將軍飲馬問(wèn)題唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō):"白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河

."詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題?如圖所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng).請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短？這個(gè)問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就有了，

傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，

名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的

B地開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此，這個(gè)被稱為”將軍飲馬”的問(wèn)題廣泛流傳?將軍飲馬問(wèn)題=軸對(duì)稱問(wèn)題=最短距離問(wèn)題（軸對(duì)稱是工具，最短距離是題眼）。所謂

軸對(duì)稱是工具，即這類問(wèn)題最常用的做法就是作軸對(duì)稱。

而最短距離是題眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。比如題目經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)線段

ab這樣的條件或者問(wèn)題。一旦出現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍問(wèn)題，然后利用軸對(duì)稱解題。常見(jiàn)問(wèn)題首先明白幾個(gè)概念，動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)一般就是題目中的所求點(diǎn)，即那個(gè)不定的點(diǎn)。定點(diǎn)即為題目中固定的點(diǎn)。對(duì)稱的點(diǎn)，作圖所得的點(diǎn)，需要連線的點(diǎn)。1.怎么對(duì)稱，作誰(shuí)的對(duì)稱？。簡(jiǎn)單說(shuō)所有題目需要作對(duì)稱的點(diǎn)，都是題目的定點(diǎn)?；蛘哒f(shuō)只有定點(diǎn)才可以去作對(duì)稱的。

(不確定的點(diǎn)作對(duì)稱式?jīng)]有意義的)那么作誰(shuí)的對(duì)稱點(diǎn)首先要明確關(guān)于對(duì)稱的對(duì)象肯定是一條線，

而不是一個(gè)點(diǎn)。那么是哪一條線？一般而言都是動(dòng)點(diǎn)所在直線。2.對(duì)稱完以后和誰(shuí)連接？一句話：和另外一個(gè)定點(diǎn)相連。

絕對(duì)不能和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)相連。明確一個(gè)概念：

定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也是一個(gè)定點(diǎn)。例如模型二和模型三。3.所求點(diǎn)怎么確定？首先一定要明白，所求點(diǎn)最后反應(yīng)在圖上一定是個(gè)交點(diǎn)。

實(shí)際就是我們所畫直線和已知直線的交點(diǎn)。下面我們來(lái)看看將軍飲馬與二次函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題：1.如圖，拋物線y=axbxc經(jīng)過(guò)A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)

P,使得四邊形PAOC勺周長(zhǎng)最??？若存在，求出四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.11CVL0【分析】(1)設(shè)交點(diǎn)式為y=a(x-1)(x-4),然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a亠，于是得到拋4物線解析式為y=—x2-——x3;4

4(2)先確定拋物線的對(duì)稱軸為直線

x&，連結(jié)BC交直線x一于點(diǎn)P,如圖，利用對(duì)稱性得到PA=PB所以PAPC=PCPB=BC艮據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到PCPA最短，于是可判斷此時(shí)四邊形PAOC勺周長(zhǎng)最小，然后計(jì)算出

BC=5,再計(jì)算OCOAB即可.【解答】解：(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)(x-4),把C(0,3)代入得a?(-1)?(-4)=3,解得a仝,所以拋物線解析式為氓(x-1)(x-4),即y弓x2-乎x3;(2)存在.因?yàn)锳(1,0)、B(4,0),所以拋物線的對(duì)稱軸為直線x丄,2連結(jié)BC交直線x—于點(diǎn)P,如圖，貝UPA=PBPAPC=PCPB=BQt匕時(shí)PCPA最短,2所以此時(shí)四邊形PAOC勺周長(zhǎng)最小，

因?yàn)锽C=；

|、-=5,在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；

當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解?也考查了最短路徑問(wèn)題.

點(diǎn)C的左邊)，與y軸交于點(diǎn)B.(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)D在坐標(biāo)平面內(nèi)，△ABD是頂角為120°的等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)若點(diǎn)P、Q位于拋物線的對(duì)稱軸上，且

PQ=—，求四邊形ABQF周長(zhǎng)的最小值.【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)令x=0,求出與y軸的坐標(biāo)；令y=0,求出與x軸的坐標(biāo)；(2)分三種情況討論：①當(dāng)AB為底時(shí)，若點(diǎn)D在AB上方；若點(diǎn)D在AB下方；②當(dāng)AB為腰時(shí)，A為頂點(diǎn)時(shí)，③當(dāng)AB為腰時(shí)，A為頂點(diǎn)時(shí)；仔細(xì)解答即可.(3)當(dāng)APBQ最小時(shí)，四邊形ABQP的周長(zhǎng)最小，根據(jù)軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題解答.【解答】解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=-|f」；當(dāng)y=0時(shí)，x=-1或x=2；則A(-1,0),B(0，-術(shù))，C(2,0)；(2)如圖，Rt△ABO中，OA=1OB=_；,?AB=2MABO=30，/BAO=60,?△ABD是頂角為120°的等腰三角形.

D在AB下方，由/BADMDBA=30,AB=2得D2(-2?(2,-V3)；

(3)當(dāng)APBQ最小時(shí)，四邊形ABQP的周長(zhǎng)最小，把點(diǎn)B向上平移二個(gè)單位后得到B1(0,3?/BB1//PQ且BB=PQ?四邊形BBPQ是平行四邊形，?BQ=BP,?APBQ=APiB),要在直線X#；上找一點(diǎn)P,使得APBP最小，作點(diǎn)B1關(guān)于直線X」的對(duì)稱點(diǎn)，得B2(1,-''■'),2

3則AB就是APB