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交通大學考試一試題（A卷）課程名稱：微積分BII學年學期：2015—2016學年第2學期課程編號：73L178Q開課學院：理學院出題教師：總題號一二三四五六七八九十分得分閱卷人一.選擇題(每題2分,滿分10分)訂n1--1．設un(1)sin，則級數(shù)（C）．-名--n-姓--------22-（A）與都收斂（B）與都發(fā)散-unununun--n1n1n1n1---------22--（C）un收斂，而un發(fā)散（D）un發(fā)散，而un收斂---n1n1n1n1--號---學-----2．二元函數(shù)fx,y的兩個偏導數(shù)fxx,y，fyx,y在點P0x0,y0處都連續(xù)是--------fx,y在點P0x0,y0-處可微分的（A）-----(A)充分條件(B)必需條件-----(C)充要條件(D)既非充分也非必需條件-級--11xy班3.（B裝dx2dy）-x3-01y-----------1111--（A）21（B）21（C）2（D）2---2323-------院-2-xx0-學-4.設f(x)，則周期為2的函數(shù)f(x)的傅立葉級數(shù)在-生--x0x-學--第1頁共6頁x2處收斂于A．（A）（B）（C）0（D）225、曲面:zx2y2在點M(1,1,2)處的切平面方程為（A）.（A）2x2yz2（B）2x2yz2（C）2x2yz2（D）2xyz2二.填空題(每題2分,滿分10分)1.設x22xyyzez1，則dz(0,1)-2dx-dy．2.曲面zx2y2與zx2y2所圍立體的體積為．63.設L為上半圓周y1x2，則曲線積分x2xyy2ds=L4、已知f(x,y)x2(y21)arctanxy，則fx(1,1)__2_____.5、lim1tdxtsin[(xy)2]dy__1____.t0t60x18三.(10分)設wf(xyz,xyz)，f擁有二階連續(xù)偏導數(shù)，求解：令uxyz,vxyz，則wf(u,v)，記f1'f(u,v)，f2'f(u,v)等。uv則wf1'yzf2'，x2w(f1'yzf2')f1'zf2'yzf2'，xyyyy

,2w。xxy第2頁共6頁又f1'f11''xzf12''，f2'f21''xzf22''，yy故2w'''z(x''2''。xyf11zf2y)f12xyzf22四.(10分)求曲面xyz210上離原點近來的點。解：設(x,y,z)為曲面上隨意一點，則該點到原點的距離dx2y2z2，設Lagrange函數(shù)為：L(x,y,z,)x2y2z2(xyz21)L'x2xy0令L'y2yx0，L'z2z2z0xyz210解得駐點為(0,0,1),(1,1,0)。依據(jù)題意，近來的點必存在，且只好是(0,0,1),(1,1,0)，比較函數(shù)值：d(0,0,1)1,d(1,1,0)2，因此所求點為(0,0,1)。五.(10分)設D:x1,y1，計算yxdxdy。D解：用yx將地區(qū)D分為D1,D2。原式(yx)dxdy(xy)dxdyD1D21dx11xy)dy1(yx)dydx(xx1112112x(yy)xy)dx(xydx12x121第3頁共6頁1y2x1y2x(xy)dx(xy)dx121121121)dx8(x13六.(10分)計算曲線積分式中L是正向圓周x2+y2=1.七.(10分)．設曲線積分xy2dxy(x)dy與路徑?jīng)]關，此中(x)有連續(xù)導L數(shù)且(0)0，求(x)，并計算I(1,1)xy2dxy(x)dy。(0,0)解：令Pxy2，Qy(x)，則P2xy，Qy'(x)。yx由題知，該曲線積分與路徑?jīng)]關，2xyy'(x)，聯(lián)合(0)0，解得(x)x2。故I(1,1)xy2dxyx2dy1x2y2(0,0)(1,1)1。(0,0)22八.(10分)試求曲面上被圓柱面x2+y2=a2所截下部分曲面∑的面積S，其中a是正數(shù)。曲面∑的方程在xoy面上的投影域為D：x2+y2≤a2.第4頁共6頁九.(10分)計算積分I(yz)dzdx(x2z)dxdy，此中是拋物面zx2y2(0z1)，取下側．【解】法1（高斯公式）增添平面片“:z1,(x,y)D:x2y21,上側”與圍成地區(qū)，由高斯公式可得：[(0)(y)z(2z)]dv3dvxy直坐標133zdz2截面法0柱坐標2111r2)dr113或3drdrdz6r(16()，00r20242而化為二重積分可得：2zdxdy21dxdy2。D于是，I32。22十.(10分)求冪級數(shù)n3n1xn1的收斂域與和函數(shù)。n1解：an1lim(n1)3n11.limn13,Rnannn331時該級數(shù)發(fā)散，故其收斂域為(1,1)。333第5頁共