第一節(jié)集合與函數(shù)第1頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一前言上冊（一元函數(shù)）極限導(dǎo)數(shù)、微分積分微分方程求解下冊（多元函數(shù)）極限偏導(dǎo)數(shù)、全微分重積分無窮級數(shù)（空間解析幾何）第2頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一極限（高等數(shù)學(xué)的基本方法）導(dǎo)數(shù)（特殊極限）定積分（特殊極限）不定積分一元函數(shù)微積分結(jié)構(gòu)互為逆運算計算方法第3頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一第一章函數(shù)與極限第4頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)映射與函數(shù)

集合二函數(shù)三函數(shù)的性質(zhì)(MappingandFunction)四函數(shù)的運算及初等函數(shù)第5頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一

微積分是一門以變量為研究對象、以極限方法作為研究工具的數(shù)學(xué)學(xué)科，應(yīng)用極限方法研究各類變化率問題和幾何學(xué)中曲線的切線問題，就產(chǎn)生了微分學(xué)；應(yīng)用極限方法研究諸如曲邊梯形的面積等涉及到微小量無窮積累的問題，就產(chǎn)生了積分學(xué)。英國數(shù)學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲同時發(fā)現(xiàn)了微積分，微積分研究的主要對象就是函數(shù)。第6頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一第7頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)是任意兩個集合,任取組成一個有序?qū)σ赃@樣的有序?qū)Φ娜w組成的記為集合稱為集合與集合的直積,且如即為面上全體點的集合,常記作兩集合間的直積或笛卡爾乘積第8頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一區(qū)間設(shè)且開區(qū)間閉區(qū)間半開區(qū)間第9頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一無限區(qū)間特別地第10頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一鄰域定義設(shè)與是兩個實數(shù),且數(shù)集稱為點的鄰域.記為其中,叫做該鄰域的半徑.點叫做該鄰域的中心,第11頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一記為即點的去心的鄰域,以為中心的任何開區(qū)間均是點的鄰域,記為).(aU第12頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一函數(shù)的定義反函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)單值與多值有界性單調(diào)性奇偶性周期性初等函數(shù)函數(shù)（Function)第13頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一函數(shù)概念定義設(shè)和是兩個變量,是一個給定的數(shù)集.如果對于每個數(shù)變量按照一定的法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng),則稱是的函數(shù),記作因變量自變量其中,數(shù)集稱為函數(shù)的定義域,記為即對按照對應(yīng)法則總有確定的值與之對應(yīng),稱為函數(shù)在點處的函數(shù)值.第14頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一因變量與自變量的這種依賴關(guān)系通常稱為函數(shù)關(guān)系.函數(shù)值全體組成的集合稱為函數(shù)的值域,記為或即注:構(gòu)成函數(shù)的要素為:定義域與對應(yīng)法則第15頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一定義域的確定:對實際問題,根據(jù)問題的實際意義確定;對抽象函數(shù)表達式,約定:定義域是使算式有意義的一切實數(shù)組成的集合,這種定義域又稱為函數(shù)的自然定義域.例如,第16頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一函數(shù)的表示法:表格法、圖形法、公式法(解析法).函數(shù)的圖形:坐標(biāo)平面上的點集稱為函數(shù)的圖形.從函數(shù)的定義可見,自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值,對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個,這種函數(shù)稱為單值函數(shù).第17頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一單值函數(shù)與多值函數(shù)多值函數(shù):例如,圓的方程在區(qū)間上不能確定是的單值函數(shù).對多值函數(shù),只要附加一些條件,就可以化為單值函數(shù),這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支.如對上例,在附加條件或后,可得到下面兩個單值分支或第18頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例1求函數(shù)義域.的定第19頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一函數(shù)的表示法根據(jù)函數(shù)的解析表達式的形式不同,函數(shù)常見以下三種:顯函數(shù)函數(shù)由的解析表達式直接表示.例如隱函數(shù)關(guān)系由方程來確定.例如,函數(shù)的自變量與因變量的對應(yīng)第20頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).第21頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一

(1)符號函數(shù)幾個特殊的分段函數(shù)舉例1-1xyo第22頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo階梯曲線第23頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)第24頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一(4)取最值函數(shù)yxoyxo第25頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)的定義域為數(shù)集若使得恒有成立,則稱函數(shù)在上有上界若使得恒有成立,則稱函數(shù)在上有下界第26頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX第27頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一函數(shù)的有界性有下界.在上有界在上既有上界又例如,在內(nèi),恒有或故函數(shù)有界,且是它的上界,是它的下界.第28頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例2證明函數(shù)在上是有界的;函數(shù)在上是無界的.第29頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一xyoxyo函數(shù)的單調(diào)性第30頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一偶函數(shù)yxox-xyxox-x奇函數(shù)函數(shù)的奇偶性第31頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例3判斷函數(shù)的奇偶性.第32頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.函數(shù)的周期性第33頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例4設(shè)當(dāng)是有理數(shù)時當(dāng)是無理數(shù)時(狄利克雷函數(shù))求并討論其性質(zhì).第34頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例5若對其定義域上的一切恒有則稱對稱于證明:則是以為周期的周期函數(shù).對稱于及若第35頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.冪函數(shù)(是常數(shù)).(1)情形;(2)情形;2.指數(shù)函數(shù)(是常數(shù),且),其中以為底數(shù)3.對數(shù)函數(shù)(是常數(shù),且),的指數(shù)函數(shù)記為其中以為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)簡記為叫做自然對數(shù)函數(shù),第36頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一4.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)其中自變量以弧度作單位來表示.此外,尚有正割函數(shù)余割函數(shù)第37頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一DWDW直接函數(shù)與反函數(shù)第38頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一求反函數(shù)：直接函數(shù)反函數(shù)互為反函數(shù)第39頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.第40頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一5.反三角函數(shù)反正弦函數(shù)第41頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一反余弦函數(shù)第42頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一反正切函數(shù)第43頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一反余切函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)第44頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一復(fù)合函數(shù)引例設(shè)定義設(shè)函數(shù)的定義域為而函數(shù)的值域為若則稱函數(shù)為的復(fù)合函數(shù).注:其中自變量,中間變量,因變量(1)函數(shù)與函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)即通常記為第45頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一復(fù)合函數(shù)(2)不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函例如數(shù)的.(3)復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)例如成的.第46頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例6設(shè)求第47頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例7將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合:第48頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例8設(shè)求第49頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一函數(shù)的運算設(shè)函數(shù)的定義域依次則我們可以定義這兩個函數(shù)的下列運算:和(差)積商第50頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一例9設(shè)函數(shù)的定義域為證明必存在上的偶函數(shù)及奇函數(shù)使得第51頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一初等函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)以上五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).由常數(shù)和基本初等函數(shù)有限次的函數(shù)復(fù)合步驟經(jīng)過有限次的四則運算和所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).第52頁，共56頁，2023年，2月20日，星期一注意：