2kx(2k1),因此函數(shù)的定義域⑶要使式子有意義，x必須滿足16x20,4x4,即是[4,][0,]。2x0,x2,⑷要使式子有意義，x必須滿足32xx20,1x3,因此函數(shù)的定義域是即[1,2)2.判斷下列各組函數(shù)是否相同?x42lgx(1)y，；(2)y1，y2lgx,yx22x2221ysin2x1，usin2t1；(4)fx1,gxsec2xtan2x．(3)y(,2)(2,)yR，但是的定義域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域2解：(1)因?yàn)榈亩x域是1不同，所以兩個(gè)函數(shù)不同。y(,0)(0,)y(0,)，但是的定義域是，兩個(gè)函數(shù)的2(2)因?yàn)榈亩x域是1定義域不同，所以兩個(gè)函數(shù)不同。(3)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同，所以兩個(gè)函數(shù)相同。f(x)Rg(x)(4)因?yàn)榈亩x域是，但是的定義域是2數(shù)的定義域不同，所以兩個(gè)函數(shù)不同。3.若fxx23x2f1，求，fx1.f10fx1(x1)23(x1)2x25x6解：，以文專升本案例解析fx1x23x2fxfx14.若，求,.3t12t5t6，x1txt1ftt1解：令.則,從而22fxx25x6，所以fx1(x1)25(x1)6x27x12。1x1fx5.設(shè)f(x)1xf0fx，求，，。111x1x1f()11xx1x1。xf(0)1f(x)解：，，xx1,2x0,6.設(shè)f(x)x1,0x2，求f（1）,f（）,f（）,f（x1）.解：f(1)112，f(0)011，f(1)112f(x1)(x1)1,2x10x2,1x1(x1)1,0x12x,1x37．作出下列函數(shù)的圖形：x1,0x2;x4y1x2(1)y；（2）；(3)fxx20,x0或x2.8.某運(yùn)輸公司規(guī)定貨物的噸公里運(yùn)價(jià)為:在a公里以內(nèi),每公里k元,超過(guò)部分公里為k元.求運(yùn)價(jià)m和里程s之間的函數(shù)關(guān)系.34ks,0sa,ks,0sa,解：由題意可得m33ks1ka,sa4kak(sa),sa449.火車站收取行李費(fèi)的規(guī)定如下：當(dāng)行李不超過(guò)50千克時(shí)，按基本運(yùn)費(fèi)計(jì)算.如從上海到某地每千克以0.15元計(jì)算基本運(yùn)費(fèi)，當(dāng)超過(guò)50千克時(shí)，超重部分按每千克0.25元收費(fèi).試求上海到該地的行李費(fèi)y（元）與重量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫(huà)出函數(shù)的圖像.解：由題意可得y0.15500.25(x50),x500.15x,0x50,0.15x,0x50,0.25x5,x50習(xí)題1-21.指出下列函數(shù)中哪些是奇函數(shù)，哪些是偶函數(shù)，哪些是非奇非偶函數(shù)？exex(1)fxx3cosx；(2)y；2以文專升本案例解析.(4)fxsinxexex（3）ysinxcosx(,)，解：(1)fxx3cosx的定義域是fx(x)3cos(x)x3cosxfx，fx是奇函數(shù)。exex(2)y的定義域是(,)，2exeexex(x)y，是偶函數(shù)。22(,)⑶ysinxcosx的定義域是，y(x)y(x)，且y(x)y(x)，y既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。(,)(4)fxsinxexex的定義域是，fxsin(x)exe(x)sinxexexfx，fx是奇函數(shù)。2.設(shè)下列函數(shù)的定義域均為,(a,a)證明：(1)兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；(2)兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)，一奇一偶的乘積為奇函數(shù)；(3)任一函數(shù)都可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和.證明：(1)設(shè)fx、gx是奇函數(shù)，令Fxf(x)g(x)，fx、gx是奇函數(shù)，即f(x)f(x),g(x)g(x)，F(xiàn)xf(x)g(x)f(x)[g(x)][f(x)g(x)]F(x)，因此兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)。設(shè)fx、gx是偶函數(shù)，令Fxf(x)g(x)，fx、gx是偶函數(shù)，即f(x)f(x),g(x)g(x)，F(xiàn)xf(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，因此兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)。(2)設(shè)fx、gx是奇函數(shù)，令Fxf(x)g(x)，fx、gx是奇函數(shù)，即f(x)f(x),g(x)g(x)，F(xiàn)xf(x)g(x)[f(x)][g(x)]f(x)g(x)F(x)，因此兩個(gè)奇函數(shù)的積為偶函以文專升本案例解析數(shù)。設(shè)fx是奇函數(shù)，gx是偶函數(shù)，令Fxf(x)g(x)，fx是奇函數(shù)，gx是偶函數(shù)，即f(x)f(x),g(x)g(x)，F(xiàn)xf(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，因此一奇一偶的乘積為奇函數(shù)。(3)設(shè)f(x)是任一函數(shù)，令g(x)1[()fxf(x)]，h(x)1[f(x)f(x)]，22g(x)1{f(x)f[(x)]}1[f(x)f(x)]g(x)，即g(x)是偶函數(shù)22h(x)1{f(x)f[(x)]}1[f(x)f(x)]1[f(x)f(x)]h(x)，即h(x)是奇222函數(shù)，又f(x)g(x)h(x)，任一函數(shù)都可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和。x1x(1,)3.證明函數(shù)y在內(nèi)是單調(diào)增加的函數(shù)..(1,)xx,則12證明：在內(nèi)任取兩點(diǎn)任取兩點(diǎn),,且xx12x1x2xx12f(x)f(x)1x1x(1x)(1x)121212(1,)1x0,1x0,12因?yàn)?是內(nèi)任意兩點(diǎn),所以xx12又因?yàn)閤x0,故f(x)f(x)0，即f(x)f(x)121212x()fx在(1,)內(nèi)是單調(diào)增加的.所以1x4.設(shè)函數(shù)f(x)是周期T的周期函數(shù)，試求函數(shù)f(2x3)的周期.解：因?yàn)閒(x)是周期T的周期函數(shù)，所以f(2x3T)f(2x3)，即f(2(xT)3)f(2x3)，因此Tf(2x3)的周期。225．已知函數(shù)f(x)的周期為2，并且0,1x0;x,0x1.fx試在(,)上作出函數(shù)的圖形.yf(x)6．驗(yàn)證函數(shù)()在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)無(wú)界，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有界.fxx1(1,2)以文專升本案例解析1M11M0，存在x(0,1)，使得f(x)M1M，所以()fxx解：因?yàn)閷?duì)任意00(0,1)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)無(wú)界。11因?yàn)椋?，?f(x)11x2(1,2)f(x)，因此在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有界。12x2習(xí)題1-31.求下列函數(shù)的反函數(shù)及其定義域：1x1x(1)y；(2)y23x1；210x10x1．10x10xx（3）y；(4)y21x1x1x1y1xy1x解：(1)由y解得，故所求反函數(shù)為，x1y反函數(shù)的定義域?yàn)?,1)(1,)。x(logy1)，故所求反函數(shù)為y1(logx1)，1(2)由y23x1解得3333(0,)反函數(shù)的定義域?yàn)椤?yy1yy1x2xxlogylogx12x（3）由y解得，可得，故所求反函數(shù)為，212x(0,1)反函數(shù)的定義域?yàn)椤?10x2102x1xlg10x10x102x12y2(,0)(2,)y(4)由y10x10x1解得y，可得，10x10x1xylg，反函數(shù)的定義域?yàn)椤９仕蠓春瘮?shù)為2x2x1fx2x31和gx3互為反函數(shù).2.證明：2y1x1證明：設(shè)y2x31，由此式可得x3，故y2x1的反函數(shù)是y3，322x1fx2x31和gx3因此互為反函數(shù)。23.已知符號(hào)函數(shù)1,x0sgnx0,x0,求y(1x2)sgnx的反函數(shù).1,x0以文專升本案例解析1x2,x0解：由題意可得y(1x2)sgnx0,x0,(1x2),x0y1,y1x0,y1,由此式可解得(1y),y1x1,x1故y(1x2)sgnxy0,x1。的反函數(shù)為(1x),x14.指出下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程?ycosx12．(1)y2；(2)ylgx1sinx2；(3)解：(1)y2sixny2usinx由，復(fù)合而成。u(2)ylgx1由ylgu,ux21復(fù)合而成。2ycosx1yu,ucosv,vx1復(fù)合而成。(3)2由2ffxx5.設(shè)fxx1,求。x1xf(x)x1xffxf(x)1x1。解：xx116.設(shè)函數(shù)x2,x1f(x)x,x1,x2,x1f2x1求的表達(dá)式.(2x1)2,2x112x3,x1f2x12x1,1x0。(2x1),2x11解：=(2x1)2,2x112x1,x01,x17.設(shè)f(x)0,x1,g(x)2x，求f(g(x))，g(f(x)).1,x1以文專升本案例解析1,g(x)11,2x11,x0解：f(g(x))0,g(x)10,2x1f(x)0,x0，1,g(x)11,2x11,x02,x1g(f(x))2f(x)1,x1。1,x12習(xí)題1-41.求下列函數(shù)的定義域：(1)yarccos3x2；y3arccosx1;（2）2x1（3）f(x)ln(x1)arcsin；3（4）f(x)ln(1x2)tan2x13arccos32x解：(1)要使表達(dá)式有意義，只須13x21，解得x，故1y的1[,1]定義域是。3(2)要使表達(dá)式有意義，只須，解得，故y3arccosx的定11x110x2[0,2]義域是。x1021，解得，故f(x)的定義域是1x2(3)要使表達(dá)式有意義，只須x311(1,2]。1x20得且x，故f(x)的定義1x1，解4(4)要使表達(dá)式有意義，只須2xk2域是(1,)(,)(,1)。44442.將下列函數(shù)分解成簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合.(1)ylnlnlnx(2)ylnsin2x;以文專升本案例解析(3)yearctanx2;(4)ycos2ln(21x2).解：(1)ylnlnlnx由ylnu，ulnv，vlnx復(fù)合而成。,wsinx(2)ylnsin2x由yu,ulnv,vw2復(fù)合而成。,uarctanv,vxye2復(fù)合而成由。u(3)yearctanx2yco2sln2(1x2)由(4),ucosv,vlnw,w2t,thhx,12復(fù)合而成yu2。習(xí)題1-51.現(xiàn)有初始本金100元,若銀行年儲(chǔ)蓄利率為7%,問(wèn):(1)按單利計(jì)算,3年末的本利加為多少?(2)按復(fù)利計(jì)算,3年末的本利和為多少?(3)按復(fù)利計(jì)算,需多少年能使本利和超過(guò)初始本金的一倍?解：(1)按單利計(jì)算,3年末的本利加為100(137%)121元。(2)按復(fù)利計(jì)算,3年末的本利和為100(17%)3122.5043元。100(17%)n2100，(3)設(shè)需n年能使本利和超過(guò)初始本金的一倍，則ln2n解得10.24，因此需11年才能使本利和超過(guò)初始本金的一倍。ln1.072.某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為Q25P10,Q2005Pds求該商品的市場(chǎng)均衡價(jià)格和市場(chǎng)均衡數(shù)量.令QQ，即P7，因此該商品的市場(chǎng)均衡價(jià)格為7，25P102005P，解得0解：dsQ72510165，因此該商品的市場(chǎng)均衡數(shù)量為165.03.某批發(fā)商每次以160元/臺(tái)的價(jià)格將500臺(tái)電扇批發(fā)給零售商,在這個(gè)基礎(chǔ)上零售商每次多進(jìn)100臺(tái)電扇,則批發(fā)價(jià)相應(yīng)降低2元,批發(fā)商最大批發(fā)量為每次1000臺(tái),試將電扇批發(fā)價(jià)格表示為批發(fā)量的函數(shù),并求零售商每次進(jìn)800臺(tái)電扇時(shí)的批發(fā)價(jià)格.解：設(shè)批發(fā)量為x，電扇批發(fā)價(jià)格為P，x500170（500x1000），x由題意可知P160210050當(dāng)x800時(shí)，P154。4.某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品,每日最多生產(chǎn)200單位.它的日固定成本為150元,生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品的可變成本為16元.求該廠日總成本函數(shù)及平均成本函數(shù).以文專升本案例解析C(x)15016x（0x200）解：設(shè)該工廠的日產(chǎn)量為x，則日總成本函數(shù)為150_C(x)日平均成本函數(shù)為16（0x200）。x5.某工廠分只能按9折出售.這樣可多售出200臺(tái),如果再多生產(chǎn)，本的收益(入)函數(shù)由題意可知收益(入)函數(shù)為生產(chǎn)某產(chǎn)品年產(chǎn)量為x臺(tái),每臺(tái)售價(jià)500元,當(dāng)年產(chǎn)量超過(guò)800臺(tái)時(shí),超過(guò)部年就銷售不出去了.求出本年.解：500x0x800R(x)500800(x800)5000.9800<x1000500800(1000800)5000.9x>1000500x0x80040000+450x800<x1000。490000x>10006.已知某廠生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，可變成本為15元，每天的固定成本為2000元，如這20元，（1）利潤(rùn)函數(shù)（2）若不虧本，該廠1）設(shè)該廠種產(chǎn)品出廠價(jià)為求；每天至少生產(chǎn)多少單位這種產(chǎn)品.解：（每天生產(chǎn)x單位產(chǎn)品，由題意可知利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x)20x(200015x)5x2000（x0），（2）要使不虧本，必須L(x)0，即x400，因此該廠每天要至少生產(chǎn)400單位這種產(chǎn)品才能不虧本7.某企業(yè)生產(chǎn)出價(jià),即他們?cè)敢庖允裁磧r(jià)格來(lái)購(gòu)買.根據(jù)調(diào)查得出需求函數(shù)為是270000元,而單位產(chǎn)10元.(1)求利潤(rùn)函數(shù)(2)為獲得最大利潤(rùn),出廠。一種新產(chǎn)品,在定價(jià)時(shí)不單是根據(jù)生產(chǎn)成本而定,還要請(qǐng)各銷售單位來(lái)x900P45000.該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本品的變動(dòng)成本為；價(jià)格應(yīng)為多少?解：(1)由題意可知利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(P)(900P45000)P[27000010(900P45000)]900P2450P00270000P9000900P(26P08。00)45000(2)因?yàn)長(zhǎng)(P)900(P30)29000，所以出廠價(jià)格為30元時(shí)利潤(rùn)最大。8.已知某產(chǎn)品的成本函數(shù)與收入函數(shù)分別是C54xx2，R2x其中x表示產(chǎn)量，試求該商品的盈虧平衡點(diǎn),并說(shuō)明盈虧情況.以文專升本案例解析解：由題意可知利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x)RCx26x5(x1)(x5)，x1,x5，從而得到兩個(gè)盈虧平衡點(diǎn)分別為12x1時(shí)虧損,1x5時(shí)盈利，而當(dāng)x5時(shí)又轉(zhuǎn)為虧損.易見(jiàn)當(dāng)復(fù)習(xí)題1（A）1.下列函數(shù)不相等的是(D)（A）fxgxx，；3x3（B）fxgxx，；x2（C）ysin23x13t1，；usin2x12f(x)，gxx1.（D）x1解：D中的f(x)與g(x)定義域不同。2.求下列函數(shù)的定義域：（1）y2xarcsin1；x1（2）yx3;ln(1x)（3）yarcsin2cosx.110,xx1x必須滿足011,即x，1解：（1）要使式子有意義，因此函數(shù)的定義域是x2x0,x2(,1)[1,2]。x30,x31x0,1（2）要使式子有意義，x必須滿足即x，因此函數(shù)的定義域是x01x1,[3,0)(0,1)。以文專升本案例解析xk3212cosx1x必須滿足，即k,kZ，（3）要使式子有意義，3因此函數(shù)的定義域是[k,k2],kZ。331sin,x0,3.函數(shù)yx(,)[1,1].的定義域?yàn)?，值域?yàn)?,x01,1x0,f(x)4.設(shè)1，則fx.x1,0x21,1x10,1,0x1fx1解：(x1)1,0x12x,1x3.5.判斷下列函數(shù)的奇偶性：fx1x1x；（1）yee2xsinx.2x（2）fx1x1xf(x)，所以1）因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)。解：（fxe2xe2xsinx(e2xe2xsinx)f(x)，所以f(x)是（2）因?yàn)槠婧瘮?shù)。6.判斷下列函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性及單調(diào)。x1x(1)y；（2）yxlnx.2解：(1)①有界性：2xx1f(x)x2121x22，對(duì)一切x)0,所以1x2x,故因?yàn)?122x(,)都成立.因此函數(shù)xy在(,)上是有界函數(shù)x12(,)②單調(diào)性：在內(nèi)任取兩點(diǎn)x,x,且xx,則1212x1x2(xx)(1xx)12121x1x(1x)(1x)222f(x)f(x)1221212(1,)1xx0,12當(dāng)x,x是內(nèi)任意兩點(diǎn)時(shí),則又因?yàn)閤x0,故1212xy在(1,)內(nèi)是單調(diào)減少的.2f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，所以1x1212(,1)1xx0,12當(dāng)x,x是內(nèi)任意兩點(diǎn)時(shí),則又因?yàn)閤x0,故1212以文專升本案例解析x1x2f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，所以y在(,1)內(nèi)是單調(diào)減少的.1212[1,1]1xx0,12xxxx當(dāng),是內(nèi)任意兩點(diǎn)時(shí),則又因?yàn)?,故1212xy在(,1)內(nèi)是單調(diào)增加的.2f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，所以1x1212（2）①單調(diào)(0,)xx,則12性：在內(nèi)任取兩點(diǎn),,且xx12f(x)f(x)(xlnx)(xlnx)(xx)(lnxlnx)1211221212lnxlnx0f(x)f(x)0，即，所以1xxxx0,12因?yàn)?故且12122f(x)f(x)，所以yxlnx在(0,)內(nèi)是單調(diào)增加的.12②有界性：因?yàn)閥xlnx在(0,)內(nèi)是單調(diào)增加的，所以yxlnx在(0,)內(nèi)無(wú)界。7.設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)閇0，1]，求下列函數(shù)的定義域：(1)fx；(2)fsinx；2fxafxaa0.(3)fxa；a0(4)fx的20x11x1解：(1)因?yàn)閥=f(x)的定義域?yàn)閇0，1]，所以2，解得，故[1,1]定義域?yàn)?2kx2k,kZ，0sinx1(2)因?yàn)閥=f(x)的定義域?yàn)閇0，1]，所以，解得fsinx的定義域?yàn)閇2k,2k],kZ.故0xa1a0y=f(x)的定義域?yàn)閇0，1]，所以，又因?yàn)椋士山獾?3)因?yàn)閍x1a[a,1a]，因此fxa的定義域?yàn)?0xa1,y=f(x)的定義域?yàn)閇0，1]，所以，解得0xa1,ax1a,ax1a,，(4)因?yàn)?當(dāng)時(shí)，可解得ax120a1a；當(dāng)時(shí)，無(wú)解a21故時(shí)，0afxafxaaa，[,1]的定義域?yàn)?1a時(shí)fxafxa定義域?yàn)榭占?8.設(shè)fx2x，gxxlnx，求fgx，gfx，ffx和ggx.以文專升本案例解析fgx22，gfxfxlnfx2xln2xx2xln2，解：()gxxxlnggxgxlngxxlnxln(xlnx).22x，ffx2fx9.下列函數(shù)是由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的？123y1x；（1）1（2）y.1arccos3x1231y1x由3yu,u1x2復(fù)合而成的。解：（1）11arccos3x1y,u1v,varccosw,w3x復(fù)合而成的。由u（2）y10.設(shè)fx定義在上，證明：,（1）fxfx為偶函數(shù)；（2）fxfx為奇函數(shù).F(x)fxfx，則F(x)fxfxF(x)，1）設(shè)解：（fxfx為偶函數(shù)。所以（2）設(shè)G(x)fxfx，fxfx為奇函則G(x)fxfx(f(x)f(x))G(x)，所以數(shù)。11.郵局規(guī)定國(guó)內(nèi)的平信，每20g付郵資0.80元，不足20g按20g計(jì)算，信件重量不得超過(guò)2kg，試確定郵資y與重量x的關(guān)系.0.8,0x201.6,20x40解：由題意可知y2.4,40x60.80,1980x2000（B）f(x)lg(3x)54xx2的定義域.1.求函數(shù)sinx3x0,x3sinx0,即xk，因此函數(shù)的定義域解：要使式子有意義，x必須滿足54xx20,1x5[1,0)(0,3)是.以文專升本案例解析2．設(shè)f(x)1,0x1,f(x3)求函數(shù)的定義域.2,1x2f(x)[0,2]0x323x1f(x3)解：由的定義域是，故，解得，所以函數(shù)[3,1]的定義域?yàn)?3．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是(B)，是偶函數(shù)的是(A).ex11x(1x1)；A.ye11xlnxB.yln(x1x2)；exexC.y+cosx；2D.yexexsinx.x2ex11xex11xy解：A.ln(1x1)的定義域是，是對(duì)稱區(qū)間，f(x)ex11x1ex1xex11xf(x)，e11xe11xe11xlnlnln因?yàn)閤xxex11x(1x1)是偶函數(shù)。ex11xy所以ln(,)B.yln(x1x2)的定義域是，是對(duì)稱區(qū)間，fxlglgx1x1xlgx1x因?yàn)閒22x1x2,yln(x1x2)是上的奇函數(shù).所以，exexC.y+cosx的定義域是，是對(duì)稱區(qū)間，(,)2f(x)exe(exex)cosxexex