本文格式為Word版，下載可任意編輯——信號(hào)與線性系統(tǒng)題解閻鴻森第四章信號(hào)與線性系統(tǒng)題解閻鴻森第四章習(xí)題答案

4.1由于復(fù)指數(shù)函數(shù)是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，因此傅里葉分析法在連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析

中具有重要價(jià)值。在正文已經(jīng)指出：盡管某些LTI系統(tǒng)可能有另外的特征函數(shù)，但復(fù)指數(shù)函數(shù)是唯一能夠成為一切在此題中，我們將驗(yàn)證這一結(jié)論。．．．．LTI系統(tǒng)特征函數(shù)的信號(hào)。(a)對(duì)單位沖激響應(yīng)h(t)??(t)的LTI系統(tǒng)，指出其特征函數(shù)，并確定相應(yīng)的特征值。(b)假使一個(gè)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)??(t?T)，找出一個(gè)信號(hào)，該信號(hào)不具有est的形式，但卻是該系統(tǒng)的特征函數(shù)，且特征值為1。再找出另外兩個(gè)特征函數(shù)，它們的特征值分別為1/2和2，但不是復(fù)指數(shù)函數(shù)。提醒：可以找出滿足這些要求的沖激串。

(c)假使一個(gè)穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)是實(shí)、偶函數(shù)，證明cos?t和sin?t實(shí)該系統(tǒng)的特征函數(shù)。

(d)對(duì)沖激響應(yīng)為h(t)?u(t)的LTI系統(tǒng)，假使?(t)是它的特征函數(shù)，其特征值為?，確定?(t)應(yīng)滿足的微分方程，并解出?(t)。此題各部分的結(jié)果就驗(yàn)證了正文中指出的結(jié)論。

解：(a)?h(t)??(t)的LTI系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)，所以任何函數(shù)都是它的特征函數(shù)，其特征值

為1。

(b)?h(t)??(t?T)，?x(t)?x(t?T)。假使x(t)是系統(tǒng)的特征函數(shù)，且特征值為

?1，則應(yīng)有x(t)?x(t?T)。滿足這一要求的沖激序列為x(t)?若要找出特征值為1/2或2的這種特征函數(shù)，則可得：

??k????(t?kT)。

x(t)??k??1()??2kkt?(kT，)特征值為1/2。

?x(t)?12j?t?k???2?j?t(t?kT，)特征值為2。

(c)cos?t?(e?e?)

y(t)?ht(?)xt(?)??12ej?t1j?(t??)?j?h??()?e?e??2???j??t(???)d??d?????h(?)ed??12

e?j?t????h(?)ej???h(t)為實(shí)、偶函數(shù)?????h(?)ej??d??j?t????h(?)e)????j??d?

?j???y(t)?12(e?e?j?t??h(?)ed??cos?t?H(j?)

同理可證sin?t。

(d)?h(t)?u(t)

?y(t)??xt(dt)

'??y?t???(t)????y?t?????t?t于是?(t)?ce?

4.2求以下信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示式。

(a)x(t)?cos4t?cos6t

(b)x(t)是以2為周期的信號(hào)，且x(t)?e?t,?1?t?1(c)x(t)如圖P4.2(a)所示。(d)x(t)如圖P4.2(b)所示。(e)x(t)如圖P4.2(c)所示。(f)x(t)如圖P4.2(d)所示。

圖P4.2

解：(a)cos4t?sin6t?12ej4t?12e?j4t?12j12jej6t?12je?j6t，取?0?2，則有

a2?a?2?12;a3?12j;a???3;ka?0(?k??2,3)(b)T?2,?0??,則

ak?12?1?1ee?t?jk?tdt??e2(1?jk?)?2jk?t1(1?jk?)?e?(?1jk?1??(e?)?2(1?jk?)e)?(1)k??x(t)??k???(?1)(e?1)2e(1?jk?)ke

(c)T?2，?x(t)是奇函數(shù)，?a0?0

ak?1

?21?1te?jk?t??jk?t11j(?1)?jk?t1???te|?e|?,(k?0)?1?1??2jk??jk?k??1j(?1)k?k?k?1?x(t)??k???ejk?t??k??1j(?1)k?k

ejk?t(d)T?6,?0??/3，可求得

ak?16??1?2e?jk?3tdt??3t16?21e?jk?3tdte?jk??12jk?e?jk|?1?2?12jk??3t|1??2?2jk?sinjkk?2tsink?6,(k?0)

?3?x(t)??x(?t)?a0?0;x?t???k???ake(e)T?4,?0??/2，?x(t)是偶函數(shù)，?a0??1?0t?jk2tdt?ak???(1?)e?24?212

?20(1?t2)e?jk?2t?11?cosk?tdt???22k??k?(f)T?4,?0??/2，可求得

ak?14?102e?jk?2tdt?t1014?21e?jk?2tdt?2t??341jk?;e?jk?2|?1412jk?e?jk|?1221j2k?(e?jk??e?2?jk?2?2),(k?0)

?a0??ak?sa(?4k)e?jk?4?sa(?2k)e?jk;x?t???k???ake?jk?2t4.3已知某LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)?e?4tu?t?

對(duì)以下輸入信號(hào)，求輸出響應(yīng)y(t)的傅里葉級(jí)數(shù)表示式。

(a)x(t)?cos2?t

?(b)x(t)??n?????(t?n)

(c)x(t)??n???(?1)?(t?n)

n(d)x(t)如圖P4.3所示。

圖P4.3

?解：設(shè)y(t)?系數(shù)。

?k???bkejk?0t,則bk?akH(k?0);其中ak、bk分別是x(t)和y(t)的傅里葉級(jí)數(shù)

(a)x(t)?cos2?t,?0?2?;a1?a?1??b1?a1H(?)?0?12,其余ak?0

*14(2?j?),b??b?1114(2?j?)，其余bk?0

(b)x(t)??n????1，?2，???(t?n)；T?1,?0?2?;?ak?1,k＝0，bk?14?j2k??k＝0，?1，?，2??

(c)x(t)??n???n(?1)?(t?n);T?2,?0??;

ak?1121?2?jk?t?(t)??(t?1)edt????212(1?ejk??0,k偶)??

?1,k奇?,k偶?0?bk??1?4?jk?,k奇?(d)由圖P4.3所示x(t)可得：T?1,??2?a0?12,ak?1sikn?(2k?/2/2),k??1,??2,?

?,k偶，k?0?01?b0?,bk??sink(?/2),k奇8?k?(4?j2k?)?4.4(a)證明:以T為周期的信號(hào)x(t)假使是偶函數(shù),即x(t)?x(?t),則其三角函數(shù)形式的傅

里葉級(jí)數(shù)表示式中只含有余弦分量；假使x(t)是奇信號(hào)，即x(t)??x(?t)，則其三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)中只含有正弦分量。(b)假使以T為周期的信號(hào)x(t)同時(shí)滿足x(t)?x(?tT2)則稱x(t)為偶諧信號(hào)；假使同時(shí)滿足．．．．x(t)??x(t?T2)則稱x(t)為奇諧信號(hào)。證明偶諧信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含偶次諧波；奇諧信號(hào)．．．．的傅里葉級(jí)數(shù)只包含奇次諧波。

(c)假使x(t)是周期為2的奇諧信號(hào)，且x(t)?t,0?t?1，畫出x(t)的波形，并求

出它的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。

解：(a)ak?1T?T/2?T/2x(t)e?jk2?Ttdt，a?k?1T?T/2?T/2x(t)ejk2?Ttdt

若x(t)?x(?t)，則ak?a?k?

2?jkTt??x(t)??k???ake2?jkTt??2???k?0a(ke?a?ekjkT)t

2?k?2?akcostTk?0

若x(t)??x(?t)，則ak??a?k?

?x?t??2?jk?