六安一中20212022學(xué)年第二學(xué)期高一年級期末考試數(shù)學(xué)試卷滿分：150分時間：120分鐘一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的1.計算A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：考點：復(fù)數(shù)運算2.獨角獸企業(yè)是指成立時間少于10年，估值超過10億美元且未上市的企業(yè)．2021年中國獨角獸企業(yè)行業(yè)分布廣泛，覆蓋居民生活的各個方面．如圖為某研究機構(gòu)統(tǒng)計的2021年我國獨角獸企業(yè)的行業(yè)分布圖（圖中的數(shù)字表示各行業(yè)獨角獸企業(yè)的數(shù)量），其中京、滬、粵三地的獨角獸企業(yè)數(shù)量的總占比為70%．則下列說法不正確的是（）A.2021年我國獨角獸企業(yè)共有170家B.京、滬、粵三地的獨角獸企業(yè)共有119家C.獨角獸企業(yè)最多的三個行業(yè)的占比超過一半D.各行業(yè)獨角獸企業(yè)數(shù)量的中位數(shù)為13【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給出的圖中信息依次分析選項即可.【詳解】對于選項A，將圖中各行業(yè)數(shù)量加和，可知2021年我國獨角獸企業(yè)共有170家，故A正確；對于選項B，京、滬、粵三地的獨角獸企業(yè)數(shù)量的總占比為70%，家，故B正確；對于選項C，獨角獸企業(yè)最多的三個行業(yè)為電子商務(wù)、汽車交通、人工智能，共有73家，未超過一半，故C錯誤；對于選項D，將各行業(yè)的企業(yè)數(shù)量從小到大排列，中位數(shù)為13正確.故選：C3.在下列判斷兩個平面與平行的4個命題中，真命題的個數(shù)是（）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直線l，那么④如果l、m是兩條異面直線，且，，，，那么A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】在正方體中觀察可判斷①；由平面平行的傳遞性可判斷②；由線面垂直的性質(zhì)可判斷③；根據(jù)面面平行判定定理可判斷④.【詳解】如圖，易知在正方體中相鄰兩個側(cè)面都垂直于底面，故①錯誤；由平面平行的傳遞性可知②正確；由線面垂直的性質(zhì)可知③正確；過直線l做平面與分別交于，過直線m做平面與分別交于，因為，，所以，所以因為，，所以同理，又l、m是兩條異面直線，所以相交，且，所以，故④正確.故選：D4.已知，且向量在向量上的投影向量為，則的模為（）A1B.C.3D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量的公式計算即可【詳解】由題，設(shè)的夾角為，則，故，解得故選：C5.已知一組數(shù)據(jù)，，，1，1，3，4，6，6，7的平均數(shù)為3，則這組數(shù)據(jù)方差的最小值為（）A5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知可得，再根據(jù)方差公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：由題意得，得，所以這組數(shù)據(jù)的方差，所以這組數(shù)據(jù)方差的最小值為7.故選：C.6.在，其內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則的形狀是（）A.直角三角形B.等腰三角形C..等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦定理邊角互化得，進而移項整理得，再結(jié)合得或，進而得答案.【詳解】解：根據(jù)正弦定理邊角互化得，所以，所以，所以，即，所以或，所以或，即的形狀是等腰或直角三角形.故選：D7.如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計算即可.【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.8.如圖，在菱形中，，，沿對角線將折起，使點A，C之間的距離為，若P，Q分別為線段，上的動點，則下列說法錯誤的是（）A.平面平面B.線段的最小值為C.當(dāng)，時，點D到直線的距離為D.當(dāng)P，Q分別為線段，的中點時，與所成角的余弦值為【答案】C【解析】【分析】取的中點，易知，結(jié)合條件及線面垂直的判定定理可得平面，進而有平面平面，即可判斷A；建立坐標(biāo)系，利用向量法可判斷BCD.【詳解】取的中點，連接，∵在菱形中，，，∴，又，∴，所以，又易知，因為，，，所以平面，因為平面，所以平面平面，故A正確；以為原點，分別為軸建立坐標(biāo)系，則，當(dāng)，時，，，，，所以點D到直線PQ的距離為，故C錯誤；設(shè)，設(shè)，可得，，當(dāng)時，，故B正確；當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點時，，，，，設(shè)PQ與AD所成的角為，則，所以PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確；故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知是單位向量，且，則（）A.B.與垂直C.與的夾角為D.【答案】BC【解析】【分析】對于A和D，利用向量模的坐標(biāo)公式進行判斷；對于B，先利用進行平方結(jié)合是單位向量可得到即可判斷；對于C，先算出，然后利用向量夾角公式進行判斷即可【詳解】解：對于A和D，因為，所以，故A和D錯誤；對于B，因為，且，所以，所以與垂直，故正確；對于C，因為，所以，所以，因為，所以，故正確，故選：BC10.袋子中共有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中2個白球和2個黑球，從袋中有放回地依次隨機摸出2個球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“兩次都摸到白球”，則（）A.甲與乙互斥B.乙與丙互斥C.甲與乙獨立D.甲與乙對立【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合互斥事件、對立事件和相互獨立事件的知識確定正確選項.【詳解】首先抽取方法是有放回，每次摸出個球，共抽取次.基本事件為：白白，白黑，黑白，黑黑，共種情況.事件甲和事件乙可能同時發(fā)生：白黑，所以甲與乙不是互斥事件，A錯誤.事件乙和事件丙不可能同時發(fā)生，所以乙與丙互斥，B正確.事件甲和事件乙是否發(fā)生沒有關(guān)系，用表示事件甲，用表示事件乙，，則，所以甲與乙獨立，C正確.由于事件甲和事件乙是否發(fā)生沒有關(guān)系，所以不是對立事件.故選：BC11.在中，角的對邊分別是，下列說法正確的是（）A.若，則有2解；B.若，則；C.若，則為銳角三角形；D.若，則為等腰三角形或直角三角形.【答案】BCD【解析】【分析】利用正余弦定理都每項逐一判斷即可【詳解】對于A，由正弦定理可得：，，此時無解，A錯誤；對于B，，，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可知，故B正確；對于C，，，可知均為銳角，故為銳角三角形，故C正確；對于D，，由余弦定理可得：,整理得：，或即或，為等腰三角形或直角三角形，故D正確故選：BCD12.如圖，在棱長為的正方體中，分別為棱，的中點，為面對角線上的一個動點，則（）A.三棱錐的體積為定值B.線段上存在點，使平面C.線段上存在點，使平面平面D.設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A選項，利用等體積法判斷；對于B、C、D三個選項可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】易得平面平面，所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐即三棱錐的體積為定值，故A正確．對于B,如圖所示,以為坐標(biāo)原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則，,，，，所以，，，設(shè)（），則所以，平面即解之得當(dāng)為線段上靠近的四等分點時，平面.故B正確對于C，設(shè)平面的法向量則，取得設(shè)平面的法向量,則取,得,平面平面設(shè)即,解得，，不合題意線段上不存在點,使平面//平面，故C錯誤．對于D，平面的法向量為則因為所以所以的最大值為．故D正確．故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）所對應(yīng)的向量分別為和，則的面積為_______．【答案】5【解析】【分析】求出向量和的坐標(biāo)，再利用向量模和垂直的坐標(biāo)表示即可求解作答.【詳解】依題意，，，則，，而，則，所以的面積為.故答案為：514.如圖所示，已知四面體頂點和，則從頂點D所引的四面體的高__________．【答案】11【解析】【分析】求出，，然后算出平面的一個法向量，通過點到面的距離公式即可得到答案【詳解】解：因為，所以，設(shè)平面的法向量為，所以,令，則，所以，所以到平面的距離為，即從頂點D所引的四面體的高，故答案為：1115.己知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，方差為b，則___________．【答案】27【解析】【分析】利用平均數(shù)和方差的線性關(guān)系的性質(zhì)直接求出a、b，即可求出a+b.【詳解】數(shù)據(jù)平均數(shù)為10，所以數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，即a=19；數(shù)據(jù)的方差為2，所以數(shù)據(jù)方差為，即b=8，所以19+8=27.故答案為：27.16.如圖，四邊形為平行四邊形，，現(xiàn)將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為_____．【答案】【解析】【分析】過A作于E，交CD于F，連，利用余弦定理、面積定理求出點到平面的距離，再借助錐體體積求出內(nèi)切球半徑，結(jié)合該錐體的結(jié)構(gòu)特征求出外接球半徑作答.【詳解】過A作于E，交CD于F，連，如圖，在中，由余弦定理得：，，，，，，，因，則三棱錐的4個表面三角形全等，在中，，，在中，，，因，，平面，則平面，而平面，于是得平面平面，在平面內(nèi)過作于，又平面平面，因此，平面，，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則，解得，因是銳角三角形，則三棱錐的外接球截平面所得截面圓圓心在內(nèi)，半徑，則，解得，令三棱錐的外接球球心為O，顯然，球O截三棱錐的4個表面三角形所得截面圓圓心均在相應(yīng)三角形內(nèi)，因球心O與各個三角形的外心連線均垂直于相應(yīng)的三角形所在平面，且這些三角形的外接圓半徑均為，因此，球心O到各個三角形所在平面距離都相等，且球心O在三棱錐內(nèi)，必為三棱錐內(nèi)切球球心，令三棱錐的外接球半徑為，則，所以三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為.故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：一個多面體的表面積為S，如果這個多面體有半徑為r的內(nèi)切球，則此多面體的體積V滿足：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.根據(jù)要求完成下列問題：（1）關(guān)于的方程有實根，求實數(shù)的取值范圍；（2）若復(fù)數(shù)（）的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)的集合．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)方程的根為，并代入方程中，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得到方程組，解得答案；（2）寫出的共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)對應(yīng)的點在第一象限，列出不等式組，解得答案.【小問1詳解】設(shè)是其實根，代入原方程變形為，由復(fù)數(shù)相等的定義，得，解得；【小問2詳解】由題意得，∴，即，解得，故實數(shù)的集合為.18.第24屆冬奧會于2022年2月在北京舉行，志愿者的服務(wù)工作是冬奧會成功舉辦的重要保障．某高校承辦了北京志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖2所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a，b的值；（2）估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四、第五兩組志愿者中，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率．【答案】（1）；（2）估計平均數(shù)為69.5，第分位數(shù)為71.7；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1，及第三、四、五組的頻率之和為0.7列出方程組，求出a，b的值；（2）中間值作代表估計出平均數(shù)，利用百分位數(shù)求解方法進行求解；（3）先分層抽樣求出列舉法求出抽取的第四、第五兩組志愿者人數(shù)，再利用列舉法求出古典概型求概率公式.【小問1詳解】，解得：，所以；【小問2詳解】，故估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)為69.5；前兩組志愿者的頻率為，前三組志愿者的頻率為，所以第分位數(shù)落在第三組志愿者中，設(shè)第分位數(shù)為，則，解得：，故第分位數(shù)為71.7【小問3詳解】第四、第五兩組志愿者的頻率比為，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為，第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為，這5人中選出2人，所有情況有，共有10種情況，其中選出的兩人來自不同組的有共4種情況，故選出的兩人來自不同組的概率為19.甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：（1）兩個人都譯出密碼的概率；（2）恰有1個人譯出密碼的概率；（3）若要達到譯出密碼的概率為99%，至少需要像乙這樣的人多少個？【答案】（1）（2）（3）17名【解析】【分析】記“甲獨立地譯出密碼”為事件A，“乙獨立地譯出密碼”為事件B，A，B為相互獨立事件，且，．根據(jù)獨立事件的概率公式即可求解.【小問1詳解】記“甲獨立地譯出密碼”為事件A，“乙獨立地譯出密碼”為事件B，A，B為相互獨立事件，且，．兩個人都譯出密碼的概率為．【小問2詳解】恰有1個人譯出密碼可以分為兩類：甲譯出乙未譯出或甲未譯出乙譯出，且兩個事件為互斥事件，所以恰有1個人譯出密碼的概率為．【小問3詳解】假設(shè)有n個像乙這樣的人分別獨立地破譯密碼，要譯出密碼相當(dāng)于至少有1個人譯出密碼，其對立事件為所有人都未譯出密碼，故能譯出密碼的概率為，即，故，所以，即至少有17名像乙這樣的人，才能使譯出密碼的概率達到99%．20.如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，面，，點為線段中點（1）求證：面；（2）求異面直線與所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，若與平面的法向量的數(shù)量積為0，則可證明；（2）求異面直線所成的角的大小可以根據(jù)數(shù)量積的計算公式，即可求解.【小問1詳解】證明：由面建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，以A點為坐標(biāo)原點，分別以，垂直于AD以及為方向建立軸，如圖所示:由底面是等腰梯形以及可知：，，，又由點為線段中點，可知，，設(shè)為平面的法向量，故可知：，解得令，可知平面的法向量一個法向量為：根據(jù)線面平行向量法判斷法則可知面【小問2詳解】解：由題意得：由（1）分析可知，可知向量互相垂直，故異面直線與所成角的大小為21.如圖所示，在平面五邊形中，已知，，，，.（1）當(dāng)時，求；（2）當(dāng)五邊形的面積時，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)已知可得為等腰梯形，進而得到為等腰三角形，應(yīng)用余弦定理求得，即可求結(jié)果.（2）由題設(shè)可得，設(shè)得到關(guān)于x的表達式，進而求x的范圍即可.【小問1詳解】