第八章相量法求解電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應，在數(shù)學上是求非齊次微分方程的特解.引用相量法使求解微分方程特解的運算變?yōu)閺蛿?shù)的代數(shù)運運算,從兒大大簡化了正弦穩(wěn)態(tài)響應的數(shù)學運算.所謂相量法，就是電壓、電流用相量表示,RLC元件用阻抗或導納表示，畫出電路的相量模型，利用KCL,KVL和歐姆定律的相量形式列寫出未知電壓、電流相量的代數(shù)方程加以求解，因此，應用相量法應熟練掌握：〔1〕正弦信號的相量表示；〔2〕KCL,KVL的相量表示；〔3〕RLC元件伏安關系式的相量形式；〔4〕復數(shù)的運算.這就是用相量分析電路的理論根據(jù).8—1將以下復數(shù)化為極坐標形式:⑴々二一5—J5;〔2〕F2=-4+丿3；〔3〕F3=20+j40；匕⑷『ji°； 〔5〕F5=-3； 〔6〕 =2.78+j9.20解：〔1〕F廣5-j5=aN°a=v5〕2+〔F2=5<20二arctan——0二arctan——-5〔因F在第三象限〕1故F的極坐標形式為F=故F的極坐標形式為F=51 12/-1350〔2〕F=-4+j3-、少2VI-4〕2+32/arctan〔3,-一4〕=5/143.13〔2 2 -F在第一24人一象限〕〔3〕Fq=20+j40=J202+402/arctan〔40/20〕=44.72/63.43TOC\o"1-5"\h\zO 2 2⑷F4=10j=10/90ocF=_3=3/180〔5〕5 .頊F廣2.78+j9.20=32.782+9.202/arctan〔9.20/2.78〕=9.61/73.196 6 J 2 2注：一個復數(shù)可以用代數(shù)型表示，也可以用極坐標型或指數(shù)型表示，即f="沔=a/=ae°，它們相互轉換的關系為：a

, 0二arctan~一a=Ja2+(22 a'1 2 1和 a二acosOa=asinQ需要指出的,在轉換過程中要注意F在復平面上所在的象限，它關系到.的取值及實部一和虛部“2的正負.8-2將以下復數(shù)化為代數(shù)形式：(04=102—73.；(2)月=15/112.6.;()F=1.2Z152o3 ；()4=10/—90.；(5).=5/—180.；⑹勺=10/—135?.4解：(1)二10Z-73o=10Xcos(-73o)+jlOxsin(-73o)=2.92-j9.56F=15Z112.6o=15cos112.6o+15sin112.6o=-5.76+)3.85F=1.2Z152o=1.2cosl52o+1.2sinl52o=-1.06+J0.56(「F=10Z-90o=-jl0(5)F=5/-180.=-5⑹勺二10/—135.=10cos(-135o)+10sin(-135o)二-7.07-j-7.078—3假設10。/0.+AN600=175Nep.求人和平.解：原式=1??+Acos60.+jasin60o=175cos(p+j-175sin(p根據(jù)復數(shù)相等的定義,應有實部和實部相等，即

Acos60o+100=175cos(p虛部和虛部相等把以上兩式相加,得等式虛部和虛部相等把以上兩式相加,得等式Asin60.=175sin①A2+100A-20625二A2+100A-20625二0,-100土71002+4x20625:102.07解得—202.069所以,Asin所以,Asin60sin甲二-175102.07x— 2-：0.505175①=30.348-4求8-1題中的F?%和FF6.2 2解：仆x解：仆xF6=(-4+j3)x(2.78+j9,20)二5/143.13*9.61/73.19=48.05/216.32二48.05/-143.68FF6- 4+j 5/1Z/3，13- =0.52/69.942 -2.78+j9.20—9.61/73.19.8-5求8-2題中的"+巧和虹解.F+ =10/-73+5/-1801 5 -,▲,一10cos(-73.)+j10sin(-73.)-5=-2.08-j9.56=9.78/-102.2773=2/-73+180=2/107L . .5/-18086假設?L=-5cos(3141+60)A,i=10sin(3141+60)A,i=4cos(3141+60)A3寫出上述電流的相量，并繪出它們的相量圖；i1與i2和七與i3的相位差；繪出i1的波形圖；假設將〈表達式中的負號去掉將意味著什么求^的周期T和頻率f.解：〈)(=-5cos(3141+60)=5cos(3141+60-180)=5cos(3141一120)=10sin(3141+60)=10cos(3141-30)2

故〔，i和七的相量表達式為2 3戌=2z-120A,戌二0 ，1V2史Z-30A,戌=4二Z60A

'2 史Z-30A,戌=4二Z60A

'2 ° <2 °題解8-6圖力①二中一中二-120-（-30）=-90o'。/ O'乙）12 1 2①二①一①二―120。—60二一180om 3〔3）L〔t）的波形圖見題解圖〔b）所示.〔4）假設將二〔t）中的負號去掉，意味著L的初相位超前了180o.即L的參考方向反向.〔5）:〔t）的周期和頻率分別為2兀2兀T= =-=0.02s=20ms3 3141 =50Hz0.02注：定義兩個同頻率的正弦信號的相位差等于它們的初相之差，因此在比擬相位差時，兩個正弦量必須滿足〔1）同頻率；〔2〕同函數(shù)，即都是正弦或都是余弦；〔3）同符合，即都為正號或都為負號，才能進行比擬?8-7假設兩個同頻正弦電壓的相量分別為U二50/30oV,U二-100Z-150°V,其頻率f二100Hz.求:〔1)寫出U,, 4的時域形式；〔2〕U,與4的相位差.〔1)U]ft)=50姮cos〔2兀ft+30)=50V2cos〔6281+30°)Vu〔t)--1002cos〔2兀ft-150〕=1002cosf6281-150=

Z ? ?180)V=1Q0v2cos〔6281+30〕VfJ由于U=50/30V,U=-100/-150V:IOO/3O0V故相位差為①二30-30=°,即U]與4同相位.8—8:U]ft）=22072cos〔314上120?！砎J〔t）=220<2cos〔3141+30〕V邕）畫出它們的波形圖,求出它們的有效值、頻率/和周期T;（2）寫出它們的相量和畫出其相量圖，求出它們的相位差；解：〔1）波形如題解8—8圖〔a）所示.題解8—8圖u=u=220Vu ⑶如果把電壓4的參考方向反向，重新答復〔1〕，〔2〕?有效值為頻率314二二50Hz2兀一=0.02s周期1 2f50⑵u.和％的相量形式為1 2U=220/-120.V丄乙丄日八、.’、，c—Q-Q 120 30 1故相位差為5wW=--=-50相量圖見題解圖〔b)所示.U=220Z30.V2〔3〕u2的參考方向反向,u2〔t［變?yōu)橐籾2〔t〕，有效值、頻率和周期均不變,—U⑴的相量為吟=220Z30-180=200Z-150V2 , ,120 150 30故七和u的相位差為5二Q-Q=-一〔-〕二波形圖和向量圖見題解圖〔a〕和〔b〕.8-9一段電路的電壓、電流為:u=10sin(1031-20.)Vi=2cos(103l-50)A3 ?〔1〕畫出它們的波形圖和向量圖；〔2〕求出它們的相量差.10cos(1031_110) “和i的相量分別為.卩解：⑴=10sin(103t-20)=U .回段/-110V<2其波形和相量圖見題解圖〔a〕和圖⑹14泗⑷」咫一Z-50A<2所示.■10心-1W8-5廣(2)相位差w=Q-Q_110(2)相位差w=Q-Q_110"5°°1=60,說明電壓落后于電流60..8-10圖示三個電壓源的電壓分別為:u=220^12cos（①t+10JV,Ub=220Acos（①t一110丿卩，u=220J2cos（①t+130）,,求：⑴3個電壓的和；⑵，；⑶畫出它們的相量圖.U, ",題解8-10圖解：匕,%,"c的相量為t/=220Z10VU=220/—110VU=220z130V（1）應用相量法有或+或+U=220Z10+220Z—110+220Z130即三個電壓的和（）+心）+心）二°。 供一U=220Z10-220/-110b⑵泌 - -砒ab二220<3Z40VU二但一度=220/—110—220zl30

二220c3/-80V（3）相量圖如題解8-10圖所示.題解8-10圖8-11圖（a）中電壓表讀數(shù)為匕：30V; V：60V;圖/）中的V：15V;21V：80V; ?100O（電壓表的讀數(shù)為正弦電壓的有效值.）求圖中電壓2 v3 v u0)—一T-C血￡r--⑷0)—一T-C血￡r--⑷解法一：題8-11圖（a）圖：設回路中電流隹I/O.,根據(jù)元件的電壓、電流相量關系，可得題8-11圖那么總電壓頂=rI"=Rl/o=30/0V或二jX恒Xl/90=60/90V火二u+色二3。+丿60卩那么總電壓匕l(fā)e 丄厶/?、一l/丄以 一次。n|602_6708所以"S的有效值為貸_食2+ =--（b）圖：設回路中電流相量匡I/O.A,由于u.Ri/0=15/0vR港二jX恒X1/90=80/90VLLL

兀件相量關系有效值關系相位關系相量圖電阻Re=4u寸2 '良=100z90°VTOC\o"1-5"\h\z兀件相量關系有效值關系相位關系相量圖電阻Re=4u寸2 '良=100z90°V匡 . J0CCC1580100?1520所以總電壓U$=U+U+U=+j -j=-j卩所以總電壓32丄202 25故U的有效值為S=-門 + =5 US V解法二： 利用相量圖求解.設電流隹「0為參考相量，電阻電壓UR與1同相位，電感電壓U,超前戌90,電容電壓U要滯后戌90,總電壓U與各元LL ? ? Lcs件電壓向量構成一直角三角形.題解81圖〔a［和〔b）為對應原圖〔a）和〔b）的相量圖.由題解圖〔a）可得US=U+U2=.('302+602=67.08V由題解圖（b）可得題解8-11圖Us=4Ur+(UC-“〃=<152+(100一80)2題解8-11圖注：這一題的求解說明，R,L,C元件上電壓與電流之間的相量關系、有效值和相位關系〔如下表所示［是我們分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的根底，必須很好地理解和掌握.

電感L改二jX投L LLU二jXFL0=0.+90o〃 i卜電容CU=-jx戌c ccU二XIc CC0=0.—90o8-12圖示正弦電流電路中，電流表的讀數(shù)分別為A：5A；4：2A；A:25^：5.求：〔1）圖中電流表A的讀數(shù)；〔2）如果維持A］的讀數(shù)不變,而把電A源的頻率提升一倍，再求電流表A的讀數(shù).CD題8-12圖解法一:C并聯(lián)，設元件的電壓為根據(jù)元件電壓、電流的相量關系，可得戌二曾二尸5Z0oARRR議二立二uz-90A=_j20AojX乂乙LL戌=-U—二Uz90=25z90=j25Ao oC-jxXCcC應用KLC的相量形式,總電流相量為+j25=5+j5=5%；+j25=5+j5=5%；2Z45。ARLC=5<2=707a故總電流表的讀數(shù)③■=1⑵設U"二二U'、=UZX ?=U=UZ0OI=-=—二5Z0Ao當電流的頻率提升一倍后,由于RRR不變，所以U二眸不變而’乙二23'增大一倍,02①.減小一倍，因此，有世上j2?L2-x20Zj2?L2-x20Z=2><25/90.二50/90.A所以 是戌*+J40即，電流表的讀數(shù)戌+戌二所以 是戌*+J40即，電流表的讀數(shù)戌+戌二5J10+J50=5A=S+4(h=40.314(40 、江■T題解8-12圖解法二：利用相量圖求解?設隹0/°.=專二4二啤為參考向量，根據(jù)元件電壓、電流的相位關系知，耳和港同相位,與超前90.，號滯后幽0.,相量圖如題解8—12圖所示，總電流龍與岑，丹和耳組成一個直角三角形?故電流表的讀數(shù)為即(1)@=2+(25-20"二7.07A(2)@=<,52+(25-10)2=40.31A注：從8—11題的解法二，可以體會到應用向量圖分析電路的要點，那就是首先要選好一個參考相量,這個參考相量的選擇，必須能方便地將電路中其它電

量圖中的幾何關系.最后根據(jù)相量圖中的相量關系，使問題得到解決.一般對串聯(lián)電路,選電流作參考方向較方便,如8-量圖中的幾何關系.最后根據(jù)相量圖中的相量關系，使問題得到解決.一般對串聯(lián)電路,選電流作參考方向較方便,如8-11題對并聯(lián)電路,那么選電壓作參考相量較方便，如8-12題.有些問題通過相量圖分析將很直觀和簡便.8~13對禮串聯(lián)電路作如下兩次測量：（1）端口加90V直流電壓（?二°）時，輸入電流為3A；⑵端口加f=5°也的正弦電壓90V時，輸入電流為.求R和L的值.一 題解8-13圖解：由題息13|電路如題解8—13圖所示.⑴當%為90V直流電壓時，電感⑴當%為90V直流電壓時，電感L看作短路，那么電阻R二彳=930=3qq⑵當4為90V交流電壓時，設電流隹I/.=i.8/qA,根據(jù)相量法。=rNjX是3QX1.8+jXX1.8u=90=1.8X\93O2+X2$ L=:90X?（ ）2—302=4OQL1.8 2 2Q4Q2對10—T—二8T4某一元件的電壓、電流（關聯(lián)方向）分別為下述4種情況時，它可能是什么元件u=10cos(102+45丿Vi=2sin(102+135.)AJu=-10cos2V? 1i=-sin2A=10cos(3142+ju=10sin(1002丿V(2)[i=2cos(1002)A45.)Vi=2cos(3142)A解:解:(1)把電流變?yōu)橛嘞倚问接衖=2COS(10+135-90)=2COS(10+45),2 . 2 .Au和i的相量為回山/45卩<2在=5/0即電壓、電流同相位，根據(jù)兀件電壓、電流相位關系可知這是一個5-的電阻兀件.把電壓變?yōu)橛嘞倚问接卸os(100 90)u103-0/45u和i的相量為V2或